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    一類HJB方程的迭代算法求解

    2018-02-05 09:02:51李明偉云南開放大學(xué)
    數(shù)碼世界 2018年1期
    關(guān)鍵詞:網(wǎng)格法迭代法分量

    李明偉 云南開放大學(xué)

    在實踐當(dāng)中,HJB方程應(yīng)用范圍較廣,涉及到科研、工程建設(shè)以及經(jīng)濟(jì)建設(shè)等多個領(lǐng)域,尤其是對一些最優(yōu)控制問題的求解,常用的技術(shù)手段為動態(tài)規(guī)劃,直接產(chǎn)生的形式為HJB方程。在這一過程中,對于一些非線性期權(quán)定價方面的工作,也可以使用HJB方程,完成問題的轉(zhuǎn)換和解決,下面筆者結(jié)合相關(guān)方面的研究,對本課題進(jìn)行詳細(xì)論述[1]。

    1 對一類HJB方程進(jìn)行介紹

    1.1 HJB方程數(shù)值解

    對于HJB方程主要是對于有關(guān)方面研究的三位專家名字首字母的縮寫,其具體形式如下所示:

    當(dāng)u(x)=0時,x的取值范圍在θΩ范圍之內(nèi),在具體判定過程中,主要的依據(jù)是Ω是否屬于Rn,如果在其范圍之內(nèi),則可判斷光滑,存在界域,將fv(x)從屬于C2(Ω)設(shè)置為既定函數(shù),那么Av可以被定義為二階一致橢圓算子。在具體應(yīng)用過程中,相關(guān)的求解方法源于動態(tài)規(guī)劃原理[2],而對于HJB方程的求解方法,最早出現(xiàn)的是對其進(jìn)行離散化處理,使用的是有限元法或者限差方法,然后求解離散化方程的數(shù)值,具體步驟如下:

    首先,當(dāng)v屬于1——m范圍之內(nèi),進(jìn)行方程組求解,將具體的解記做u0h,m.公式如下:

    其次,在n值不小于1的情況下,且1≤v≤m時,給出條件為在這一過程中求解方程組,并將具體的解記做.需要求解的方程組如下所示:

    1.2 多重網(wǎng)格法

    有關(guān)于多重網(wǎng)格法的基本思想體現(xiàn)在以下幾點:通過實際的計算案例可以證明,需要使用常規(guī)單網(wǎng)格迭代模式,保證迭代法的科學(xué)性,促進(jìn)橢圓型邊值求解的準(zhǔn)確和方便,收斂速度會隨著迭代的進(jìn)行逐漸減慢,之所以產(chǎn)生這一現(xiàn)象的主要原因是:相對網(wǎng)格步長,可以將初始誤差分為低頻光滑分量和高頻擺動分量,只要松弛因子選擇合理,高頻分量的誤差衰減效果將會較為明顯,而對于低頻分量,通過松弛因子的選擇來提高誤差衰減效果是不可能的,因此,可以總結(jié)為,采用固定的單網(wǎng)格迭代模式時,光滑的誤差分量衰減速度較慢,降低了收斂速度。使用多重網(wǎng)格法就是為了消除這一隱患,根據(jù)網(wǎng)格尺度來劃分,細(xì)網(wǎng)格上面被認(rèn)定為低頻光滑分量,粗網(wǎng)格上面被認(rèn)定為高頻擺動分量,在使用該方法的過程中,先進(jìn)行細(xì)網(wǎng)格迭代,衰減掉相應(yīng)的擺動分量,然后在粗網(wǎng)格上完成低頻光滑分量的衰減,這樣會早知網(wǎng)格逐漸加粗,消除各種誤差分量,當(dāng)處于最后層粗網(wǎng)格時,節(jié)點數(shù)量較少,可以通過直接解法計算,最后通過粗網(wǎng)格逐步返回各層細(xì)網(wǎng)格開始計算,經(jīng)過多次計算,得到所需的數(shù)值[4]。

    1.3 瀑布型多重網(wǎng)格法

    根據(jù)多重網(wǎng)格法,相關(guān)人士研究出了瀑布型多重網(wǎng)格法,這一方法的優(yōu)點體現(xiàn)在,無需在粗網(wǎng)格上面完成校正工作,具有單向性。在具體操作過程中,當(dāng)?shù)l(fā)生在細(xì)網(wǎng)格之上時,與粗網(wǎng)格之間存在關(guān)聯(lián)性的誤差將會降低頻率,由高頻轉(zhuǎn)化為低頻,無法實現(xiàn)通過磨光算子來減小的目標(biāo),因此,要保證使用瀑布型多重網(wǎng)格法時,每層求解的精度要滿足最細(xì)網(wǎng)格的要求,致使粗網(wǎng)格上面發(fā)生較多的迭代。對于瀑布型多重網(wǎng)格法的最優(yōu)化評價指標(biāo)是誤差估計保持在能量范數(shù)以下,這是該方法的不足之處,而這一方法的優(yōu)勢體現(xiàn)在簡捷、對于每層所發(fā)生的迭代可以進(jìn)行預(yù)先確定,主要依據(jù)是最細(xì)網(wǎng)格層數(shù)與當(dāng)前網(wǎng)格層數(shù)之差,并不依據(jù)空間維數(shù)來判斷,因此,可以用于高維問題的解決,能起到理想效果。

    2 迭代法及其收斂性的介紹

    在具體分析過程中,以max1≤j≤k{Aj(u)-Fj}=0為例進(jìn)行具體分析,其中K是Rn的子集,并將K到Rn的算子記做A,對于在(v1,v2...,vn)T∈Rn范圍內(nèi)的每一個v值用v++v-來表示,對于v+代表的是max{v,0},v-代表的是min{v,0},其中最大值和最小值的選取依據(jù)為分量情況,F(xiàn)j從屬于Rn,對于T的單調(diào)函數(shù)記做Aj,對于j的取值范圍在{1,2,...k}之間。

    在討論收斂性的過程中,如果v∈Rn且滿足:max{AJ(u)-Fj}≥0,(1≤j≤k),這時可以將v定義為max1≤j≤k{Aj(u)-Fj}=0迭代算法中的一個上解,并將所有上解組成一個集合,稱之為上解集,用S來表示。

    具體算法如下:

    第一步,對相關(guān)條件進(jìn)行設(shè)置,假定ε>0,u0屬于S上解集合范圍,m:=0.

    第二步,對l取值為{1,2,...n}等不同情況進(jìn)行計算,計算對象為ulm+1,計算目標(biāo)主要是實現(xiàn)max1≤j≤k{(Aj(um+1,l)-Fj)l}=0,在這一環(huán)節(jié)當(dāng)中,對于um+1,l要包含在{u1m+1,...ulm+1...ul+1m,..unm}范圍之內(nèi)。

    第三步,假設(shè)um+1與um+1,n相等,如果ε>‖um+1-un‖,那么停止計算,否則,將m:=m+1,回歸到第二步重新開始計算。

    相關(guān)的引理如下:

    設(shè)置A屬于K上面的連續(xù)單調(diào)函數(shù),將N的子集合設(shè)置為I和J,且二者之間的關(guān)系為J=N/I。所有屬于K范圍內(nèi)的y和z,如果滿足yI=zI,與此同時,還要保證yJ≥zJ,這時,得出的結(jié)論是AI(z)≥AI(y)。對其進(jìn)行論證,主要表現(xiàn)在以下方面:

    只要保證y,z屬于K范圍之內(nèi),并且保證yI=zI,與此同時,還要保證zJ≥yJ,在這種情況下,假設(shè)I∧={j∈I:A(jy)>Aj(z)},且還要求=,并且對于I∧的情況進(jìn)行限定,務(wù)必保證非空。

    在w2=y的情況下,對于w1的定義主要分為兩種情況,當(dāng)時,(w1)j=zj+δ,當(dāng)時,(w1)j=zj,在這一過程中,δ取值為正數(shù),并在函數(shù)A的連續(xù)性支持下,δ取值可以足夠小,這樣就可以得出,一切滿足的情況下,都可得出Aj(w2)>Aj(w1),對這一結(jié)論進(jìn)行總結(jié),結(jié)果有兩種,其一,當(dāng),(w1-w2)j+=δ,其二,當(dāng)時,(w1-w2)j+=0,所以,在此情況下,可以推論出:(Aj(w1)-Aj(w2))< 0 與(A(w1)-A(w2),(w1-w2)+)≥0相等,這是一個矛盾結(jié)果,所以,當(dāng)與Φ相等時,Al(z)≥ Al(y)。

    3 區(qū)域分解法

    區(qū)域分解法可以實現(xiàn)對大規(guī)模問題的分析和解決,并可以進(jìn)行并行計算,下面對其收斂性進(jìn)行驗證,假設(shè)N=N1∪N2∪N3∪N4...∪Nq,其中q的取值為正數(shù)。

    具體算法如下:

    第一步,進(jìn)行條件設(shè)定,假定ε>0,u0屬于S上解集合范圍,m:=0.

    第二步,在p=1,2,3,4,...,q的情況下,分別進(jìn)行并行計算,求出非線性方程組解,

    um+1,p 屬 于 Qpm+1, 結(jié) 果 如 下:max1≤j≤k{(Aj(um+1,p)-Fj)Np}=0,在這一環(huán)節(jié)當(dāng)中,對于Qpm+1,要滿足與{v∈Rn:vs=usm,s∈N/Np}相等.

    第三步,對um+1進(jìn)行取值的最小化,使其等于min{um+1,p},在這一過程中,p的取值要滿足在{1,2,3,...q}范圍之內(nèi).

    第四步,假設(shè)ε>‖um+1-um‖,那么停止計算,否則,將m:=m+1,回歸到第二步重新開始計算。

    4 結(jié)束語

    綜上所述,有關(guān)于一類HJB方程的迭代算法求解方法較多,隨著研究的不斷深入,對原有的求解方法在不斷更新和改進(jìn),但總體的原則是務(wù)必保證求解的準(zhǔn)確性,且要求簡化求解過程的計算量,根據(jù)相關(guān)解法的優(yōu)劣勢進(jìn)行對比分析,互相借鑒,滿足實際需求。除此以外,研究人員,還要明確研究方向,以現(xiàn)實問題的解決和發(fā)展趨勢為主要目標(biāo),對于一類HJB方程的迭代算法求解進(jìn)行創(chuàng)新,為相關(guān)方面的工作開展奠定基礎(chǔ)。

    [1]謝水連,許鴻儒,胡漢章.求解一類HJB方程的迭代算法[J].高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報,2012,27(2):000200-205.

    [2]楊建鵝,黃曉梅.求解HJB方程的兩類迭代法研究[J].江西科學(xué),2014,32(2):185-188.

    [3]鄒戰(zhàn)勇,周叔子.求解HJB方程的擬變分不等式組的迭代法[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報,2012,35(4):747-755.

    [4]梁莉,李勝軍.一類HJB方程的上解和下解[J].蘭州文理學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版),2013,27(6):18-20.

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