以一道調(diào)研考題為例思考高三解析幾何解題教學

東莞實驗中學(523120) 王鐵成

1.問題的呈現(xiàn)與提出

例 東莞市2017屆高三第二次模擬考試(文數(shù))第20題:已知橢圓C:=1(a＞b＞0)的離心率是且經(jīng)過點,橢圓C的右頂點為A.

求(I)橢圓的標準方程.

閱卷完成以后,我所教的兩個班(89人)的統(tǒng)計結(jié)果如表1-1:

表1 -1 學生成績統(tǒng)計表

一道如此常規(guī)的圓錐曲線題目考出了如此不常規(guī)的結(jié)果,得分大跌眼鏡.于是我借“市二?！钡泥孱^和63名學生進行了談話得出如表1-2的情況.

學生困惑歸類如下:

(i)審題不給力,題目中的點(包括定點和動點)過多,無法提取有用信息.

(ii)找不準切入點,斜率與動點之間的聯(lián)系,太過復雜,無法搭橋.

(iii)運算素養(yǎng)低,擔心運算量過大,影響其他題目的作答.

總之給學生的感覺是解析幾何試題是“繁”“雜”“難”.

2.問題的分析與解決

數(shù)學學習離不開解題,一方面學生對數(shù)學概念的理解和掌握往往通過解題來表達和完善,另一方面數(shù)學問題也是展現(xiàn)數(shù)學方法、錘煉數(shù)學思維、提升數(shù)學核心素養(yǎng)的重要載體,因此解題是數(shù)學課堂教學不可或缺部分.波利亞教授在《怎樣解題》里把解題分為:弄清題意、擬定計劃、執(zhí)行計劃,回顧.鑒于學生的數(shù)學運算素養(yǎng)的不足,多數(shù)學生陷入辨不清的運算泥沼里無功而返,我先帶領學生“弄清題意”和“擬定計劃”,即有什么用什么,求什么找什么,一起繪制較為簡潔的思維導圖.建立了所有已知量和未知量的聯(lián)系,清晰明了的展示題目的整個解決過程,用圖示解決學生的困惑(i)(ii).

表1 -2 學生答題情況統(tǒng)計表

2.1 導圖指路,歷學生之所難

有了上述思維導圖的明晰指示,學生迫不及待看到這就是平常解題的“基本套路”.于是很多學生開始設直線PQ的方程,與橢圓方程聯(lián)立,開始一本正經(jīng)的算,算了一會學生有的抬頭一片欣欣然,有的愁眉苦臉,算不到.此時教師要站在學生的角度適時分析點撥.這就像從這里去深圳,雖然設置好了導航,但是還是要去實施,這其中是要做好多工作的.這是解析幾何最基本的思想—坐標思想,即由數(shù)學運算解決幾何圖形的問題.有的學生設了方程y=k(x-1),忽略了什么問題?學生1回答:沒有考慮斜率不存在的情況.很好,如何避免呢?學生2:可以單獨討論,也可以將直線方程設成.好,我們就按著學生2的思路一起往下算,我請了學生3和學生4在黑板上算,其他學生邊算邊監(jiān)督.以下是學生3和學生4的板書:

4分鐘后學生3和學生4完成了思維導圖的設定的計劃,但是題目還要求范圍呢?誰來解決接下來的問題?怎么解決?學生5回答說:我采用了導數(shù)的方法,出乎我的意料,跳出了標準答案的基本不等式法.于是在班級里,兩組學生使用導數(shù)法,另兩組學生,使用基本不等式法求k得范圍.學生5補充板演:

學生6則按老師的提示用基本不等式得到結(jié)果.

當直線PQ的斜率的為0時,R與坐標原點重合,AR的斜率是0,所以直線AR的斜率的取值范圍是.最后統(tǒng)計學生做題結(jié)果時,我們發(fā)現(xiàn),整個過程用時大約10分鐘,求范圍時用導數(shù)方法做的有24人次,做對的有15人,其余在求導畫圖時出了問題(沒有注意到當m＜0時,k＜0;m＞0時,k＞0)求最值不準.用基本不等式方法做的有20人次,作對的有7人,因為對m的正負處理不了,想不到加絕對值等.到這我想,對于困惑(i)(ii)基本解決.如果我們僅僅告訴學生:聯(lián)立,基本不等式就過去了,那么學生下次學生還會錯,不會有任何改變.只有我們稚化思維,帶領學生一起去經(jīng)歷探索、發(fā)現(xiàn),嘗試解決問題,不斷的反思和深化,才能把這種能力在學生心中埋下種子,醞釀、發(fā)芽、生根,從而生成數(shù)學運算核心素養(yǎng).

2.2 成嶺成峰,探學生之所想

“橫看成嶺側(cè)成峰,遠近高低各不同”,從不同角度看問題會有不同的感受;“條條大路通羅馬”,到達目的地的方式不止一個.換一種視角去觀察,換一種方式去思考,換一種心境去感悟,也許會有意外的驚喜.我的總結(jié)話音剛落,學生7站起來說:“我們的困惑(i)就是點坐標里變量多,有什么辦法可以減少參變量呢?”我愣一下,雖然可能會沖淡本節(jié)課主題,但還是決定不要磨滅學生7的瞬間的美妙思維.我說那我們就一起探索一下吧.高中階段,我們學過哪些內(nèi)容可以減少變量呢?參數(shù)方程是個不錯的選擇.學生8說:“那是選擇直線的標準參數(shù)方程還是橢圓的參數(shù)方程?”,你說呢?學生8思索了一下說:“直線的,因為直線PQ不過原點,選擇橢圓P、Q點需要兩個角來表達,而直線就用參數(shù)t就可以了”,好,我們來試一下,老師寫,你們指點并監(jiān)督.

設P,Q點對應的參數(shù)分別為t1,t2,點R所對應的參數(shù)t0,

這個結(jié)果是我沒有想到的,最后的斜率表達式居然這樣簡單、漂亮,對于解決困惑(iii)的幫助非常大.疏于預設,精彩生成,應該就源自于此吧.課堂教學價值取向的最重要一點就是:是否提高了學生的數(shù)學核心素養(yǎng).提高學生的核心素養(yǎng)并不是一句空話,而是需要去實踐,最好的載體當然就是課堂,這是一場沒有預約的美麗.

2.3 深入淺出,思學生之所惑

文獻[1]說作為教育數(shù)學的解析幾何應該具有:會用運動變化的思想處理數(shù)學問題和現(xiàn)實問題,提升學生的學習力,增強他們的探究能力和創(chuàng)新意識,利于發(fā)展學生的科學精神、理性精神、創(chuàng)新精神,提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng).對于此類型題,關注完基本解法后,我們還可以做如下導圖:

2.3.1 點差法求R點的軌跡方程

如果我們深入一個層次思考這個問題,從運動變化的角度去思考問題,按上圖的思路去思考問題,怎樣求R得軌跡方程?學生9回答:“可以采用解法1的聯(lián)立,然后消掉參數(shù)m,但是消參運算量會很大,不如直接使用解法1.注意到R是PQ的中點,我們可以采用點差法.”很好,分析的條理清晰.下面我們一起來實現(xiàn)學生9的思路.

第(II)問 設P(x1,y1),P(x2,y2),R(x0,y0),則有點差法有

2.3.2 常用結(jié)論求R點的軌跡方程

文獻[2]里談到,若點P是“有心圓錐曲線”的弦AB的中點,其中AB不平行于對稱軸且不過曲線中心O,則kAB·kPO=e2-1,稱作是圓錐曲線中的垂徑定理(用點差法證明).

設R(x0,y0)由圓錐曲線中的垂徑定理,由kPQ·kOR=e2-1得-1得到-=0以下同解法3.

著名教育家蘇霍姆林斯基說:在科學知識的大海里,我們所教給學生的教科書里的那點基礎知識,應當只是滄海一粟.教師的高度與學識決定學生的高度與學識,深入學習,奉行深入淺出的教學信條,如果學生采用了解法(2)(3)(4),學生的困惑(iii)還是困惑嗎?考試中,解析幾何的試題應該會從得分的失地轉(zhuǎn)為分數(shù)的增長點.

3.問題的探究與反思

第斯多惠說“一名壞的教師奉送真理,一名好的教師教人發(fā)現(xiàn)真理”.文獻[3]談到“將數(shù)學作為一個現(xiàn)成的產(chǎn)品來教,留給學生活動的唯一機會就是所謂的應用,其實就是做問題.這不可能包含真正的數(shù)學,強有力做問題的只是一種模仿的數(shù)學······長期以來所教的沉悶的模仿數(shù)學,不是有效的數(shù)學,而是無價值的數(shù)學.”如果僅僅滿足于上述,本題的教育價值難以得到體現(xiàn).

3.1 仿射變換,“圓”來完美

我們中學的解析幾何體系中,除直線外,最簡單的曲線就是圓.另外在初中我們有學過很多平面幾何的優(yōu)美定理,對于降低解析幾何運算量至關重要.如何聯(lián)系橢圓和圓之間的關系呢?學生都有知識儲備,但是無法提取應用的內(nèi)容是:選修的仿射坐標變換.橢圓=1經(jīng)過s=x,t變換成圓s2+t2=a2,在圓中完成相關量的運算之后,通過逆變換回到橢圓中.如下圖

3.2 溯源探流,趨于通透

本題的背景是橢圓,最簡單的聯(lián)想是:

1.背景換成圓、雙曲線、拋物線動點R軌跡又是什么?

在軟件GeoGebra的支持下,可以清晰地“看”到軌跡的變化過程:

命題2已知圓C:x2+y2=r2,過點B(m,0)(m/=0)的直線交橢圓C于P,Q兩點,則線段PQ的中點R的軌跡是以OB為直徑的圓(或者圓的一部分)如圖2.

圖1

圖2

圖3

圖4

命題4已知拋物線C:y2=2px,過點B(m,0)(m/=0)的直線交橢圓C于P,Q兩點,則線段PQ的中點R的軌跡是頂點為B的拋物線.如圖4.

囿于篇幅,命題證明略(可使用點差法證明)

波利亞說,“好問題類似于采蘑菇,采到一個后還應四處看看,也許還有更多.”通過不斷地變換背景,變化定點的坐標,在發(fā)現(xiàn)“蘑菇群”的同時也構(gòu)建了一個命題網(wǎng)絡,例如我們改變求AR的斜率為求線段長.于學生而言,登高望遠,收獲的不僅僅是知識,更重要的是享受了成功的喜悅.在“源與流”的探尋中,思維水平和解題境界有了真切的提升(命題推廣中的類比合情推理,直觀想象與邏輯推理的相互關照等),切實在學數(shù)學知識與技能的同時,生成數(shù)學核心素養(yǎng).