高中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)與培養(yǎng)學(xué)生思維“五性”

廣東省惠東縣教育局教研室(516300) 汪輝

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程是解題的過(guò)程,數(shù)學(xué)解題方法是數(shù)學(xué)思維的體現(xiàn),數(shù)學(xué)思維是理性思維的重要載體.而解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的重要環(huán)節(jié).學(xué)數(shù)學(xué)離不開解題.有人認(rèn)為熟能生巧,只要多解題就行,其實(shí)熟能生巧是適用于技藝型的.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)屬于探索型學(xué)習(xí),更重要的應(yīng)是思維訓(xùn)練和品質(zhì)塑造.教師要把精力放在優(yōu)選習(xí)題,充分挖掘例習(xí)題訓(xùn)練思維的內(nèi)在潛力與充分發(fā)揮例習(xí)題的教育功能上,讓解題教學(xué)更重創(chuàng)新、重分析、重規(guī)律、重引申、重發(fā)展.對(duì)培養(yǎng)學(xué)生思維的“五性”有著重要作用.下面就結(jié)合高三數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)教學(xué),談?wù)劸唧w認(rèn)識(shí)和做法.

一、變更命題的表達(dá)形式,培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性.

例 (1)已知函數(shù)f(x)=lg(ax-bx)(常數(shù)a＞1＞b＞0),求證:函數(shù)f(x)的圖像上任意兩點(diǎn)的所連成直線都不平行于x軸.

(2)已知函數(shù)f(x)=lg(ax-bx)(常數(shù)a＞1＞b＞0),求證:函數(shù)f(x)=0至多只有一個(gè)實(shí)數(shù)解.

(3)已知函數(shù)f(x)=lg(ax-bx)(常數(shù)a＞1＞b＞0),求證:函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)是增函數(shù).

同一問(wèn)題,變更命題的表達(dá)形式,可以從不同角度提出來(lái),多題一解,使解題回規(guī)通性通法,使思維程度不斷得到升化.加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練,培養(yǎng)了學(xué)生審題習(xí)慣,從而達(dá)到使學(xué)生養(yǎng)成深刻理解問(wèn)題本質(zhì)的能力.

二、尋求不同解題途徑與思維方式,培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性.

例 給定拋物線C:y2=4x,F是C的焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F直線L與C相交于A、B兩點(diǎn).(1)設(shè)L的斜率為1,求OA與OB夾角的大小;(2)略.

圖1

看問(wèn)題由已知得出直線L的方程為y=x-1與拋物線y2=4x聯(lián)立后,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),可得

○1設(shè) ∠xOA=α,∠xOB=β,求tan(α+β)即為∠AOB的正切值.○

上述第一種解法,引出學(xué)生對(duì)兩角和公式的復(fù)習(xí),直線的傾斜角和直線與直線夾角的聯(lián)系與區(qū)別,傾斜角與斜率的關(guān)系;第二種解法引出學(xué)生辨別直線“夾角公式”和“有向角”公式的區(qū)別和聯(lián)系,直線夾角與斜率的關(guān)系;第三種解法簡(jiǎn)潔,引出平面向量數(shù)量積,解析幾何基本思想和方法.凸顯向量這一工具知識(shí)點(diǎn)在解決初等數(shù)學(xué)問(wèn)題的優(yōu)越性.對(duì)問(wèn)題解答的思維方式不同,產(chǎn)生解題方法各異,這樣訓(xùn)練有益于打破思維定勢(shì),開拓學(xué)生思路,優(yōu)化解題方法,從而培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力.

成品油市場(chǎng)作為中國(guó)能源行業(yè)的重要組成部分，對(duì)國(guó)民經(jīng)濟(jì)的平穩(wěn)運(yùn)行有著重要影響。合理的定價(jià)機(jī)制、公平的市場(chǎng)環(huán)境、完善的制度建設(shè)是成品油市場(chǎng)高效有序運(yùn)行的重要保障。

三、變換幾何圖形的位置、形狀和大小,培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性.

例 正三棱柱ABCA1B1C1中,各棱長(zhǎng)均為 2,M為AA1的中點(diǎn),N為BC的中點(diǎn),則在棱柱的表面上從點(diǎn)M到點(diǎn)N的最短距離是多少?并求之.

圖2

分析 從點(diǎn)M到N有幾種情況:

(1)沿側(cè)面經(jīng)CC1到N,或沿側(cè)面經(jīng)BB1到N.由正三梭柱可知,最短距離相等.

(2)沿底面經(jīng)AB到達(dá)點(diǎn)N或經(jīng)過(guò)AC到達(dá)N,這兩種情況最短距離也相等.

這樣只要計(jì)算(1)、(2)的一種情況,結(jié)果比較后即可確定最短距離.

例 已知長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中:

(1)若AB=5,AA1=4,AD=3,試求在長(zhǎng)方體表面上從A到C1的最短路線.

圖3

分析 (1)沿表面經(jīng)過(guò)A1B1(或CD)到C1點(diǎn);

(2)沿表面BB1(或DD1)到C;

(3)沿表面經(jīng)A1D1(或BC)到C1.

將有關(guān)平面折直,構(gòu)成如右圖(I)、(II)、(III)三平面.由平面幾何知識(shí),六條線路可歸結(jié)為此三種情況,最短距離必在平面 (I)、(II)、(III)中.

這樣引導(dǎo)學(xué)生把例習(xí)題多層次變換,既加強(qiáng)了知識(shí)之間聯(lián)系,又激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,達(dá)到既鞏固知識(shí)又培養(yǎng)能力的目的,同時(shí)強(qiáng)化了學(xué)生解題思維的敏捷性.

四、改變題目的條件和結(jié)論,培養(yǎng)學(xué)生思維的批判性.

例 (1)已知方程x2+(m-2)x+5+m=0的兩個(gè)根一個(gè)大于1,而另一個(gè)根小于1,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

(2)已知方程x2+(m-2)x+5+m=0的兩個(gè)根都在區(qū)間(1,2)內(nèi),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

(3)已知方程x2+(m-2)x+5+m=0的兩個(gè)根分別在區(qū)間(0,1)和(1,2)內(nèi),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

如此一題多變,會(huì)使學(xué)生對(duì)一元二次方程根的分布情況有一個(gè)清晰的認(rèn)識(shí),同時(shí)對(duì)韋達(dá)定理、二次函數(shù)的圖像更加理解,使知識(shí)系統(tǒng)化.(解略).這樣的訓(xùn)練可以克服學(xué)生靜止、孤立地看問(wèn)題的習(xí)慣,促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的再認(rèn)識(shí),培養(yǎng)學(xué)生研究、探索問(wèn)題的能力以及對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的批判價(jià)值觀.

五、變封閉式題目為開放型題目,培養(yǎng)學(xué)生的思維創(chuàng)造性.

例 填空題.已知α、β是兩個(gè)不同的平面,m、n是平面α及β之外的兩條直線,由α⊥β,n⊥β,m⊥α,可得m⊥n.

若將此題改為已知α、β是兩個(gè)不同的平面,m、n平面α及β之外的兩條直線.給出四個(gè)論斷:○1m⊥n、○2α⊥β、○3n⊥β、○4m⊥α.以其中三個(gè)論斷為條件,余下一個(gè)論斷作為結(jié)論,寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題.(1999年全國(guó)高考題)

總之,高考離不開解題,要想在競(jìng)爭(zhēng)激烈的高考中取得勝利,就必須對(duì)學(xué)生進(jìn)行上述解題的“拔高”訓(xùn)練(尤其是備考的第二階段),即培養(yǎng)學(xué)生思維的“五性”,這也是提高高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)效率行之有效的方法.