一類Schr?dinger-Kirchhoff-Possion系統(tǒng)的非平凡解

呂利梅， 王淑麗， 郭祖記

(太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院， 山西 太原 030024)

本文主要應(yīng)用變分法討論如下Schr?dinger-Kirchhoff-Possion系統(tǒng)

非平凡解的存在性, 其中a>0,b≥0 是常數(shù),λ>0 是參數(shù), 2

近年來, 形如問題

(1)

及類似問題已被眾多的學(xué)者廣泛研究[1-5]. 這些問題有著強(qiáng)烈的物理背景, 它們出現(xiàn)在量子力學(xué)及半導(dǎo)體理論中, 將帶電粒子和電磁場的相互作用通過Schr?dinger 方程耦合Possion方程來描述. 對于更多的物理背景可參見文獻(xiàn)[6-7]. 當(dāng)q>0時, 許多學(xué)者研究了問題(1)解的存在性和多重性[1-3], 也有一些文章研究q<0時解的存在性. 如文獻(xiàn)[4-5]中, 作者分別研究了當(dāng)q<0,f(x,u)=a(x)|u|p-2u時, 問題(1)正解和正基態(tài)解的存在性.

定理 1 當(dāng)p∈(2,4]且λ充分大或p∈(4,6)時, 問題(SK)

存在非平凡解.

本文第1部分主要介紹一些預(yù)備知識, 第2部分則介紹主要結(jié)果及其證明過程.

1 預(yù)備知識

1) 對任意的z∈R3,ρ>0,Bρ(z)為以z為球心 , 以ρ為半徑的球.

2) 對任意的s∈[1,+∞), |·|s表示Lebesgue空間Ls(R3)中的通常范數(shù).

3) 對固定的a>0, 在通常的Sobolev空間H1(R3) 中, 定義其上內(nèi)積和范數(shù)分別為

4)D1,2(R3) 是C0∞(R3)關(guān)于如下范數(shù)的完備化空間

7)Ci,i∈N， 表示不同的正常數(shù).

由Lax-Milgram定理, 存在唯一的φu∈D1,2(R3), 使得對于所有的v∈D1,2(R3),

即φu是方程-△φ=u2的弱解, 并且

(2)

顯然φu是有界連續(xù)的[8]且具有如下性質(zhì).

引理 1[8-9]對于任意的u∈H1(R3), 有:

3) 如果在H1(R3) 中un?u, 那么在D1,2(R3) 中φ{(diào)un}?φu, 且對任意的v∈H1(R3),

φununvφuuv.

將式(2)代入問題(SK)的第1個方程, 得

φuu =

λ|u|p-2u+u5, x ∈ R3.

(3)

式(3)是可變分的, 其能量泛函I∶H(R3)R為

顯然,I∈C1且對任意的u,v∈H1(R3),

因此, 如果u是I的臨界點(diǎn), 則(u,φu)是問題(SK)的弱解, 其中φu由式(2)給出.

引理 2 (山路引理)[10]設(shè)X是Banach空間,I∈C1(X, R)滿足

1)I(0)=0且存在正數(shù)ρ和α, 使得I|?Bρ(0)≥α；

I(un)c≥α,I′(un)0,

其中

Γ={γ∈C([0,1],E)|γ(0)=0,

I(γ(1)) <0}.

引理 3 (極小極大原理)[11]設(shè)X是一個Banach 空間，M0是距離空間M的閉子空間，Γ0?C(M0,X). 定義

?！?{γ∈C(M,X)∶γ|M0∈Γ0}.

如果φ∈C1(X,R) 滿足

1)c-2ε≤φ(u)≤c+2ε；

2) dist(u,γ(M))≤2δ；

3) ‖φ′(u)‖≤8ε/δ.

2 主要結(jié)論

引理 4 設(shè)u∈H1(R3) 是方程(3)的一個弱解, 則u滿足下列Poho?aev恒等式

(4)

證明 證明方法為標(biāo)準(zhǔn)方法[12]， 此處省略.

引進(jìn)流形

M∶={u∈H1(R3){0}∶G(u)=0},

其中

證明 對任意的u∈H1(R3){0}, 記g(t)=I(ut), 則

引理 6I有山路引理的幾何結(jié)構(gòu).

證明 i) 顯然,I(0)=0. 由引理1(1)和Sobolev嵌入定理,

I(u)=

因?yàn)?0,α>0, 使得

C3‖u‖6≥ α, ‖u‖=ρ.

ii) 固定u∈H1(R3){0}, 則對t>0,

因此, 存在t0>0, 使得I(ut0)<0且‖ut0‖>ρ. 記e=ut0, 則‖e‖>ρ,I(e)<0.

定義I的山路值為

(5)

其中?！?{γ∈C([0,1],H1(R)3)∶γ(0)=0,I(γ(1))<0}.

引理 7 存在序列{un}?H1(R3), 滿足

I(un)c,I′(un)0,G(un)0,

(6)

其中c由式(5)給出.

證明 定義映射Φ∶R×H1(R3)H1(R3) 為記則

下面將利用引理3證明: 存在序列{(θn,vn)}?R×H1(R3), 滿足

(7)

(8)

θn0.

(9)

記un=Φ(θn,vn), 則式(7)蘊(yùn)含I(un)c. 對于任意的(h,ω)∈R×H1(R3),

Φ(θn,ω)〉+G(un)h,

(10)

在式(10)中取h=1, ω=0, 則G(un)0.

即I′(un)0，

則有下列結(jié)果.

引理 8 c=c1=c2.

證明 證明參觀文獻(xiàn)[13]引理2.6.

引理 9 當(dāng)p∈ (2,4] 且λ充分大或p∈(4,6),

(11)

(12)

這蘊(yùn)含著

(13)

由式(11)～(13)知, 當(dāng)ε>0 充分小時, 存在與ε無關(guān)的正數(shù)t1, 使得tε≤t1. 下證存在與ε無關(guān)的正數(shù)t2>0, 使得對充分小的ε>0,tε≥t2. 若不然, 則存在εn0 使得tεn0. 因此, 在H1(R3) 中, (vεn)tεn0, 結(jié)合引理8和引理5可得

這是個矛盾.

(14)

定義

所以

(15)

因此, 由式(14)～(15)可得

(16)

由于

結(jié)合式(12)， 式(16)和t2≤tε≤t1可得

(17)

所以, 對充分小的ε>0, c

引理 10 滿足式(6)的序列{un}?H1(R3)有界.

證明 由式(6)有,

即證得序列{un}在H1(R3) 中有界.

引理 11 存在序列{xn}?R3,r>0,β>0使得

其中{un}?H1(R3) 滿足式(6).

證明 假設(shè)引理結(jié)論不成立, 則由消失引理(參見文獻(xiàn)[11]引理1.21), 對一切2

(18)

(19)

令

(20)

很明顯l1≥0,l2≥0. 現(xiàn)在證明l1>0. 若l1=0, 即在H1(R3) 中有un0, 這與c>0 矛盾. 由式(18)～(20)可以得到,

根據(jù)S的定義, 有

在上面2個不等式中, 令n∞, 則

因此,

這與引理9矛盾, 即證.

定理1的證明 設(shè)序列{un}?H1(R3) 滿足式(6),c由式(5)給出. 定義

vn(x)=un(x+xn),

其中{xn}為引理11中所給序列. 由引理10, 存在v∈H1(R3)， 滿足

(21)

由引理11，v是非平凡的. 而且,v滿足

-(a+bA2)△v+v=φvv+λ|v|p-2v+v5,

(22)

且

下證G(v)=0. 假設(shè)G(v)<0, 則存在唯一的0

(23)

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