機床主軸的可靠性及可靠性靈敏度分析

賀鑫元

(中捷機床有限公司, 遼寧 沈陽 110142)

可靠性是機械產(chǎn)品的基本屬性，是衡量機械結(jié)構(gòu)安全性能的重要指標(biāo)，可靠性能夠綜合考慮實際中的各種不確定性因素對機械產(chǎn)品的影響。產(chǎn)品進(jìn)行評估、可靠性分析設(shè)計對于保障產(chǎn)品安全運行并實現(xiàn)既定功能是至關(guān)重要的?？煽啃造`敏度分析是在可靠性分析的基礎(chǔ)上，分析基本變量參數(shù)對結(jié)構(gòu)可靠性的影響程度，實現(xiàn)各個隨機變量對可靠性影響重要性程度的對比，從而對結(jié)構(gòu)的可靠性優(yōu)化設(shè)計與分析提供參考。本文對龍門式銑鏜床自動直角銑頭的主軸組件進(jìn)行可靠性及可靠性靈敏度的理論分析。

主軸組件作為機床主傳動鏈最末端部件，其各項參數(shù)直接影響機床性能及工件加工質(zhì)量?？紤]應(yīng)用場合及使用要求，機床主軸一般按照剛度條件進(jìn)行校核，包括軸承安裝位置最大偏轉(zhuǎn)角、主軸最大撓度等指標(biāo)。其中，軸承安裝位置的最大偏轉(zhuǎn)角對主軸組件的工作精度、溫升情況及使用壽命有非常大的影響。因此綜合考慮加工、制造和使用過程中的各種不確定性因素，本文針對軸承安裝的最大偏轉(zhuǎn)角進(jìn)行可靠性及可靠性靈敏度分析。

1 Monte Carlo可靠性及可靠性靈敏度分析方法

Monte Carlo方法是計算可靠性的最直接方法，收斂速度與隨機變量的維數(shù)無關(guān)，只要樣本數(shù)量足夠大就能夠保證收斂性和準(zhǔn)確性。

設(shè)結(jié)構(gòu)運行狀態(tài)的功能函數(shù)為：

g(x)=g(x1,…,xn)

(1)

其中：x=(x1,…,xn)是影響結(jié)構(gòu)響應(yīng)的基本隨機變量，相應(yīng)的概率密度分布函數(shù)為fi(xi)(i=1,…,n)。當(dāng)g(x)0時，結(jié)構(gòu)處于失效狀態(tài)；當(dāng)g(x)>0時，結(jié)構(gòu)安全。則結(jié)構(gòu)的失效概率Pf可以通過下面的數(shù)學(xué)表達(dá)式得到：

Pf=P(g(x)0)

(2)

其中F={x:g(x)0}表示失效域，相應(yīng)的結(jié)構(gòu)的可靠性R為：

R=1-Pf

(3)

進(jìn)一步的，引入失效域示性函數(shù)IF(x)：

(4)

從式(4)中可以看出，如果樣本點xi落入失效域F內(nèi)，則示性函數(shù)IF(x)=1，否則示性函數(shù)IF(x)=0。

則式(3)可以進(jìn)一步表示為：

(5)

式(5)的積分可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)期望的形式通過樣本均值來近似，即：

(6)

其中xj(j=1,…,N) 為通過概率密度函數(shù)產(chǎn)生的隨機樣本。

(7)

結(jié)構(gòu)參數(shù)的均值可靠性靈敏度定義為失效概率Pf對隨機變量的均值μi(i=1,…,n)的偏導(dǎo)數(shù)：

(8)

結(jié)構(gòu)參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差可靠性靈敏度定義為失效概率Pf對隨機變量的標(biāo)準(zhǔn)差σi(i=1,…,n)的偏導(dǎo)數(shù)：

(9)

相應(yīng)的變異系數(shù)為：

(10)

為了消除基本隨機變量的量綱的影響，對式(8)、(9)進(jìn)行歸一化處理：

(11)

式(11)的積分可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)期望的形式通過樣本均值來近似，即：

(12)

Monte Carlo方法可靠性及可靠性靈敏度分析的計算步驟為：

(1)確定結(jié)構(gòu)的失效形式及相應(yīng)的功能函數(shù)g(x)。

(2)確定隨機變量的概率密度分布fi(xi)(i=1,…,n)及相關(guān)參數(shù)。

(3)根據(jù)隨機變量的概率密度分布通過隨機模擬產(chǎn)生樣本xj(j=1,…,N)。

(4)將樣本xj(j=1,…,N)代入式中計算得到結(jié)構(gòu)的失效概率及可靠性均值靈敏度和可靠性標(biāo)準(zhǔn)差靈敏度。

2 主軸的可靠性及可靠性靈敏度分析

2.1 主軸剛度校核模型

龍門式銑鏜床的銑頭主軸結(jié)構(gòu)及受力簡圖如圖1所示，A、B點所在平面(垂直紙面方向)分別是主軸尾端軸承和前端軸承安裝平面。主軸由螺旋傘齒輪驅(qū)動，齒輪嚙合力的等效作用點位置如圖2中所示。

在傳動過程中，輸入扭矩M在螺旋傘齒輪作用下產(chǎn)生周向力Px、徑向力Py及軸向力Pz，參考相關(guān)資料[1]可計算三向分力的數(shù)值。在三向分力的作用下，主軸產(chǎn)生彎曲和扭轉(zhuǎn)綜合變形。在本例中我們需要計算的是主軸彎曲變形在軸承安裝位置產(chǎn)生的最大偏轉(zhuǎn)角。

圖2是主軸在XOZ平面及YOZ平面內(nèi)的等效受力簡圖，將傘齒輪處軸向力Pz等效為主矢Pz和主矩Mz(Mz=Pz·R)。根據(jù)材料力學(xué)原理可知，最大偏轉(zhuǎn)角出現(xiàn)在A點。應(yīng)用疊加法[2]，得到主軸在A點偏轉(zhuǎn)角θA公式：

(13)

其中：M表示主軸輸出最大扭矩；E表示材料彈性模量；a表示力作用點與主軸尾端支撐距離；b表示力作用點與主軸前端支撐距離；φ表示螺旋傘齒輪節(jié)錐半角；α表示螺旋傘齒輪壓力角；β表示螺旋傘齒輪螺旋角；R表示力臂；D表示主軸當(dāng)量外徑；d表示主軸當(dāng)量內(nèi)徑?；倦S機變量的概率密度分布信息如表1所示。

表1 基本隨機變量的概率分布

隨機變量分布類型均值標(biāo)準(zhǔn)差M/(N·m)正態(tài)分布190085E/GPa正態(tài)分布2002a/m正態(tài)分布77×10-345×10-4b/m正態(tài)分布2405×10-343×10-4?/(°)正態(tài)分布4515×10-3α/(°)正態(tài)分布2093×10-4β/(°)正態(tài)分布3529×10-3R/m正態(tài)分布93×10-345×10-4D/m正態(tài)分布945×10-320×10-4d/m正態(tài)分布50×10-315×10-4

2.2 主軸可靠性及可靠性靈敏度分析

銑頭主軸軸承安裝位置最大偏轉(zhuǎn)角的功能函數(shù)為：

g(x)=[θA]-θA

(14)

其中，[θA]為許用的最大偏轉(zhuǎn)角，[θA]=3×10-4rad[3]。

基本隨機變量x為：

x=[M,E,a,b,φ,α,β,R,D,d]

(15)

采用Monte Carlo方法[4]對銑頭主軸軸承安裝位置的最大偏轉(zhuǎn)角進(jìn)行可靠性及可靠性靈敏度分析，抽取1×107個樣本代入式(6)、(12)中進(jìn)行計算得到結(jié)構(gòu)的失效概率和可靠性分別為：

3 結(jié)論

結(jié)構(gòu)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差可靠性靈敏度如表2及圖3、4所示。靈敏度為正值，表明隨著變量值的增加，結(jié)構(gòu)失效概率增大，可靠性降低；靈敏度為負(fù)值，表明隨著變量值得增加，結(jié)構(gòu)失效概率減小，可靠性增加。

表2 可靠性靈敏度

均值靈敏度MCS估計值變異系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差靈敏度MCS估計值變異系數(shù)?Pf/?μM3235900125?Pf/?σM9664900129?Pf/?μE-0831300191?Pf/?σE0641100430?Pf/?μa0457400296?Pf/?σa0189201085?Pf/?μb0161300779?Pf/?σb0028706234?Pf/?μ?0001580270?Pf/?σ?-0002764712?Pf/?μα-0004428196?Pf/?σα0018009779?Pf/?μβ0002550231?Pf/?σβ0008520886?Pf/?μR-0421700318?Pf/?σR0168701244?Pf/?μD-0760200201?Pf/?σD0524600492?Pf/?μd0097201280?Pf/?σd0006925437

從均值靈敏度分析結(jié)果中可以看出，對結(jié)構(gòu)失效概率影響較大的變量有主軸輸出最大扭矩M，材料彈性模量E，力作用點與主軸尾端支撐距離a，力臂R及主軸當(dāng)量外徑D。隨著主軸輸出最大扭矩M和力作用點與主軸尾端支撐距離a的增加，結(jié)構(gòu)的失效概率增加，可靠性降低；隨著材料彈性模量E，力臂R及主軸當(dāng)量外徑D的增加，結(jié)構(gòu)的失效概率降低，可靠性

增加。結(jié)構(gòu)均值可靠性靈敏度的排序為：M>E>D>a>R>b>d>α>β>φ。

從標(biāo)準(zhǔn)差靈敏度分析結(jié)果中可以看出，對結(jié)構(gòu)失效概率影響較大的變量有主軸輸出最大扭矩M，材料彈性模量E，力作用點與主軸尾端支撐距離a，力臂R及主軸當(dāng)量外徑D，與均值可靠性靈敏度分析結(jié)果一致。隨著變量標(biāo)準(zhǔn)差的增加，都會使系統(tǒng)的失效概率增加，可靠度降低。結(jié)構(gòu)標(biāo)準(zhǔn)差可靠性靈敏度的排序為：M>E>D>a>R>b>α>β>d>φ。

靈敏度數(shù)值計算結(jié)果可為工程設(shè)計人員進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計提供定量的依據(jù)，在結(jié)構(gòu)的設(shè)計、制造、使用和評估中，要嚴(yán)格控制敏感參數(shù)的變化程度。

4 結(jié)語

本文依據(jù)材料力學(xué)理論建立了機床主軸的可靠性分析模型，并進(jìn)行了可靠性與可靠性靈敏度分析，為機床主傳動系統(tǒng)的設(shè)計與結(jié)構(gòu)優(yōu)化提供了理論依據(jù)?？煽啃造`敏度分析結(jié)果有效地反映了各設(shè)計參數(shù)對其可靠性的影響程度,供設(shè)計人員參考，在設(shè)計制造過程中嚴(yán)格控制對可靠性有較大影響的參數(shù)。

[1]機床設(shè)計手冊組.機床設(shè)計手冊[M].北京：機械工業(yè)出版社.1997.

[2]劉洪文.材料力學(xué)[M].4版.北京：高等教育出版社.2004.

[3]NSK滾動軸承選型手冊[M].日本精工株式會社.2014.

[4]呂震宙, 宋述芳, 李洪雙, 等.結(jié)構(gòu)機構(gòu)可靠性及可靠性靈敏度分析[M].北京：科學(xué)出版社, 2009.