水泵與水輪機(jī)轉(zhuǎn)子低壓截面上的結(jié)構(gòu)常數(shù)G及流線(xiàn)相似法應(yīng)用

張征驥，李 正，魏顯著，覃大清

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水泵與水輪機(jī)轉(zhuǎn)子低壓截面上的結(jié)構(gòu)常數(shù)G及流線(xiàn)相似法應(yīng)用

張征驥，李 正，魏顯著，覃大清

（水力發(fā)電設(shè)備國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(哈爾濱大電機(jī)研究所)，哈爾濱 150040）

水泵；混流式水輪機(jī)；流線(xiàn)相似法；結(jié)構(gòu)常數(shù)；沖擊損失；歐拉方程

0 前言

水力機(jī)械如水泵和水輪機(jī)的水動(dòng)力特性曲線(xiàn)是由能量定理決定的。由于能量的轉(zhuǎn)換是伴隨著流動(dòng)發(fā)生的，所以，流動(dòng)損失直接削弱著水力機(jī)械內(nèi)的能量交換。流動(dòng)損失通常被視為水力機(jī)械的內(nèi)在損失，并與流量即水力機(jī)械的工作點(diǎn)有關(guān)。在設(shè)計(jì)工況下，流動(dòng)損失最小，能量轉(zhuǎn)換效率最大。在非額定工作點(diǎn)，流動(dòng)損失通常由各種不同的局部損失引起。就水泵而言，局部損失之一是轉(zhuǎn)子進(jìn)口處的沖擊損失。該損失發(fā)生在任何偏離額定工作點(diǎn)的工況下。在顯著的低負(fù)荷下，單一的沖擊損失還將轉(zhuǎn)化為脫流甚至旋轉(zhuǎn)脫流損失[1]。雖然這種局部損失早已為人們所熟知，并有各種描述與模擬計(jì)算。但是在嚴(yán)格的理論計(jì)算方面，一直以來(lái)都沒(méi)有突破性進(jìn)展。同樣的局部損失發(fā)生在混流式水輪機(jī)轉(zhuǎn)子出口。任何偏離額定工作點(diǎn)的流動(dòng)，都會(huì)導(dǎo)致水流在水輪機(jī)轉(zhuǎn)子出口包含有旋轉(zhuǎn)分量。由于該處流速的不均勻分布，人們還從來(lái)沒(méi)有找到一種準(zhǔn)確的方法用于計(jì)算水流的旋轉(zhuǎn)分量以及由此決定的歐拉方程中出口項(xiàng)的平均值。同樣，包含于旋轉(zhuǎn)水流中的旋轉(zhuǎn)動(dòng)能也無(wú)從計(jì)算。這方面的大量研究更多地則是集中在尾水管中流速分布，空化渦帶形成以及由此引發(fā)的壓力脈動(dòng)等問(wèn)題上，如文獻(xiàn)[2,3]。

這里折射了水泵與水輪機(jī)轉(zhuǎn)子低壓截面上局部損失的計(jì)算問(wèn)題。

且以水泵為例。轉(zhuǎn)子各葉片通道進(jìn)口處水流速度的不均勻分布是由流線(xiàn)彎曲引起的。其不均勻程度大都無(wú)法直接計(jì)算。所謂流線(xiàn)曲率法[4-6]雖然是基于文獻(xiàn)[7]中的一般理論開(kāi)發(fā)而來(lái)的，并主要應(yīng)用于渦輪壓縮機(jī)。但在用于水泵方面，則依然是通過(guò)反復(fù)迭代對(duì)微分方程進(jìn)行計(jì)算的，還常常出現(xiàn)計(jì)算不收斂的情況。其它有效方法就是通過(guò)實(shí)驗(yàn)做直接測(cè)量[8,9]。雖然計(jì)算流體力學(xué)在一定程度上能對(duì)該不均勻速度分布進(jìn)行數(shù)值模擬計(jì)算，而且在以往的工程實(shí)踐中也的確發(fā)揮了一些作用。但是，就所述水泵進(jìn)口處這一具體流動(dòng)而言，它還不如流線(xiàn)曲率法適用。此外，很多數(shù)值模擬通常偏頗地將水泵內(nèi)一些不佳的流動(dòng)現(xiàn)象歸結(jié)為僅與轉(zhuǎn)子出口處流動(dòng)狀況有關(guān)，即認(rèn)為是由轉(zhuǎn)子和導(dǎo)向葉片之間的相互作用引起的[10-12]?？傊@里反映的是計(jì)算方法的問(wèn)題。本文所要展示的，是如何將微分方程計(jì)算轉(zhuǎn)換為積分計(jì)算。這是一個(gè)嶄新且非常有效的分析計(jì)算方法，即流線(xiàn)相似法。其理論基礎(chǔ)是流動(dòng)的勢(shì)流特征以及轉(zhuǎn)子入口處流線(xiàn)分布的幾何特性。

1 水泵轉(zhuǎn)子入口結(jié)構(gòu)常數(shù)與流速分布

1.1 沿流線(xiàn)運(yùn)動(dòng)方程及流動(dòng)的勢(shì)流特征

其中，是流線(xiàn)的曲率半徑。

圖1 水泵轉(zhuǎn)輪子午面內(nèi)的速度分布與各計(jì)算參數(shù)表示

另一方面，由于水泵吸水管內(nèi)的直線(xiàn)流動(dòng)通?？杀豢闯墒蔷鶆蚍植?，所以流動(dòng)是無(wú)旋的有勢(shì)流動(dòng)。在忽略粘性磨擦力影響的前提下，流體在到達(dá)并流經(jīng)轉(zhuǎn)子葉片前緣時(shí)必然保持其勢(shì)流特征，即總壓力保持不變：

將式（2）代入后又得:

將式（5）帶入式（7）得：

上列各式將在下面各計(jì)算中相繼得到應(yīng)用。其中，/為一純幾何量，由流線(xiàn)分布決定，與流速無(wú)關(guān)。

1.2 連續(xù)方程

圓柱坐標(biāo)系中的連續(xù)方程為

帶入式（10）得：

考慮到式（6）和式（9）得：

該式中對(duì)幾何量?/?的計(jì)算將在附錄中給出。

1.3 轉(zhuǎn)子進(jìn)口速度分布與第一結(jié)構(gòu)常數(shù)

將式（15）代入后得

然后有

轉(zhuǎn)子進(jìn)口處的速度分布最終可以表示為：

在不發(fā)生明顯脫流的情況下，式（21）適用于任何非額定流量。很明顯，子午面內(nèi)的速度分布是由幾何分布()決定的。()所體現(xiàn)的是流線(xiàn)分布的相似性。所以，以此為基礎(chǔ)的計(jì)算方法稱(chēng)為流線(xiàn)相似法。

1.4 特殊情況

以及

假設(shè)。然后，對(duì)于不同的由上式計(jì)算出的幾何參數(shù)G(s)以及它的分布如圖2所示。

由于幾何參數(shù)()直接反映了轉(zhuǎn)子進(jìn)口處的流速分布，見(jiàn)式（15）和（21），圖2中的各曲線(xiàn)事實(shí)上反映了流速分布的比例。其中比值1/2從1.8到2.4的變化是根據(jù)文獻(xiàn)[13]選定的。很明顯，沿轉(zhuǎn)子葉片前緣的速度變化是極為顯著的。其差別達(dá)兩倍之多。這一計(jì)算結(jié)果既與流線(xiàn)曲率法的計(jì)算結(jié)果一致[4-6]，還與早期實(shí)際觀察相符[14]。在設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)子葉片的走向時(shí)，這一不均勻流速分布必須予以考慮。

1.5 轉(zhuǎn)子進(jìn)口壓力分布

除了速度分布由式（21）給出之外，相應(yīng)的壓力分布可由式（3）直接給出如下：

1.6 速度分布計(jì)算舉例

這里有=0, 1, 2, …。

圖3 流線(xiàn)曲率與曲率中心的內(nèi)插值計(jì)算

在坐標(biāo)系，以o為曲率中心的第條流線(xiàn)可由圓方程表示，即

如同圖2所揭示的那樣，這里再一次顯示了轉(zhuǎn)子進(jìn)口處流速分布的高度不均勻，且與文獻(xiàn)[14]中（圖126）所給出的流速變化相似（從2.5~6m/s）。

1.7 速度分布的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

圖5示出了計(jì)算與本文作者協(xié)同事早期試驗(yàn)結(jié)果[9]的比較。其中計(jì)算結(jié)果系采用式（21）和（24）。此外，圖中還比較了用指數(shù)函數(shù)表達(dá)的近似計(jì)算。此指數(shù)函數(shù)暫且適用于比轉(zhuǎn)速（n）為30~35的水泵。

圖5 計(jì)算與試驗(yàn)測(cè)量的比較。

注：測(cè)量取自文獻(xiàn)[9]。計(jì)算由式（21）和（24）而得

1.8 轉(zhuǎn)子入口沖擊損失與第二結(jié)構(gòu)常數(shù)

由轉(zhuǎn)子進(jìn)口流速分布可以計(jì)算出流體相對(duì)速度以及流向角，如圖4（b）所示。水泵導(dǎo)葉的設(shè)計(jì)是要保證在額定工況下(用下標(biāo)N表示)導(dǎo)葉走向在進(jìn)口處與流體流向角一致，從而保證不發(fā)生沖擊損失。所以，水泵導(dǎo)葉的傾角及其沿葉片前緣的分布可根據(jù)式（21）由下式計(jì)算：

這里下標(biāo)1表示轉(zhuǎn)子進(jìn)口。此外，圓周速度（1=2π）是徑向坐標(biāo)的函數(shù)。其它流動(dòng)與幾何參數(shù)由圖6給出。下面的各計(jì)算，均假設(shè)轉(zhuǎn)子葉片的傾角及其分布按式（31）給定，即為已知。

在其它流速下，相對(duì)流向角由下式表示：

圖6 水泵轉(zhuǎn)子進(jìn)口速度三角形以及沖擊損失計(jì)算

或

式（38）中，為水泵轉(zhuǎn)子進(jìn)口處綜合結(jié)構(gòu)常數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)結(jié)構(gòu)常數(shù)，其計(jì)算如下：

該結(jié)構(gòu)常數(shù)歸根到底是由轉(zhuǎn)子進(jìn)口處葉片前緣的幾何尺寸與位置決定的。它不僅在水泵計(jì)算中起著關(guān)鍵作用，而且還在混流式水輪機(jī)計(jì)算中從根本上決定著能量交換的計(jì)算精度。

2 混流式水輪機(jī)轉(zhuǎn)子出口結(jié)構(gòu)常數(shù)與歐拉方程應(yīng)用

混流式水輪機(jī)轉(zhuǎn)子出口的流動(dòng)與水泵轉(zhuǎn)子進(jìn)口的流動(dòng)有其共性。在額定工況下，水輪機(jī)轉(zhuǎn)子出口的流動(dòng)沒(méi)有旋轉(zhuǎn)分量。由于尾水管中的流動(dòng)可近似地認(rèn)為是均勻的直線(xiàn)流動(dòng)，即有勢(shì)流，所以流體在轉(zhuǎn)子出口的流動(dòng)也必然為有勢(shì)流。其速度沿葉片尾緣分布必然滿(mǎn)足式（21），即（下標(biāo)2表示水輪機(jī)出口）：

為了較準(zhǔn)確地反映實(shí)際速度分布，上式中還可以根據(jù)情況引入一個(gè)修正系數(shù)。

在用歐拉方程計(jì)算單位流體做功的時(shí)候，在轉(zhuǎn)子出口，葉片尾緣截面上相應(yīng)的項(xiàng)要用平均值，即

對(duì)出口平均值的計(jì)算首先根據(jù)圖1（這里水泵的入口被看作為水輪機(jī)的出口，用下標(biāo)2表示）有下列積分：

（44）

顯然，上式中的積分項(xiàng)是一個(gè)與流動(dòng)無(wú)關(guān)的幾何量，且與式（39）計(jì)算相同，所以稱(chēng)為混流式水輪機(jī)轉(zhuǎn)子出口第二結(jié)構(gòu)常數(shù)。

考慮式（40），上式（45）最終可以寫(xiě)成：

3 結(jié)束語(yǔ)

一直以來(lái)，水力機(jī)械如水泵和水輪機(jī)的水動(dòng)力特性曲線(xiàn)大都是由試驗(yàn)得來(lái)的。其分析計(jì)算的不可能，原因之一在于未能簡(jiǎn)單而又準(zhǔn)確地計(jì)算水泵入口處的速度分布。該速度分布不僅決定著額定工況下轉(zhuǎn)子葉片的設(shè)計(jì)，而且同時(shí)決定著非額定工況下轉(zhuǎn)子進(jìn)口處的沖擊損失。該損失如此典型而且重要，卻向來(lái)都沒(méi)有被看重過(guò)，更無(wú)從計(jì)算。這是人們長(zhǎng)期以來(lái)過(guò)于依賴(lài)試驗(yàn)以及近年來(lái)又過(guò)于依賴(lài)計(jì)算流體力學(xué)(CFD)所造成的。

附錄: ?/?的計(jì)算

正文中，梯度分量?/?是決定流速分布的一個(gè)影響參數(shù)，具有幾何特性。

由式（9）并考慮?/?=-?/?則有：

其中和坐標(biāo)由圖3確定。

這樣，?/?的計(jì)算就歸結(jié)為?/?和?/?的計(jì)算。為此，流經(jīng)計(jì)算點(diǎn)的流線(xiàn)按圖3由下列圓方程給出：

用圓弧段來(lái)表示局部流線(xiàn)，圓弧段的確定既包括圓弧段的中心還包括圓弧段的半徑。兩者均可通過(guò)在兩點(diǎn)o1與o2間做線(xiàn)性插值而得到。

該式亦可寫(xiě)為

和

參數(shù)?/?和?/?將分別計(jì)算如下。

由式（a4）得:

或可寫(xiě)為

即

由式（a5）可得:

進(jìn)一步得

按同樣方式如（1）中，由式（a2）得到

即

（3）聯(lián)立計(jì)算

式（a7）和式（a11）同時(shí)代入式（a1）。由此得

為了進(jìn)一步簡(jiǎn)化計(jì)算，可使用下述各關(guān)系式:

式（a9）和式（a13）同時(shí)代入式（a14）。最終得到

[1] Zhang, Zh..Rotating stall mechanism and stability control in the pump flows[J]. J. Power and Energy,2011, 225: 779-788.

[2] Susan-Resiga, R., Ciocan, G., Anton, I., Avellan, F.. Analysis of the swirling flow downstream a Francis turbine runner [J]., vol. 128, p177-189, 2006.

[3] Nielsen, TK., Olimstad, G.. Dynamic behaviour of reversible pump-turbines in turbine mode of operation [C]., Honolulu, 2010.

[4] Casey, M., Roth, P..A streamline curvature throughflow method for radial turbocompressors[C]. I. Mech. E. Conference C57/84. 1984.

[5] Casey, M.,Robinson,C.. A new streamline curvature throughflow method for radial turbo-machinery[J],132(3), 031021 (Apr 07, 2010).

[6] Gong, WQ., Wu, RK., Zhang, B..A new finite difference method to solve the velocity gradient equation in streamline curvature method[J]. Advances in Mechanical Engineering, 2016, 8(9): 1-13.

[7] Wu, CH.. A general theory of three-dimensional flow in subsonic and supersonic turbomachines of axial-, radial-, and mixed-flow types [R]. Washington DC, USA: NACA, 1952, NACA-TN-2604.

[8] Stoffel, B., Weiss, K.. Different types and locations of part-load recirculations in centrifugal pumps found from LDA measurements [C]., Valencia, Spain, 1996, II: 1034-1044.

[9] Eisele, K.. Global und LDA Messungen am Radialpumpenlaufrad La 033.112 mit unbeschaufeltem und beschaufeltem Diffusor[R]., IT 1773, 1992.

[10] Shi, F., Tsukamoto, H.. Numerical study of pressure fluctuations caused by impeller-diffuser interaction in a diffuser pump stage [J]., 2001, 123(3): 466-474.

[11]Muggli, F., Eisele, K., Zhang, Zh. et al.. Numerical investigations of the flow in a pump turbine in pump mode [C].,London, UK, 1999.

[12] Feng, J., Benra, F., Dohmen, H..Unsteady flow visualization at part-load conditions of a radial diffuser pump: By PIV and CFD [J]., 2009, 12(1): 65-72.

[13] Gülich, J.. Centrifugal pumps [M]. 2nd Edition, Berlin, Germany: Springer-Verlag,, (Fig. 7.4).

[14] Pfleiderer, K. Die Kreiselpumpen für Flüssigkeiten und Gase[M]. Springer Verlag, 1955, (Abb. 126).

[15] Zhang, Zh., Titzschkau, M.. Self-validated calculation of characteristics of a Francis turbine and the mechanism of the S-shape operational instability[C]., Beijing, China, 2012.

Structure Constant G and Streamline Similarity Method for Flow Distributions at the Low Pressure Sides of the Pump and the Turbine Impellers

ZHANG Zhengji, LI Zheng, WEI Xianzhu, QIN Daqing

(State Key Laboratory of Hydro-power Equipment (HILEM), Harbin 150040, China)

pump; Francis turbine; streamline similarity method; structural constant; shock loss; Euler equation

TK734

A

1000-3983(2018)01-0001-09