考慮包辛格效應(yīng)的輥式矯直截面反彎特性

馬曉彬，張杰，李洪波，周一中，胡偉東，張中偉

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考慮包辛格效應(yīng)的輥式矯直截面反彎特性

馬曉彬1，張杰1，李洪波1，周一中2，胡偉東2，張中偉2

(1. 北京科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，北京，100083；2. 寶鋼股份武漢鋼鐵有限公司，湖北武漢，430083)

基于彈塑性彎曲基本原理，以板材進(jìn)入矯直機(jī)后經(jīng)歷的第2次彎曲為例，建立考慮包辛格效應(yīng)影響程度(Ba)的輥式矯直復(fù)雜彎曲力學(xué)模型。采用該模型計(jì)算Ba對第2次彎曲時?關(guān)系和?關(guān)系及殘余應(yīng)力的影響，證明輥式矯直過程中經(jīng)歷多次彈塑性彎曲的截面反彎特性受材料包辛格效應(yīng)的影響，而且隨著材料強(qiáng)化系數(shù)的增大，截面彎曲特性所受影響越顯著。最后計(jì)算相同矯直工況下，Ba不同的材料的殘余曲率，得到材料Ba對于殘余曲率的影響。研究結(jié)果表明：強(qiáng)化系數(shù)較大(＞0.01)的材料進(jìn)行矯直仿真時應(yīng)考慮包辛格效應(yīng)，在實(shí)際生產(chǎn)中確定工藝參數(shù)時需要首先確定材料的Ba。

包辛格效應(yīng)；輥式矯直；強(qiáng)化系數(shù)；彎矩?曲率；殘余應(yīng)力

1 材料性質(zhì)與參數(shù)設(shè)定

1.1 包辛格效應(yīng)及其強(qiáng)化模型

當(dāng)強(qiáng)化材料正向加載到一定程度的塑性應(yīng)變后，此時的應(yīng)力稱為正向后繼屈服應(yīng)力，它是材料卸載并重新正向加載時新的屈服應(yīng)力；但是在卸載并按反向施加載荷后，其反向后繼屈服應(yīng)力的絕對值要比正向屈服應(yīng)力下降，這種現(xiàn)象稱為包辛格效應(yīng)。描述材料在塑性加載—卸載—再加載過程中的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的強(qiáng)化模型主要分為3類：各向同性強(qiáng)化、隨動強(qiáng)化和混合強(qiáng)化。當(dāng)強(qiáng)化材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系采用如式(1)所示的雙線性強(qiáng)化模型描述，3種強(qiáng)化模型所描述的材料單向循環(huán)拉壓時的單軸應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系存在較大差別，如圖1所示。

式中：為應(yīng)力；E為材料的彈性模量；為應(yīng)變；為屈服應(yīng)變；為截距應(yīng)力，等于；η為材料的強(qiáng)化系數(shù)，等于塑性段直線斜率。

從圖1可以看出：各向同性強(qiáng)化不能體現(xiàn)包辛格效應(yīng)，隨動強(qiáng)化模型只能描述一種包辛格效應(yīng)影響程度，而一般材料在復(fù)雜加載路徑下不單純表現(xiàn)為各向同性強(qiáng)化和隨動強(qiáng)化，而是介于2種強(qiáng)化模型之間，是兩者的結(jié)合，稱為混合強(qiáng)化模型。

由此可以得到正向加載后，反向后繼屈服應(yīng)力為

1.2 彎曲參數(shù)設(shè)定

利用彈塑性彎曲理論[14]對輥式矯直過程進(jìn)行分析，為了簡化分析過程，對彎曲過程中相關(guān)參數(shù)進(jìn)行量綱一化。設(shè)矩形截面高度為，彈性極限彎矩為t，彈性極限曲率角為t。彎曲時，截面彈性區(qū)高度為t，截面彎矩為，彎曲曲率角為。以這些參數(shù)為基礎(chǔ)，進(jìn)行如下定義：

2) 彈區(qū)比為=t/，反映截面塑性變形程度；

3) 曲率比為=/t=1/，即彎曲過程中各種曲率角對彈性極限曲率角的比值，反映截面彎曲程度；

4) 相對高度為=/，取值范圍是[?1，1]，反映研究點(diǎn)的相對位置。

2 考慮包辛格效應(yīng)的反復(fù)彎曲分析

金屬板帶材在輥式矯直過程中經(jīng)歷的連續(xù)多次彈塑性彎曲可以分為簡單彈塑性彎曲和復(fù)雜彈塑性彎曲。當(dāng)完全不考慮(或不存在)彎曲截面的殘余應(yīng)力時，即為簡單彈塑性彎曲，例如輥式矯直的第1次彎曲過程；在簡單彈塑性彎曲基礎(chǔ)上，再經(jīng)過1次或多次彈塑性彎曲，即為復(fù)雜彈塑性彎曲，輥式矯直第2次及之后的彎曲就屬于此列。以受包辛格效應(yīng)影響的強(qiáng)化材料的輥式矯直過程中前2次彎曲為例，分析這2類彎曲過程中的截面應(yīng)力分布、彎曲力矩、卸載后的應(yīng)力分布和后繼屈服應(yīng)力分布等參數(shù)，確定2種情況下包辛格效應(yīng)對截面彎曲特性的影響。

2.1 強(qiáng)化材料的簡單彈塑性彎曲

崔甫等[1, 8]研究了強(qiáng)化材料簡單彈塑性彎曲過程中的應(yīng)力演化過程。設(shè)材料屈服應(yīng)力為s，強(qiáng)化系數(shù)為，截面彎曲曲率比為，則彎曲過程中沿高度方向加載應(yīng)力分布方程為

彎矩與曲率比的關(guān)系(即?關(guān)系)為

卸載后截面殘余應(yīng)力分布方程為

強(qiáng)化材料在簡單彈塑性彎曲過程中截面應(yīng)力演變過程如圖2(a)和2(b)所示。由圖2可知：截面應(yīng)力分布的對稱關(guān)系，因此，式(4)和式(6)中只列出了[0，1]區(qū)間的應(yīng)力分布，[?1，0]區(qū)間的應(yīng)力分布可由對稱關(guān)系求得，文后列舉的公式依照此方法。

強(qiáng)化材料截面在簡單彈塑性彎曲過程中截面表層部分進(jìn)入后繼屈服過程，材料的包辛格效應(yīng)導(dǎo)致板材截面表層在彎曲加載過程中后繼屈服應(yīng)力改變。板材截面加載方向的后繼屈服應(yīng)力由彎曲加載的最大應(yīng)力確定；反方向的后繼屈服應(yīng)力則隨Ba不同而變動，如圖2(c)所示。圖2(c)中陰影區(qū)即為由Ba決定的反方向后繼屈服應(yīng)力范圍。

(a) 加載應(yīng)力；(b) 殘余應(yīng)力；(c) 后繼屈服應(yīng)力

板材截面后繼屈服應(yīng)力的改變，導(dǎo)致強(qiáng)化材料截面在后續(xù)彎曲加載過程中，截面不同高度處的進(jìn)入屈服所需的應(yīng)力發(fā)生改變，從而影響后一次彎曲過程中的?關(guān)系。

2.2 強(qiáng)化材料的第2次彈塑性彎曲

強(qiáng)化材料第2次彈塑性彎曲是復(fù)雜彈塑性彎曲中力學(xué)模型最簡單的一種，通過對第2次彈塑性彎曲的推導(dǎo)，可以得到分析更高次復(fù)雜彈塑性彎曲的截面彎曲特性的基本原理與方法。設(shè)截面第1次正方向彎曲曲率比為1，第2次反向彎曲曲率比為2，分析強(qiáng)化材料的第2次彈塑性彎曲過程。

2.2.1 應(yīng)力分布與彎矩

結(jié)合式(7)和式(8)可知：第2次彎曲加載的應(yīng)力分布可以根據(jù)2的大小分成3種不同的形式，如圖3 所示。

1—?dú)堄鄳?yīng)力；2—彈性極限應(yīng)力分布；3—Ⅰ型與Ⅱ型應(yīng)力分布邊界；4—后繼屈服應(yīng)力；5—Ⅰ型彈塑性應(yīng)力分布；6—Ⅱ型彈塑性應(yīng)力分布。

圖3 第2次彎曲加載前后的應(yīng)力分布

Fig. 3 Distribution of section stress before and after loading step of the second bending process

3種不同的應(yīng)力分布方程及該情況下彎曲加載的彎矩方程如下。

1) 彈性應(yīng)力分布。此時矩形板材截面各高度處尚未進(jìn)入塑性變形階段，將式(6)和式(7)代入式(8)可得該情況下的加載應(yīng)力分布方程為

將截面應(yīng)力對截面形心取矩，得到Ⅰ型應(yīng)力分布時的彎矩比：

此時的彎矩比為

2.2.2 應(yīng)力分布邊界

由前面的推導(dǎo)可以看出：第2次彎曲加載后的應(yīng)力分布形式以及對應(yīng)的彎矩比、彈區(qū)比等均與第1次彎曲時不同，明晰第2次彎曲加載后3種應(yīng)力分布的邊界，確定第2次彎曲加載時的?關(guān)系，是分析包辛格效應(yīng)對第2次彎曲加載影響的前提。

聯(lián)立式(9)和式(15)，整理可得彈性極限邊界方程為

式(16)和式(17)所描述的邊界將空間分割為3個區(qū)域，分別是彈性彎曲區(qū)、Ⅰ型應(yīng)力分布區(qū)與Ⅱ型應(yīng)力分布區(qū)，兩邊界如圖4所示。

2.2.3 殘余應(yīng)力與后繼屈服應(yīng)力

根據(jù)彈塑性彎曲的彈性回復(fù)理論，彈性卸載的力矩與彎曲力矩相等，方向相反，則最終的殘余應(yīng)力分布為

由于彈性加載階段的加載應(yīng)力與彈復(fù)應(yīng)力相等，因此，第2次彈性加載的殘余應(yīng)力分布與未加載前的應(yīng)力分布相同。對于Ⅰ型與Ⅱ型加載，結(jié)合式(11)~(14)和式(18)，就可以計(jì)算出2種情況下的殘余應(yīng)力分布函數(shù)，得到殘余應(yīng)力分布曲線，如圖5所示。第2次彎曲卸載后的截面后繼屈服應(yīng)力可由加載應(yīng)力分布和式(3)共同確定。

1—Ⅰ型彈塑性應(yīng)力分布；2—Ⅱ型彈塑性應(yīng)力分布。

圖5 第2次彎曲卸載后的殘余應(yīng)力

Fig. 5 Distribution of section residual stress after unloading step of the second bending process

3 包辛格效應(yīng)對2次彎曲的影響

通過之前的推導(dǎo)，得到了第2次彎曲的加載應(yīng)力分布形式，卸載后殘余應(yīng)力和后繼屈服應(yīng)力以及加載所需的彎矩?，F(xiàn)通過上述方程分析第2次彎曲時Ba對截面彎曲特性的影響，以及，1和2等參數(shù)的變化引起B(yǎng)a的改變。

3.1 加載過程

彎曲加載時截面彈區(qū)比與彎曲曲率比的關(guān)系(?關(guān)系)和彎矩比方程(?關(guān)系)反映了該截面的彎曲特性。在矯直仿真計(jì)算中，?關(guān)系、?關(guān)系是否準(zhǔn)確，決定了計(jì)算出的矯直機(jī)壓下參數(shù)在實(shí)際生產(chǎn)應(yīng)用中的效果。根據(jù)前面對第2次彎曲過程分析，由式(12)和式(16)得到Ba對彈區(qū)比和彈性極限曲率的影響，如圖6所示。

從圖6(a)可以看出：相同條件下，Ba不同時彈區(qū)比也不相同，而且在高強(qiáng)化系數(shù)、低彎曲曲率比的情況下，Ba不同引起的彈區(qū)比差別更大，如2=1且強(qiáng)化系數(shù)較大(=0.05)時2相差17.03%，而強(qiáng)化系數(shù)較小(=0.01)時僅相差2.87%。同樣從圖6(b)也可以看到：強(qiáng)化系數(shù)越高，Ba引起的彈性極限曲率比差值越顯著，當(dāng)增加到0.05時，不同Ba下的彈性極限曲率比差值可達(dá)43.08%，即使=0.01，差值也有16.50%。由以上分析可以看出：材料的包辛格效應(yīng)影響程度不同，第2次彎曲時?關(guān)系和彈性極限曲率也會隨之改變，當(dāng)材料強(qiáng)化系數(shù)較高且第2次彎曲曲率比較小時，Ba對?關(guān)系和彈性極限曲率的影響越大。

(a) KBa對彈區(qū)比的影響；(b) KBa對彈性極限曲率比的影響

由式(12)和式(14)可以得到不同情況下Ba對第2次彎曲過程中?關(guān)系的影響，如圖7所示。

由圖7可知：1和越大，Ba的變化引起的第2次彎曲過程中?關(guān)系的變化越顯著，如1=5，=0.05時，2在(1，5)區(qū)間內(nèi)的第2次彎曲彎矩比平均差值達(dá)到24.92%，最大差值達(dá)到26.52%。

(a) C1不同，η相同時；(b) C1不同，η不同時

由以上分析可以看出：在材料屬性和彎曲參數(shù)確定的情況下，第2次彎曲的截面更易于進(jìn)入塑性變形；在大強(qiáng)化系數(shù)、小彎曲曲率比的情況下，Ba變化引起2的變化量更大，由于矯直機(jī)出口段矯直輥壓下量小，對板材施加的彎曲曲率比小，Ba不同的材料經(jīng)過矯直后的殘余應(yīng)力分布會發(fā)生顯著改變。第2次彎曲時相同的曲率比所需要的彎矩相對簡單彎曲時更小，這意味著第2次彎曲的彈復(fù)應(yīng)力更小，因此，在實(shí)際輥式矯直過程中，不能只根據(jù)經(jīng)典矯直理論設(shè)定矯直參數(shù)，要充分考慮2次及更高次彎曲時?關(guān)系的改變以及其對彈復(fù)后殘余曲率的影響，即要達(dá)到同樣的殘余曲率要求，相較于經(jīng)典理論應(yīng)減小彎矩，即在實(shí)際生產(chǎn)中適當(dāng)減小壓下量。

3.2 卸載過程

彎曲卸載時主要關(guān)注截面內(nèi)剩余的殘余應(yīng)力的分布情況及其大小，根據(jù)2.2.3節(jié)所述的第2次彎曲卸載殘余應(yīng)力計(jì)算方法，設(shè)s=500 MPa，=0.05，1=3，2和Ba分別取不同的值，計(jì)算第2次彎曲的殘余 應(yīng)力。

圖8所示為Ⅰ型與Ⅱ型2種應(yīng)力分布的情況下卸載后的殘余應(yīng)力。從圖8可知：在相同條件下，Ba變化引起的殘余應(yīng)力分布形式和峰值的變化很小，最大峰值應(yīng)力差僅為12.33%(2=3時)；而最大表層應(yīng)力差出現(xiàn)在2=1時，相對差值為158.02%，表明2較小時Ba的影響更大。在2逐漸增加的過程中，殘余應(yīng)力峰值有一個先減小后增加的過程，這要求在輥式過程中需要合適的壓彎量以實(shí)現(xiàn)較小的殘余應(yīng)力。

當(dāng)其他彎曲參數(shù)相同，=0.01的材料第2次彎曲的殘余應(yīng)力峰值對于Ba的變化更加不敏感，最大峰值應(yīng)力差僅為2.12%(2=3時)；而最大表層應(yīng)力差為21.66%(2=1時)。

圖8 KBa對第2次彎曲殘余應(yīng)力的影響

4 包辛格效應(yīng)對高次彎曲的影響

在實(shí)際的輥式矯直過程中，金屬板材各截面最終要經(jīng)歷3次以上的彈塑性連續(xù)彎曲過程。參考以上對2次反彎的彈塑性解析可知：隨著截面上彎曲次數(shù)的增加，截面應(yīng)力分布方程和后繼屈服應(yīng)力愈加復(fù)雜。采用解析的方法求解較為困難，根據(jù)上述第2次反彎過程的分析流程，采用合理的數(shù)值計(jì)算方法可以更加簡單、快捷地解決問題。

板材的截面反彎特性在經(jīng)歷彈塑性彎曲之后，由于包辛格效應(yīng)的影響而產(chǎn)生改變，為了分析截面反彎特性的改變對板材矯直過程的影響，總結(jié)不同Ba的板材經(jīng)歷相同的彎曲歷史后的殘余曲率，以某11輥矯直機(jī)為例，根據(jù)前述彈塑性彎曲分析過程，以數(shù)值計(jì)算的方法進(jìn)行分析。設(shè)矩形金屬板材最大截面初始曲率0max=±3.0(使鋼板凹向下的彎曲為正)，各截面初始曲率在該板材上隨機(jī)連續(xù)分布；0.2=724.09 MPa，=194.7 GPa，=0.013 4。設(shè)定3組基于大應(yīng)變原則的整體傾斜壓下彎曲工藝參數(shù)w如表1所示。矯直機(jī)入口和出口處的第1輥和第11輥處的彎曲曲率均 為0。

表1 第i輥處的設(shè)定彎曲曲率Cwi

卸載后的截面殘余應(yīng)力、殘余曲率和后繼屈服應(yīng)力作為初始狀態(tài)，結(jié)合該次彎曲曲率wi就可以計(jì)算該次彎曲后的截面應(yīng)力分布，從而得到彎曲力矩，進(jìn)而計(jì)算出殘余曲率、殘余應(yīng)力和后繼屈服應(yīng)力等參數(shù)。依照該流程，逐道次計(jì)算，即可得到材料Ba對于矯直出口殘余曲率的影響，如圖9所示。

圖9所示為在不同的壓下方案中，材料Ba不同時對其矯直出口殘余應(yīng)力的影響。從圖9可知：增加矯直過程中的w可以有效降低板材的出口殘余曲率，但是，隨著w增大，增加w產(chǎn)生的出口殘余曲率減小的效果逐漸下降；在Ba由0增加到1的過程中，出口殘余曲率有一個先減小而后平穩(wěn)最后減小的過程，Ba處于[0,0.2]和[0.9,1]這2個區(qū)間時，板材的出口殘余曲率受到Ba的很大影響，因此，在矯直生產(chǎn)中，需要首先確定板材受到的包辛格效應(yīng)，并據(jù)此設(shè)定合理的矯直工藝參數(shù)，以獲得板形質(zhì)量合格的板材。

1—工藝參數(shù)1；2—工藝參數(shù)2；3—工藝參數(shù)3。

5 結(jié)論

1) 考慮材料的包辛格效應(yīng)，重點(diǎn)分析了強(qiáng)化材料板材在矯直過程中的第2次彎曲過程，得到了彎曲過程中截面加載應(yīng)力分布、殘余應(yīng)力分布、后繼屈服應(yīng)力分布、?關(guān)系和?關(guān)系等關(guān)于Ba的方程。

2)Ba不同的強(qiáng)化材料在彎曲過程中的?關(guān)系和?關(guān)系也不相同，材料的強(qiáng)化系數(shù)以及彎曲加載歷史都會改變Ba變化所產(chǎn)生的影響。

3) 第2次彎曲產(chǎn)生的殘余應(yīng)力的峰值受Ba影響較小，表層殘余應(yīng)力在第2次彎曲曲率比較小時受Ba改變的影響較大，較大的強(qiáng)化系數(shù)會增強(qiáng)Ba改變時對殘余應(yīng)力的影響。

4) 強(qiáng)化系數(shù)較大(＞0.01)的強(qiáng)化材料采用輥式矯直方式矯直時，材料的Ba不同導(dǎo)致最終矯直出口殘余曲率不同，因此，對多次連續(xù)反彎的輥式矯直過程進(jìn)行仿真分析時需要考慮材料的包辛格效應(yīng)，并采用相應(yīng)的Ba進(jìn)行計(jì)算。

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(編輯 楊幼平)

Reverse bending behavior of section during roller leveling process considering Bauschinger effect

MA Xiaobin1, ZHANG Jie1, LI Hongbo1, ZHOU Yizhong2, HU Weidong2, ZHANG Zhongwei2

(1. School of Mechanical Engineering, University of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China; 2. Baosteel Wuhan Iron & Steel Co. Ltd., Wuhan 430083, China)

Based on the basic theory of elastic-plastic bending, a mechanical model of complicated bending process of the section under different degrees of Bauschinger effect (Ba) was built by taking the second bend of the plate bears after bited into the leveler as an example. The effect ofBaon the?and?relation and residual stress distribution could be gotten through the model calculation, which could prove that the reverse bending behavior of the elastic-plastic bending section, after experiencing several times of deformation during roller leveling process, was affected by the Bauschinger effect of the material. And more pronounced was gotten with the increase of the strength coefficient of the material. Finally, the residual curvatures of materials with differentBaunder the same process conditions were calculated and the effect ofBaon it were gotten. The results show that the Bauschinger effect should be considered when roller leveling with the coefficient of the material is big(＞0.01) andBaof the material needs to be firstly determined when process parameters in actual production are determined.

Bauschinger effect; roller leveling; strength coefficient; moment-curvature; residual stress

TG333.2

A

1672?7207(2018)01?0087?08

10.11817/j.issn.1672-7207.2018.01.012

2016?12?27；

2017?02?29

國家“十二五”科技支撐計(jì)劃項(xiàng)目(2015BAF30B01) (Project(2015BAF30B01) supported by the National Key Technology R&D Program of the 12th Five-Year Plan of China)

張杰，博士，教授，從事板帶軋制技術(shù)與裝備研究；E-mail: zhangjie@ustb.edu.cn