六點(diǎn)三重插值-逼近混合細(xì)分法的研究①

朱 洪

(安徽三聯(lián)學(xué)院基礎(chǔ)部，安徽 合肥 230601)

0 引 言

細(xì)分法是由初始控制多邊形的控制網(wǎng)格不斷細(xì)化而產(chǎn)生的光滑曲線曲面的一類造型方法。其算法簡(jiǎn)單高效，容易實(shí)現(xiàn)等優(yōu)勢(shì)，因此在計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)等領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用。Dyn等[1]和Deslauriers等[2]分別提出C1連續(xù)的四點(diǎn)二重插值細(xì)分和四點(diǎn)三重插值細(xì)分。為了提高細(xì)分算法的光滑性，Hassan等[3]C2四點(diǎn)三重插值細(xì)分方法。Siddiqi等[4]利用Lagrange多項(xiàng)式基函數(shù)提出了2N點(diǎn)三重細(xì)分算法，當(dāng)N=2,3,4時(shí)，極限曲線的連續(xù)階數(shù)分別為C3,C4,C5。Siddiqi等[5]和胡玫瑰等[6]給出了C2連續(xù)的六點(diǎn)插值細(xì)分法和C4連續(xù)的六點(diǎn)細(xì)分算法。汪缽等[7]提出了一類含參數(shù)的細(xì)分法，對(duì)于三參數(shù)的五點(diǎn)二重逼近算法可達(dá)C6連續(xù)。Tan等[8]提出C2連續(xù)的四點(diǎn)二重細(xì)分，同時(shí)對(duì)保形性進(jìn)行了探討。莊興龍等[9]提出C7連續(xù)的五點(diǎn)二重逼近細(xì)分算法。張艷艷等[10]提出了含有雙張力參數(shù)的C2連續(xù)五點(diǎn)插值細(xì)分法。檀結(jié)慶等[11]提出從三重插值細(xì)分中推導(dǎo)逼近細(xì)分的方法，同時(shí)產(chǎn)生的曲線為C2連續(xù)。王棟等[12]將插值逼近兩種細(xì)分格式相結(jié)合，從而生成C2連續(xù)的極限曲線。雖然逼近細(xì)分法能夠使得產(chǎn)生的曲線更加光滑，但是不能很好的控制初始多邊形，而插值細(xì)分法對(duì)于初始控制多邊形較為依賴，能夠有效保持原來的形狀?；谏鲜鲅芯?，將六點(diǎn)三重細(xì)分算法的掩模引入張力參數(shù)，統(tǒng)一插值逼近兩種細(xì)分格式，并對(duì)參數(shù)進(jìn)行適當(dāng)取值，從而得到一系列的插值曲線和逼近曲線。

1 預(yù)備知識(shí)

(1)

定理1[3]若三重細(xì)分算法S一致收斂，則掩模α={ai}滿足

(2)

定理2[3]設(shè)三重細(xì)分算法S的掩模α={ai}滿足式(2)，則存在一個(gè)三重細(xì)分算法S1，滿足

dPk=S1dPk-1

(3)

2 六點(diǎn)三重插值-逼近混合細(xì)分法及連續(xù)性分析

(4)

其中，a0=a4=-α，a1=a3=4α，a2=1-6α,

定理4 對(duì)于任意給定的控制多邊形，當(dāng)α=0,-0.0062<β<0.0556時(shí)，式(4)生成的插值曲線是C1連續(xù)的，當(dāng)β=0,-0.0031<α<0.0741時(shí)，式(4)生成的逼近曲線也是C1連續(xù)的。

證明：

因?yàn)閍=(ai)={…,b5,b0,a0,b4,b1,a1,b3,b2,a2,b2,b3,a3,b1,b4,a4,b0,b5,…}

∴a(z)=b5z-8+b0z-7+a0z-6+b4z-5+b1z-4+a1z-3+b3z-2+b2z-1+a2+b2z+b3z2+a3z3+b1z4+b4z5+a4z6+b0z7+b5z8

由定理2知，S1的生成多項(xiàng)式為

i=-6,-5,…,8

當(dāng)-0.0031<α<0.0741,-0.0062<β<0.0556時(shí)，

因此，由定理3可知，該細(xì)分法是一致收斂的。

再根據(jù)定理2，

i=-4,-3,…,8

當(dāng)-0.0031<α<0.0741,-0.0062<β<0.0556時(shí)，

根據(jù)定理3，式(4)C1連續(xù)。

定理5 對(duì)于任意給定的控制多邊形，當(dāng)0.0041<α<0.0185,β=0時(shí)，式(4)生成的逼近曲線是C2連續(xù)的。

證明： 根據(jù)定理2，

i=-2,-1,…,8

當(dāng)0.0041<α<0.0185,β=0時(shí)，

根據(jù)定理3，式(4)C2連續(xù)。

定理6 對(duì)于任意給定的控制多邊形，當(dāng)0.0168<α<0.0173,β=0時(shí)，式(4)生成的逼近曲線是C3連續(xù)的。

證明： 根據(jù)定理2，

i=0,1,…,8

當(dāng)0.0168<α<0.0173,β=0時(shí)，

根據(jù)定理3，式(4)C3連續(xù)。

3 算 例

通過統(tǒng)一插值細(xì)分和逼近細(xì)分兩種細(xì)分格式，給出插值-逼近六點(diǎn)三重混合細(xì)分法。在同一個(gè)初始控制多邊形下，當(dāng)α=0,β=-0.006,-0.001,0,0.01,0.02,0.03,0.05時(shí)，得到一系列極限曲線插值于控制頂點(diǎn)，如圖1(a)、(b)所示；當(dāng)β=0,α=-0.003,-0.02,0,0.005,0.01,0.017,0.03時(shí)，生成一系列逼近的極限曲線，如圖1(c)、(d)所示。

圖1

結(jié)合插值細(xì)分法和逼近細(xì)分法的各自優(yōu)勢(shì)，對(duì)插值-逼近混合細(xì)分算法中的兩個(gè)張力參數(shù)進(jìn)行適當(dāng)取值，使得產(chǎn)生的極限曲線能夠靈活調(diào)控。當(dāng)α=0.017且β=0,0.01,-0.01,0.02-0.02時(shí)，生成一系列六點(diǎn)插值-逼近混合細(xì)分曲線，如圖2所示；當(dāng)β=0且α=0,0.01,-0.01,0.02-0.02時(shí)，生成一系列細(xì)分曲線，如圖3所示。

4 結(jié) 語

通過引入張力參數(shù)將插值算法與逼近算法進(jìn)行統(tǒng)一，且張力參數(shù)可以反映出插值算法及逼近算法兩者之間的緊密聯(lián)系。未來工作將對(duì)該細(xì)分算法的保形性以及動(dòng)態(tài)的其它細(xì)分格式作具體研究。

[1] Dyn N, Levin D, Gregory J A. A 4-point Interpolatory Subdivision Scheme for Curve Design[J]. Computer Aided Geometric Design, 1987, 4(4): 257-268.

[2] Deslauriers G, Dubuc S. Symmetric Iterative Interpolation Processes[M].Constructive Approximation. Springer US, 1989:49-68.

[3] Hassan M F, Ivrissimitzis I P, Dodgson N A, Sabin M A. An Interpolating 4-points Ternary Stationary Subdivision Scheme[J]. Computer Aided Geometric Design, 2002,19:1-18.

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[6] 胡玫瑰,鄭紅嬋,段建偉.四參數(shù)六點(diǎn)細(xì)分法[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用,2011,47(6):184-187.

[7] 汪缽,檀結(jié)慶.一類由Laurent多項(xiàng)式誘導(dǎo)的帶參數(shù)二重細(xì)分[J].計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)報(bào),2016,28(12):2082-2087.

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[9] 莊興龍,檀結(jié)慶.五點(diǎn)二重逼近細(xì)分法[J].圖學(xué)學(xué)報(bào), 2012, 33(5): 57-61.

[10] 張艷艷,檀結(jié)慶.雙參數(shù)五點(diǎn)插值細(xì)分法[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用, 2014, 50(6): 135-138.

[11] 檀結(jié)慶,童廣悅,張莉.基于插值細(xì)分的逼近細(xì)分法[J].計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)學(xué)報(bào), 2015, 27(7):1162-1166.

[12] 王棟,張曦,李桂清.混合細(xì)分曲線及其應(yīng)用[J].計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)學(xué)報(bào), 2007, 19(3): 286-291.

[13] 鄭紅嬋,葉正麟,趙紅星.雙參數(shù)四點(diǎn)細(xì)分法及其性質(zhì)[J].計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)學(xué)報(bào), 2004,16(8):1140-1145.