隨機(jī)模擬演示在統(tǒng)計(jì)教學(xué)中的應(yīng)用

韓苗+宋鳳麗+周圣武+張艷

摘 要：統(tǒng)計(jì)學(xué)是以數(shù)據(jù)為研究對(duì)象的科學(xué)，離不開(kāi)計(jì)算機(jī)的應(yīng)用，特別是統(tǒng)計(jì)軟件的使用不僅促進(jìn)了統(tǒng)計(jì)科學(xué)的發(fā)展，也使得統(tǒng)計(jì)學(xué)的教與學(xué)發(fā)生了變化。借助統(tǒng)計(jì)軟件通過(guò)隨機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證解析方法已經(jīng)得出的結(jié)論，這種可視化，直觀化的教學(xué)方式有助于學(xué)生對(duì)相關(guān)概念的理解和記憶，同時(shí)也豐富了課堂教學(xué)，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的統(tǒng)計(jì)思維能力。

關(guān)鍵詞：統(tǒng)計(jì)學(xué) 隨機(jī)模擬 統(tǒng)計(jì)軟件

中圖分類號(hào)：G64 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2017）10（b）-0235-03

Abstract： Combined with the characteristics of statistics courses， the application of stochastic simulation in the teaching of statistics are illustrated by real examples. Statistical software are used to verify the results of analytical methods by means of random simulation experiments. This visual teaching methods are more helpful in improving students' understanding and memory of relevant concepts. It can also enrich the classroom teaching and learning experience， arouse students' interests and cultivate the students' statistical thinking ability.

Key Words： Statistics；Stochastic simulation；Statistical software

統(tǒng)計(jì)學(xué)是一門關(guān)于數(shù)據(jù)的科學(xué)，是關(guān)于數(shù)據(jù)的搜集、整理和分析的一般方法論。不同于數(shù)學(xué)是以公理系統(tǒng)為基礎(chǔ)，以演繹為基本思想方法的邏輯體系[1]，統(tǒng)計(jì)學(xué)蘊(yùn)含隨機(jī)性、不確定性和允許誤差。統(tǒng)計(jì)學(xué)強(qiáng)調(diào)如何使用統(tǒng)計(jì)方法來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，而對(duì)于方法的理解，就需要與實(shí)例相結(jié)合的直觀印象，采用計(jì)算機(jī)化教學(xué)、突出統(tǒng)計(jì)軟件的使用是統(tǒng)計(jì)教學(xué)的趨勢(shì)。

在統(tǒng)計(jì)教學(xué)過(guò)程中，借助統(tǒng)計(jì)軟件進(jìn)行探索性數(shù)據(jù)分析，通過(guò)隨機(jī)模擬來(lái)驗(yàn)證解析方法已經(jīng)得出的結(jié)論，是一種非常有效的教學(xué)方法[2]。在多年的統(tǒng)計(jì)教學(xué)過(guò)程中，教師適當(dāng)?shù)卦黾与S機(jī)模擬演示有助于學(xué)生更好地理解統(tǒng)計(jì)學(xué)中一些概念，讓學(xué)生有深刻的直觀印象，同時(shí)也有利于豐富課堂教學(xué)，增加課程的趣味性，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的統(tǒng)計(jì)思維能力。

1 隨機(jī)模擬在無(wú)偏性概念中的演示

參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)[3-4]是針對(duì)未知參數(shù)圍繞樣本構(gòu)造估計(jì)量，對(duì)同一個(gè)參數(shù)，不同的估計(jì)方法可以得到不同的估計(jì)量，因此自然會(huì)面臨“哪一個(gè)估計(jì)量更好”的問(wèn)題，既然要評(píng)價(jià)好壞，就有必要建立評(píng)價(jià)估計(jì)量好壞的標(biāo)準(zhǔn)，一般最常用的標(biāo)準(zhǔn)是無(wú)偏性、有效性、相合性（一致性）。估計(jì)量是樣本的函數(shù)，因而也是一個(gè)隨機(jī)變量，由于每次觀察所得的樣本值一般是不同的，因此求得的估計(jì)值也不同。從而評(píng)價(jià)一個(gè)估計(jì)量的優(yōu)劣，不能僅僅根據(jù)一次抽樣結(jié)果做出定論，而應(yīng)該從整體上進(jìn)行把握，根據(jù)估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)來(lái)評(píng)價(jià)。所以一個(gè)好的估計(jì)，應(yīng)在多次重復(fù)試驗(yàn)中體現(xiàn)出其優(yōu)良性。如何理解統(tǒng)計(jì)意義下估計(jì)量與待估參數(shù)之間的“接近”，我們可以借助統(tǒng)計(jì)軟件進(jìn)行隨機(jī)模擬演示來(lái)解釋。

估計(jì)量是隨機(jī)變量，對(duì)于不同的樣本值會(huì)得到不同的估計(jì)值。一個(gè)自然的要求是希望估計(jì)值在未知參數(shù)真值的附近，不要偏高也不要偏低，由此引入無(wú)偏性標(biāo)準(zhǔn)。如果 是未知參數(shù)的估計(jì)量，若，則稱該估計(jì)量是未知參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)，無(wú)偏性是對(duì)估計(jì)量的一個(gè)常見(jiàn)而重要的要求，其實(shí)際意義是指估計(jì)量沒(méi)有系統(tǒng)偏差，只有隨機(jī)偏差。從理論推導(dǎo)上來(lái)說(shuō)，學(xué)生能夠掌握證明估計(jì)量無(wú)偏性的方法步驟，但從統(tǒng)計(jì)意義上來(lái)講，無(wú)偏性是指的一次觀察值與真實(shí)值有偏差，可能大也可能小，但多次抽樣所得到的估計(jì)值的平均值應(yīng)該很接近，即在平均意義下，與沒(méi)有偏差。如何讓學(xué)生有更直觀理解呢，我們借助下面的隨機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)演示。

我們熟知的常用統(tǒng)計(jì)量中，是的無(wú)偏估計(jì)，而樣本二階中心矩不是的無(wú)偏估計(jì)，雖然我們可以很容易從理論上來(lái)證明，但有時(shí)我們更需要從統(tǒng)計(jì)意義上直觀來(lái)理解。借助R軟件程序包[5-6]，設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)隨機(jī)模擬產(chǎn)生的樣本，則真實(shí)值，固定樣本容量，分別計(jì)算樣本方差和樣本二階中心矩。為了計(jì)算樣本方差和樣本二階中心矩的均值，我們分別做次抽樣，取值從200，300一直到5000，共49種情況下和的均值，兩者的變化規(guī)律如圖1所示。這里，，從圖1可以很直觀看出，的均值在12附近擾動(dòng)，隨著抽樣次數(shù)增加越來(lái)越靠近真實(shí)值12，說(shuō)明用估計(jì)只會(huì)產(chǎn)生隨機(jī)偏差，不會(huì)產(chǎn)生系統(tǒng)偏差。而的均值在11.4附近擾動(dòng)，與真實(shí)值12有系統(tǒng)偏差，這種偏差不會(huì)因?yàn)榇罅恐貜?fù)抽樣而減小，是無(wú)法避免的，說(shuō)明這個(gè)估計(jì)量本身構(gòu)造的不好。這樣學(xué)生對(duì)于無(wú)偏性的概念就有了直觀形象的認(rèn)識(shí)，使學(xué)生對(duì)無(wú)偏性概念有了更深刻的理解和記憶。

2 隨機(jī)模擬在相合性概念中的演示

我們不僅希望一個(gè)估計(jì)量是無(wú)偏的，并且具有較小的方差，還希望當(dāng)樣本容量無(wú)限增大時(shí)，估計(jì)量能在某種意義下任意接近未知參數(shù)的真值，由此引入相合性的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。相合性是指樣本容量充分大時(shí)，估計(jì)量依概率收斂到未知參數(shù)的真實(shí)值，樣本容量越大，估計(jì)越精確。

同樣我們也借助R軟件程序包[5-6]進(jìn)行實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，模擬產(chǎn)生的樣本，，樣本均值，我們可以證明是的相合估計(jì)量。下面我們通過(guò)隨機(jī)模擬來(lái)觀察隨著樣本容量的增大，的變化趨勢(shì)。我們?cè)O(shè)定樣本容量從1變到150，為了能直觀的觀察過(guò)程變化，每個(gè)樣本容量上，重復(fù)抽樣30次。得到下面的圖2，我們可以看出隨著的增大，接近的可能性越來(lái)越大。也就是說(shuō)樣本容量越大，估計(jì)越精確。相合性是估計(jì)量依概率收斂到未知參數(shù)真實(shí)值，它區(qū)別于我們?cè)诟叩葦?shù)學(xué)中學(xué)習(xí)的收斂概念，不能做到對(duì)任意，當(dāng)充分大時(shí)，一定成立，只能說(shuō)對(duì)任意，事件發(fā)生的概率很大，并不能排除這種情況的發(fā)生。因此圖形的可視化也讓學(xué)生對(duì)概率意義下的收斂有個(gè)直觀清晰的認(rèn)識(shí)。endprint

3 隨機(jī)模擬在置信度概念中的演示

我們?cè)谥v到參數(shù)的區(qū)間估計(jì)時(shí)，會(huì)涉及到估計(jì)的置信度也稱為可靠度概念，如何理解這個(gè)置信度呢，比如置信度90%，一般的教學(xué)中，我們會(huì)這樣解釋，置信區(qū)間本身是個(gè)隨機(jī)區(qū)間，但是當(dāng)我們具體抽樣的時(shí)候就會(huì)得到具體的區(qū)間，這個(gè)區(qū)間要么包含真實(shí)值，要么不包含真實(shí)值，如果重復(fù)抽樣100次的話，將會(huì)得到100個(gè)具體區(qū)間，這100個(gè)區(qū)間中包含真實(shí)值的應(yīng)該有90個(gè)左右，同樣不包含真實(shí)值的有10個(gè)左右，這是關(guān)于置信度的統(tǒng)計(jì)意義。但這樣說(shuō)學(xué)生還是心有疑惑，如果我們?cè)O(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)，利用動(dòng)態(tài)抽樣模擬，讓實(shí)驗(yàn)結(jié)果來(lái)說(shuō)明這個(gè)結(jié)論，學(xué)生直觀上就能夠很好的理解這個(gè)概念了。這里我們借助R軟件程序包[5][6]，隨機(jī)模擬產(chǎn)生樣本，樣本容量50，重復(fù)抽樣100次，由區(qū)間估計(jì)的定義我們知道的置信度為90%置信區(qū)間為，程序運(yùn)行一次，我們就可以得到一次結(jié)果，圖3就是一次模擬結(jié)果的展示。圖中，橫虛線代表的真實(shí)值0，豎線段代表一次次抽樣得到的一個(gè)個(gè)具體的區(qū)間，中點(diǎn)實(shí)際上就是點(diǎn)估計(jì)值，如果這個(gè)區(qū)間包含真實(shí)值0就與中間橫虛線有交點(diǎn)否則是不包含沒(méi)有交點(diǎn)。從最終的一次統(tǒng)計(jì)結(jié)果來(lái)看，包含真實(shí)值的區(qū)間一共有91個(gè)，沒(méi)有包含真實(shí)值的有9個(gè)用紅色標(biāo)出。當(dāng)然我們可以多次運(yùn)行程序，這樣我們就會(huì)得到不同的結(jié)果，但是會(huì)發(fā)現(xiàn)多次實(shí)驗(yàn)，包含真實(shí)值的區(qū)間基本上都是90個(gè)左右，這樣就讓學(xué)生對(duì)理論上的結(jié)果有個(gè)實(shí)際的驗(yàn)證，直觀的認(rèn)識(shí)，更易于學(xué)生理解。同時(shí)這樣讓學(xué)生參與到實(shí)驗(yàn)中來(lái)，也豐富了課堂教學(xué)內(nèi)容，激發(fā)了學(xué)生的興趣，收到了良好的教學(xué)效果。

4 結(jié)語(yǔ)

隨機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)在統(tǒng)計(jì)教學(xué)中的作用非常重要，傳統(tǒng)教學(xué)中都是在理論上進(jìn)行講解說(shuō)明，而借助統(tǒng)計(jì)軟件，從統(tǒng)計(jì)的角度進(jìn)行直觀的模擬演示，讓學(xué)生在頭腦中形成空間或圖形的直觀感受，給出形象直觀的解釋及說(shuō)明，從而使抽象的概念和結(jié)論變得易于理解和記憶。這種教學(xué)方式既可以幫助學(xué)生更好的理解統(tǒng)計(jì)中的一些基本概念，同時(shí)也可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的統(tǒng)計(jì)思維和實(shí)踐能力。

參考文獻(xiàn)

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[6] Yihui Xie [cre， aut]， Christian Mueller [ctb]， Lijia Yu [ctb]，Weicheng Zhu [ctb] （2015）. animation： A Gallery of Animations in Statistics and Utilities to Create Animations. R package version 2.4.endprint