正弦式交變電流的圖像問題求解策略

■河南省洛陽市第二中學(xué) 王春旺

若線圈在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中繞與磁場(chǎng)方向垂直的軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng),則線圈中將產(chǎn)生正弦式交變電流。高中階段同學(xué)們遇到的與正弦式交變電流相關(guān)的圖像主要有四種,分別是磁通量隨時(shí)間變化的圖像、電動(dòng)勢(shì)隨時(shí)間變化的圖像和電流隨時(shí)間變化的圖像、電壓隨時(shí)間變化的圖像等。

一、圖像的解讀

1.中性面位置是指線圈平面垂直于勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向的位置。若發(fā)電機(jī)的線圈在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中從中性面開始以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng),則與隨之產(chǎn)生的正弦式交變電流相關(guān)的四個(gè)物理量隨時(shí)間變化的規(guī)律和圖像如下。

(1)磁通量：函數(shù)關(guān)系式為Φ=Φmaxcosωt,圖像如圖1所示。由磁通量隨時(shí)間變化的圖像可知：在中性面位置,線圈平面垂直于磁場(chǎng)方向,穿過線圈的磁感線條數(shù)最多,磁通量最大,最大值Φmax=BS,S為線圈面積;在垂直于中性面位置,線圈平面與磁場(chǎng)方向平行,穿過線圈的磁感線條數(shù)為零,磁通量為零。

圖1

(2)電動(dòng)勢(shì)：函數(shù)關(guān)系式為e=Emaxsinωt,圖像如圖2所示。由電動(dòng)勢(shì)隨時(shí)間變化的圖像可知：在中性面位置,產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)最小,最小值為零;在垂直于中性面位置,產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)最大,最大值Emax=nBSω。

(3)電流：函數(shù)關(guān)系式為i=Imaxsinωt,圖像如圖3所示。由電流隨時(shí)間變化的圖像可知：在中性面位置,外電路中的電流最小,最小值為零;在垂直于中性面位置,外電路中的電流最大,最大值

圖2

圖3

(4)電壓：函數(shù)關(guān)系式為u=Umaxsinωt,圖像如圖4所示。由電壓隨時(shí)間變化的圖像可知：在中性面位置,外電路的電壓(發(fā)電機(jī)路端電壓)最小,最小值為零;在垂直于中性面位置,外電路的電壓(發(fā)電機(jī)路端電壓)最大,最大值

2.上述四個(gè)物理量的相互關(guān)系如下。

(1)根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律可知,電動(dòng)勢(shì)與磁通量的關(guān)系為

(2)若發(fā)電機(jī)線圈電阻為r,外電路電阻為R,根據(jù)閉合電路歐姆定律得

(3)根據(jù)閉合電路歐姆定律得u=iR=

二、圖像的應(yīng)用

1.這四種圖像的橫軸代表物理量時(shí)間,一個(gè)完整周期對(duì)應(yīng)的時(shí)間均表示交變電流的一個(gè)周期。

2.利用圖像可以確定相應(yīng)物理量的峰值,即圖像的最大值為相應(yīng)物理量的峰值。

3.利用圖像可以確定正弦式交變電流的有效值,即

三、圖像問題攻略

利用正弦式交變電流圖像分析相關(guān)各物理量的變化情況時(shí),要注意中性面的特點(diǎn)。相關(guān)各物理量的變化可分為兩大類：一類是電壓U、電流I、電動(dòng)勢(shì)E、磁通量變化率它們的變化情況相同,遵循相同的變化規(guī)律;另一類是磁通量Φ,它的變化情況與前一類的變化情況相反。

例1邊長(zhǎng)為a的N匝正方形線圈在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中繞垂直于磁感線且與線圈在同一平面內(nèi)的對(duì)稱軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng),轉(zhuǎn)速為n,線圈所圍面積內(nèi)的磁通量Φ隨時(shí)間t變化的規(guī)律如圖5所示,圖像中Φ0已知,則下列說法中正確的是( )。

A.t1時(shí)刻線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)最大

B.t2時(shí)刻線圈中的感應(yīng)電流為零

D.線圈中瞬時(shí)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的表達(dá)式為e=2πnNcos2πnt

解析：t1時(shí)刻線圈中的磁通量最大,磁通量變化率為零,根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律可知,線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為零,選項(xiàng)A錯(cuò)誤。t2時(shí)刻線圈中的磁通量為零,磁通量變化率最大,根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律可知,線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)最大,根據(jù)閉合電路歐姆定律可知,線圈中的感應(yīng)電流最大,選項(xiàng)B錯(cuò)誤。由磁通量最大值Φ0=BS,S=a2可知,勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度選項(xiàng)C正確。根據(jù)正方形線圈在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中繞垂直于磁感線且與線圈在同一平面內(nèi)的對(duì)稱軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)速為n可得,頻率f=n,ω=2πn,線圈所圍面積內(nèi)的磁通量Φ隨時(shí)間t變化的規(guī)律為Φ=Φ0sin2πnt,線圈中瞬時(shí)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的表達(dá)式為e=NBsωcosωt=2πnNcos2πnt,選項(xiàng)D正確。答案為CD。

點(diǎn)評(píng)：此題以線圈在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中繞垂直于磁感線且與線圈在同一平面內(nèi)的對(duì)稱軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)線圈所圍面積內(nèi)的磁通量Φ隨時(shí)間t變化的圖像為信息,考查磁通量、法拉第電磁感應(yīng)定律、閉合電路歐姆定律及其相關(guān)知識(shí)點(diǎn),意在考查同學(xué)們對(duì)磁通量圖像的理解和綜合運(yùn)用相關(guān)知識(shí)求解問題的能力。

例2如圖6甲所示,在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中,有一匝數(shù)為n,面積為S,總電阻為r的矩形線圈abcd繞軸OO'做角速度為ω的勻速轉(zhuǎn)動(dòng),矩形線圈在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中可以保持與外電路電阻R形成閉合電路,回路中接有一理想交流電流表。圖乙是線圈在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)e隨時(shí)間t變化的圖像,下列說法中正確的是( )。

A.從t1到t3這段時(shí)間內(nèi)穿過線圈磁通量的變化量為2nBS

B.從t3到t4這段時(shí)間內(nèi)通過電阻R的電荷量為

C.t3時(shí)刻穿過線圈磁通量的變化率為nBSω

解析：從t1到t2這段時(shí)間內(nèi),線圈轉(zhuǎn)過四分之一周期(90°),穿過線圈磁通量的變化量ΔΦ1=0-BS=-BS,從t2到t3這段時(shí)間內(nèi),線圈又轉(zhuǎn)過四分之一周期(90°),穿過線圈磁通量的變化量為ΔΦ2=-BS-0=-BS,因此從t1到t3這段時(shí)間內(nèi)穿過線圈磁通量的變化量ΔΦ=ΔΦ1+ΔΦ2=-2BS,選項(xiàng)A錯(cuò)誤。從t3到t4這段時(shí)間內(nèi),穿過線圈磁通量的變化量ΔΦ=0-BS=-BS,根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律可知,產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)根據(jù)閉合電路歐姆定律可知,通過電阻R的電流通過電阻R的電荷量選項(xiàng)B錯(cuò)誤。t3時(shí)刻線圈中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)最大,且所以穿過線圈磁通量的變化率選項(xiàng)C錯(cuò)誤。電流表的示數(shù)為交變電流的有效值,即I=選項(xiàng)D正確。答案為D。

點(diǎn)評(píng)：線圈的兩個(gè)面可以分別被視為正面和反面,磁感線從正面穿入可視為磁通量為正值,磁感線從反面穿入可視為磁通量為負(fù)值。在線圈從磁通量為最大值的位置轉(zhuǎn)過180°的過程中,磁通量變化量為磁通量最大值的2倍,而不能視為磁通量變化量為零。

例3如圖7甲所示,一矩形閉合線圈在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中繞垂直于磁場(chǎng)方向的轉(zhuǎn)軸OO'以恒定的角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)。從線圈平面與磁場(chǎng)方向平行時(shí)開始計(jì)時(shí),線圈中產(chǎn)生的交變電流按如圖乙所示的余弦規(guī)律變化,則在t=時(shí)刻,下列說法中正確的是( )。

A.線圈中的電流最大

B.穿過線圈的磁通量最大

C.線圈所受的安培力為零

D.穿過線圈磁通量的變化率最大

解析：由周期公式可知時(shí)刻,線圈恰好轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)周期,對(duì)應(yīng)圖乙中線圈中的電流最大,選項(xiàng)A正確。當(dāng)線圈中的電流最大時(shí),對(duì)應(yīng)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)最大,穿過線圈磁通量的變化率最大,穿過線圈的磁通量為零,選項(xiàng)B錯(cuò)誤,D正確。根據(jù)安培力公式F=BILsinα可知,當(dāng)電流I最大時(shí),電流I與磁感線間的夾角為90°,線圈所受安培力最大,選項(xiàng)C錯(cuò)誤。答案為AD。

點(diǎn)評(píng)：此題以電流—時(shí)間圖像為信息,但是沒有給出電流的變化周期,同學(xué)們需要根據(jù)題述“矩形閉合線圈在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中繞垂直于磁場(chǎng)方向的轉(zhuǎn)軸OO'以恒定的角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)”得出電流的變化周期從而確定在時(shí)刻,對(duì)應(yīng)圖乙中線圈中的電流最大,最終使相關(guān)問題得到解答。