相切型傳遞的加速度表現(xiàn)

陳奎孚 姚海蓉 張?jiān)莆?/p>

(中國(guó)農(nóng)業(yè)大學(xué) 1理學(xué)院74#， 2工學(xué)院，北京 100083)

圓輪在剛體平面運(yùn)動(dòng)和復(fù)合運(yùn)動(dòng)的訓(xùn)練中頻繁出現(xiàn)，然而長(zhǎng)期以來(lái)，主流理論力學(xué)教材和教輔對(duì)涉及圓輪的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析存在若干疑問(wèn)。本文將建立相切型傳遞的加速度關(guān)系，利用該關(guān)系澄清長(zhǎng)期以來(lái)的疑問(wèn)。

1 若干疑問(wèn)

1.1 疑問(wèn)1

圖1 相切型機(jī)構(gòu)

分析圖1所示的“相切型”機(jī)構(gòu)的速度和加速度是經(jīng)常使用的教學(xué)案例[1-3]。采用點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)分析這個(gè)案例時(shí)，我們會(huì)反復(fù)強(qiáng)調(diào)動(dòng)點(diǎn)不能選擇為桿與盤(pán)的切點(diǎn)。一般做法是以桿為動(dòng)系，輪心為動(dòng)點(diǎn)。這樣做的最重要依據(jù)是：輪心到桿的距離不變，因此以桿為動(dòng)系，看到輪心的相對(duì)軌跡是平行于桿的直線，而后者的分析非常容易。圖1在教學(xué)上很典型，但是很難推廣到工程上經(jīng)常遇見(jiàn)的非圓情形[4,5]。

1.2 疑問(wèn)2

圖2 圓輪純滾動(dòng)

1.3 疑問(wèn)3

剛體接觸對(duì)應(yīng)一個(gè)約束，減少一個(gè)自由度。圖2的純滾動(dòng)，不僅輪與地面接觸，而且純滾動(dòng)，這又是一個(gè)約束，應(yīng)再減少一個(gè)自由度。發(fā)生平面運(yùn)動(dòng)的圓輪具有3個(gè)自由度，扣除約束的兩個(gè)自由度，還剩一個(gè)自由度。也就是說(shuō)，對(duì)圖2的模型應(yīng)該只能再指定一個(gè)加速度分量了，然而圖2的輪心加速度aO的兩個(gè)分量(一個(gè)水平，豎直分量為零)往往是全給定的。因此aO信息肯定是冗余的。究竟哪個(gè)分量冗余呢？能否利用這個(gè)冗余信息回避對(duì)vO=Rω求導(dǎo)呢？

1.4 疑問(wèn)4

把圖1中的圓輪換成橢圓輪，那么目前教輔所提供的方法就很難實(shí)施。同樣如果把圖2的圓輪換成橢圓輪(比如橄欖球)，則vO=Rω就很難使用，更無(wú)法求導(dǎo)。更為一般情形是兩個(gè)接觸邊緣都是任意的平滑曲線。這種一般情形更有理論統(tǒng)一的價(jià)值，但幾乎現(xiàn)有的教材和教輔都對(duì)此避而不談。當(dāng)然也可以想象，答案即使找到，也可能比較繁冗，在課堂教學(xué)上很難實(shí)施。然而，既然有這種非圓情形，并且工程上有其應(yīng)用，那么對(duì)科學(xué)的執(zhí)著就應(yīng)該找到對(duì)應(yīng)答案。找到了答案，一方面使這個(gè)科學(xué)問(wèn)題得以封閉，另一方面也可居高臨下地來(lái)審視特例，豐富課外學(xué)習(xí)材料。

2 加速度分析

因?yàn)閺?fù)合運(yùn)動(dòng)分析很難處理非圓情形，所以本文直接從平面運(yùn)動(dòng)分析入手。

在圖3(a)中，兩個(gè)平面運(yùn)動(dòng)剛體Ⅰ和剛體Ⅱ在t時(shí)刻相切，切點(diǎn)在兩個(gè)剛體上位置記為A和B。兩個(gè)剛體在切點(diǎn)的曲率半徑分別為ρⅠ和ρⅡ；OⅠ和OⅡ分別為對(duì)應(yīng)的曲率中心。剛體Ⅰ和剛體Ⅱ的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度分別為ωⅠ(t)和ωⅡ(t)；切點(diǎn)處的速度分別為A(t)、B(t)；加速度分別為aA(t),aB(t)。

圖3 兩個(gè)剛體相切(a) t時(shí)刻; (b) t+Δt時(shí)刻

2.1 速度關(guān)系

因?yàn)锳和B接觸，而剛體又不能變形，所以A(t),B(t)在公法線上投影相等，即二者有如下關(guān)系

A(t)=B(t)+vr(t)τ(t)

(1)

其中，vr(t)是A點(diǎn)相對(duì)B點(diǎn)的速度大??；τ(t)是公切線方向矢量。

在Δt之后，兩剛體的切點(diǎn)分別變成A′和B′,相應(yīng)的速度分別為A′(t+Δt)、B′(t+Δt),如圖3(b)所示。同樣有如下關(guān)系

A′(t+Δt)=B′(t+Δt)+vr(t+Δt)τ(t+Δt)

(2)

注意t時(shí)刻的A和B，現(xiàn)在分別移動(dòng)到了A″和B″, 各自速度分別為A″(t+Δt)、B″(t+Δt)。采用基點(diǎn)法，可建立A′和A″的速度關(guān)系,即

A″(t+Δt)=A′(t+Δt)+ωⅠ

(3)

(4)

2.2 加速度關(guān)系

式(3)減式(4),并把式(2)代入得到

(5)

根據(jù)定義

二者相減得

(8)

將式(1)和式(5)代入式(8)整理得

aA(t)-aB(t)=L1+L2-L3

(9)

其中

這3個(gè)極限的分析過(guò)程相對(duì)冗長(zhǎng)，我們將其放在第4節(jié)，結(jié)果分別為式(28)、式(31)和式(32)。把這3式代入式(9)可得

(10)

式中諸量均為t時(shí)刻的取值，為書(shū)寫(xiě)簡(jiǎn)潔，已把諸量隨t變化的標(biāo)記“(t)”去掉了。

式(10)也可將切向和法向分開(kāi)寫(xiě)，即

圖3中剛體Ⅰ和剛體Ⅱ在接觸點(diǎn)都是凸的。如果有一個(gè)凹的，比如剛體Ⅱ?yàn)榘? 則式(10)和式(12)中的ρⅡ取-|ρⅡ|即可。

3 運(yùn)用

本節(jié)討論式(11)和式(12)的應(yīng)用，并解答第1節(jié)的疑問(wèn)。

3.1 純滾動(dòng)情形的退化

相切型的約束關(guān)系已經(jīng)要求了兩個(gè)接觸點(diǎn)的速度沿公法向投影相等。如果進(jìn)一步約束為純滾動(dòng)，即兩個(gè)接觸點(diǎn)的切向速度也相等，也就是vr=0，則式(11)和式(12)退化為

這就是純滾動(dòng)約束的加速度關(guān)系。

進(jìn)一步，如果剛體Ⅱ?yàn)殪o止的地面，則有

這就退化為被苦苦尋找的速度瞬心加速度了[6-8]。

3.2 加速度約束關(guān)系

其實(shí)，桿系分析也需要補(bǔ)充加速度約束信息，只是沒(méi)有特別強(qiáng)調(diào)罷了，比如圖4的機(jī)構(gòu)。根據(jù)約束性質(zhì)容易確定A和B兩點(diǎn)的速度方向(沿各自的滑道方向)。但這個(gè)信息并不自動(dòng)蘊(yùn)涵對(duì)加速度的約束，因?yàn)锳和B兩點(diǎn)速度都沿軌跡切向，但加速度不是這樣。A點(diǎn)加速度還是沿軌跡切向，但是B點(diǎn)的加速度則不是。實(shí)際上A點(diǎn)加速度理所當(dāng)然沿切向的論斷是把對(duì)速度求導(dǎo)過(guò)程隱藏起來(lái)了。對(duì)B點(diǎn)，雖然沒(méi)有明顯的求導(dǎo)過(guò)程，但事實(shí)上，法向加速度大小是在自然法的知識(shí)點(diǎn)通過(guò)求導(dǎo)確定出來(lái)的。圖4桿系的處理也可統(tǒng)一地說(shuō)成：約束在加速度上的顯式表現(xiàn)為法線加速度是已知的(速度已知)。對(duì)A點(diǎn)，法向加速度為零，進(jìn)而推斷出全加速度沿切向。最一般的情形是式(12),只是記起來(lái)比較費(fèi)勁而已。

圖4 桿系示例

由于圓輪要對(duì)vO=Rω求導(dǎo)與桿系“反對(duì)”求導(dǎo)的認(rèn)知沖突，以及前者運(yùn)用場(chǎng)合受限的缺點(diǎn)，所以筆者建議使用加速度約束，即對(duì)純滾動(dòng)圓輪補(bǔ)充式(15)的約束關(guān)系(為了應(yīng)試訓(xùn)練而對(duì)vO=Rω求導(dǎo)，則是權(quán)宜之計(jì))。更一般地，對(duì)兩個(gè)平滑剛體接觸情形的加速度分析，應(yīng)直接使用式(12)(或式(14)或(16))。這樣處置可消除疑問(wèn)2。

3.3 圓輪純滾動(dòng)的冗余信息

在圖2圓輪純滾動(dòng)模型中, 輪心的加速度aO是已知的，這相當(dāng)于給定了兩個(gè)條件，而A點(diǎn)相切又給定了一個(gè)條件(式(14)或式(16))，而平面運(yùn)動(dòng)剛體只有3個(gè)自由度，那么只用上述3個(gè)條件(不用純滾的切向加速度約束式(13)或式(15))是否就可以確定輪子的所有信息了呢？

前面的討論消除了疑問(wèn)2和疑問(wèn)3。至于疑問(wèn)4，因?yàn)閳D3模型適用于任意平滑邊緣的接觸關(guān)系，因而式(11)～式(14)都是通用的。這樣疑問(wèn)4得以自動(dòng)消除。

至于疑問(wèn)1，下面通過(guò)具體示例來(lái)闡述。

例題1

解答 取O1A桿為物體1，偏心輪為物體2。速度分析如圖5(a)所示。式(1)沿公法向投影

即有

圖5 例題1圖(a) 速度分析; (b) 加速度分析

為求下一步的加速度，式(1)沿公切線投影

得vr=v2sin60°。

加速度分析的相關(guān)信息如圖5(b)所示。由式(12)有

例題2

圖6 例題2圖(a) 橢圓凸輪機(jī)構(gòu); (b) 加速度分析

解答 取O1A桿為物體1，橢圓輪為物體2。因?yàn)樗俣炔簧婕扒?，所以速度分析和答案與例題1完全相同。

加速度分析如圖6(b)所示。由式(12)有

例題1和例題2表明相切型問(wèn)題的加速度分析可通過(guò)本文的傳遞加速度關(guān)系來(lái)完成，且具有通用性，當(dāng)然代價(jià)是要使用相對(duì)復(fù)雜式(11)和式(12)。采用點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)來(lái)處理相切型問(wèn)題，只能分析圓輪問(wèn)題，而此類(lèi)題目甚少，所以教學(xué)和考核中過(guò)度強(qiáng)調(diào)這個(gè)方法就值得商榷了。

4 相關(guān)極限的分析

本節(jié)證明第2節(jié)所需要的3個(gè)極限。

4.1 與角速度相關(guān)的極限

為了清晰起見(jiàn)，圖7突出了兩個(gè)剛體在t和t+Δt兩個(gè)時(shí)刻的角度信息。把t時(shí)刻單位切向矢量τ(t)與剛體Ⅰ固結(jié)。圖7中ΔθΙ是在Δt內(nèi)，τ(t)轉(zhuǎn)到τ″的角度，本質(zhì)上也就是剛體Ⅰ轉(zhuǎn)過(guò)的角度，因此

(17)

ΔθΙ=ΔθA+Δθm

(18)

圖7 兩個(gè)相切剛體的角度關(guān)系

把它代入式(17)得到

(19)

式(19)右邊第一項(xiàng)可寫(xiě)成

等號(hào)右邊第一個(gè)極限按定義為1/ρⅠ。對(duì)于曲率有界的邊緣(平滑)，上式右邊第二個(gè)極限為1。因而式(19)可寫(xiě)成

(20)

圖7中ΔθⅡ和ΔθB是與ΔθΙ和ΔθA分別對(duì)應(yīng)的量。同樣有

(21)

4.2 與相對(duì)速度相關(guān)的極限

注意圖7中矢量關(guān)系：

兩邊除以Δt后取極限得到

(22)

把式(1)代入式(22)得

(23)

4.3 3個(gè)關(guān)鍵極限

式(20)、式(21)和式(23)聯(lián)合，可求得如下3個(gè)極限：

它們是隨后分析的關(guān)鍵。

4.4 公切向單位矢量的導(dǎo)數(shù)

圖8 公切向單位矢量的增量分析

τ(t+Δt)-τ(t)的大小為2sin(Δθm/2)≈Δθm,因此

把式(26)代入有

(27)

4.5 式(9)右邊第一個(gè)極限

重組式(9)右邊的第一個(gè)極限

進(jìn)一步可寫(xiě)為

把式(27)代入有

(28)

4.6 式(9)的第二個(gè)和第三個(gè)極限

容易把第二個(gè)極限變?yōu)?/p>

(29)

(30)

式(25)右邊的第二個(gè)極限已由式(24)給出。這樣就得到了

(31)

同理可以得到第三個(gè)極限

(32)

5 結(jié)語(yǔ)

本文導(dǎo)出了相切型傳遞的加速度關(guān)系,使得這一科學(xué)問(wèn)題得以封閉。在推導(dǎo)過(guò)程中建立了若干關(guān)鍵極限，后者不僅是本文的基礎(chǔ)，也將是相關(guān)問(wèn)題的研究基礎(chǔ)。

利用導(dǎo)出的一般關(guān)系審視了純滾動(dòng)、加速度約束等相關(guān)疑問(wèn)，澄清了相關(guān)問(wèn)題。

將導(dǎo)出關(guān)系運(yùn)用于兩個(gè)例題，其中一個(gè)例題用復(fù)合運(yùn)動(dòng)分析難以解決。從所導(dǎo)出關(guān)系出發(fā)，兩個(gè)例題的求解過(guò)程都比較簡(jiǎn)潔。

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