考慮液滴形狀影響的氣井臨界攜液流速計算模型

潘 杰 王武杰 魏耀奇 陳軍斌 王亮亮

1.西安石油大學石油工程學院/博士后創(chuàng)新基地 2. 中國石油大學（北京）石油與天然氣工程博士后科研流動站3.中國石油長慶油田公司第四采氣廠

在有水氣藏開發(fā)中后期，氣藏壓力逐漸降低、氣井產(chǎn)水量逐漸增大，使得氣流難以攜帶井底產(chǎn)出水到達地面，從而在井底產(chǎn)生積液[1]。氣井積液會增大井底回壓，導致氣井產(chǎn)量下降，嚴重時甚至會壓死氣井造成停產(chǎn)[2-3]。國內(nèi)外學者針對氣井積液提出了不同的臨界攜液流速計算模型。Turner等[4]根據(jù)質點力平衡理論首次提出了氣井連續(xù)攜液計算模型，但其預測值偏大。此后，許多學者對Turner模型進行了修正[5-8]，其中李閩模型[6]在國內(nèi)得到了廣泛應用。王志彬和李穎川[9]、周瑞立等[10]和熊鈺等[11]基于橢球形液滴假設分別建立了具有良好通用性的臨界攜液流速計算模型。譚曉華和李曉平[12]基于液滴總表面自由能與氣流總湍流動能的相等關系，建立了臨界攜液流速計算模型，但是該模型并沒有考慮液滴變形以及變形對液滴表面自由能的影響。本文基于液滴總表面自由能與氣流總湍流動能的相等關系，建立了考慮液滴直徑、液滴變形及變形對液滴表面自由能影響的氣井臨界攜液流速計算模型。

1 模型建立

Taitel等[13]認為：液滴尺寸由使其破碎的湍流力和使其保持完整的表面張力共同決定。在氣井井筒霧狀流條件下，液相主要以液滴的形式存在，當氣相湍流力大于氣液相界面的表面張力時，液滴將破碎為更小直徑的液滴；反之，當氣相湍流力小于氣液相界面的表面張力時，液滴會發(fā)生聚并，形成較大直徑的液滴。由此可知：穩(wěn)定存在的最大液滴，其湍流力與表面張力相等。受迎風面與背風面壓差影響，氣流中液滴會發(fā)生微小變形[1]，從而隨氣相雷諾數(shù)的改變呈現(xiàn)出不同的液滴形狀。液滴變形會直接導致：①迎風面面積增加，曳力系數(shù)增大，液滴更易于被氣流攜帶；②單液滴的表面自由能增加，在氣相總湍流動能不變時，液滴最大直徑也相應增大。本文在建立模型時做出以下假設：①液相全部以最大液滴的形式存在；②液滴為橢球形，如圖1所示。

基于上述假設，分析了液滴變形對液滴的最大迎風面直徑、臨界攜液流速、曳力系數(shù)的影響，提出了新的臨界韋伯數(shù)與液滴變形參數(shù)的函數(shù)關系式，并采用了考慮壓力和溫度影響的表面張力計算公式，最終建立了考慮液滴形狀影響的氣井臨界攜液流速計算模型。

1.1 液滴最大迎風面直徑

液相受氣流剪切作用會在井筒內(nèi)形成一定數(shù)量的液滴，單位時間所對應的液滴數(shù)目如下：

圖1 液滴變形及受力分析示意圖

式中N表示液滴數(shù)目，個；vsl表示液相表觀流速，m/s；A表示流道截面面積，m2；d表示液滴的迎風面直徑，m。

液滴變形參數(shù)定義如下：

式中K表示液滴變形參數(shù)，無量綱；dE為橢球形液滴的迎風面直徑，m；dB為球形液滴的直徑，m。

單液滴表面積可按下式計算：

式中s表示單液滴表面積，m2；h表示橢球形液滴的短軸長度，m。

由于液滴變形后體積不變，因此有：

將式（4）代入式（3），則單液滴表面積可進一步表示為：

故液滴的總表面積計算如下：

式中S表示液滴總表面積，m2。

Adamson等[14]指出單位時間內(nèi)液滴的總表面自由能可按下式計算：

式中Es表示液滴總表面自由能，W；σ表示氣液界面的表面張力系數(shù)，N/m。

因此，單位時間內(nèi)液滴的總表面自由能為：

White 指出單位時間所對應的單位體積內(nèi)氣相湍流動能為：

式中eT表示單位體積氣相的湍流動能，W/m3；ρg表示氣體密度，kg/m3； 表示徑向脈動速度，m/s；表示切向脈動速度，m/s； 表示軸向脈動速度，m/s。

考慮到井筒內(nèi)通常為湍流，且雷諾數(shù)較大，可認為流動具有各向同性，即因此

故單位時間連續(xù)氣相的總湍流動能為：

式中ET表示氣相總湍流動能，W；vsg表示氣相表觀速度，m/s。

Taitel和Dukler[16]指出，徑向湍流脈動速度的均方根約等于摩擦速度，如下式：

式中v*表示摩擦速度，m/s；fsg表示氣相表觀流速下的摩擦系數(shù)。

將式（12）代入式（11）可得：

根據(jù)液滴的總表面自由能與氣相總湍流動能相等的關系，可以得到液滴最大迎風面直徑計算如下：

式中當K＝1時，d表示球形液滴的直徑，m；當K≠1時，d表示橢球液滴的迎風面直徑，m。

1.2 臨界攜液流速

在垂直井筒中，液滴受浮力、曳力和重力的共同作用（圖1），在臨界攜液流速條件下單個液滴受力處于平衡狀態(tài)，即

式中Fg表示浮力，N；FD表示曳力，N；G表示重力，N。浮力計算公式為：

式中g表示重力加速度，m/s2。

重力計算公式為：

式中ρl表示液滴密度，kg/m。

曳力計算公式為：

式中CD表示曳力系數(shù)；SE表示液滴的迎風面面積，m2；Δp表示液滴迎風面與背風面所受壓差，Pa。

橢球形液滴的迎風面面積可按下式計算：

根據(jù)Bernoulli方程，液滴迎風面與背風面所受壓差：

式中vc表示臨界攜液流速，m/s。

將式（19）、（20）代入式（18）中，可得橢球形液滴的曳力計算公式為：

將式（16）、（17）和（21）代入式（15）中，整理可得：

根據(jù)Orkiszewski[17]流動形態(tài)界限判別法和流型過渡準則[18]，臨界攜液流速的表達式可進一步表示為：

氣體臨界攜液流量表示如下：

式中qc表示臨界攜液流量，m3/d；Z表示氣體壓縮系數(shù)；T表示熱力學溫度，K；p表示壓力，MPa。

1.3 曳力系數(shù)

曳力系數(shù)與液滴形狀和雷諾數(shù)（Re）有關[11]。已有的曳力系數(shù)經(jīng)驗公式較多，包括經(jīng)Brown和Lawler[19]驗證過的Clift & Gauvin模型[20]、Flemmer& Banks模型[21]、Khan & Richardson模型[22]、Haider & Levenspiel模型[23]，以及GP模型[24]、邵明望模型[25]和Brauer模型[26]。本文參考文獻[11,27]認為Brauer模型[26]的擬合效果最好。圖2給出了上述模型計算的曳力系數(shù)值隨雷諾數(shù)的變化曲線。對比發(fā)現(xiàn)經(jīng)Brown和Lawler驗證過的前四種模型計算結果比較接近。在Re＜100時，Brauer模型、GP模型、邵明望模型的計算值偏差不大，但隨著Re的增大，邵明望模型的計算值急劇減小，與其他模型計算的結果差異較大。當Re＜2×103時，Brauer模型和GP模型的計算結果比較接近。隨Re的增加，Brauer模型的計算值變化不大，在0.40～0.41之間，這也解釋了基于球形液滴假設的臨界攜液流速模型一般將曳力系數(shù)值取在0.4左右的原因。在高雷諾數(shù)（2×105≤Re＜1×106）范圍內(nèi)，GP模型的計算結果偏小，可靠性較低。本文分別將GP模型[24]、邵明望模型[25]、Brauer模型[26]和Clift & Gauvin模型[20]的擬合計算公式進行驗算，將結果與氣井實際生產(chǎn)數(shù)據(jù)對比后發(fā)現(xiàn)針對氣井井筒的高雷諾數(shù)湍流流動，Brauer模型的計算結果最為準確。

圖2 不同模型曳力系數(shù)計算結果對比圖

上述模型均是基于剛性球體得到的，但是液滴變形后并非球體，且液滴內(nèi)部流動的影響也勢必使得曳力系數(shù)值與上述模型計算的結果有偏差。Liu和Reitz[28]認為扁平體曳力系數(shù)是圓球體的3.632倍，橢球體的曳力系數(shù)介于扁平體與剛性球體之間。Helenbrook和Edwards[29]指出由于液滴內(nèi)部流動的影響使得液滴較相同尺寸的剛性球體的曳力系數(shù)小。王志彬和李穎川[9]將球形顆粒在高雷諾數(shù)的曳力系數(shù)（0.424）降低15%作為剛性橢球的曳力系數(shù)，并綜合考慮液滴變形和液滴內(nèi)部流動對其進行修正，得到橢球體的曳力系數(shù)表達式為：

本文將Brauer模型基于圓球體的曳力系數(shù)計算值增大20%，作為變形橢球體的曳力系數(shù)，即

1.4 臨界韋伯數(shù)與液滴變形參數(shù)

臨界韋伯數(shù)受氣相流速與液相流速的影響，一般采用下式計算[30]：

式中Wec表示臨界韋伯數(shù)；λ表示中間變量，；Gle表示液滴的質量流量，kg/（m2·s）。

液滴變形參數(shù)一般通過臨界韋伯數(shù)確定。王志彬和李穎川[9]利用麥夸特法和通用全局優(yōu)化法擬合并提出臨界韋伯數(shù)和液滴變形參數(shù)的函數(shù)關系式為：

熊鈺等[11]提出的臨界韋伯數(shù)和液滴變形參數(shù)的函數(shù)關系式為：

采用本文參考文獻[31]給出的橢球表面積計算公式計算液滴內(nèi)能的增量，并忽略液滴之間的傳熱與傳質，基于能量守恒原理建立了新的臨界韋伯數(shù)和液滴變形參數(shù)函數(shù)關系式：

圖3對本文提出的液滴變形參數(shù)模型和王志彬和李穎川[9]提出的模型進行了比較，認為整體符合程度較好，在Wec=1時，兩者相對誤差為－11.7%。但本文模型同時避免了熊鈺所提出模型存在的復雜積分求解以及王志彬計算模型存在的變形參數(shù)高次項的解析計算過程?？紤]到王志彬建立的模型，其變形參數(shù)取最大液滴破碎時的值，而尺寸略小的液滴只發(fā)生變形而不會破碎，且變形程度不如大液滴。因此將本文提出的液滴變形參數(shù)模型計算結果下調(diào)10%。

圖3 液滴變形參數(shù)與臨界韋伯數(shù)的關系曲線圖

1.5 氣液界面的表面張力

工程應用中，Turner等[4]推薦氣液界面的表面張力為0.06 N/m。但表面張力會隨壓力和溫度變化而改變，本文在模型驗證過程中，采用本文參考文獻[32]給出的考慮壓力和溫度影響的表面張力計算公式為：

式中σ表示溫度為t ℃時水的表面張力，mN/m；t表示溫度，℃；σ(23.33)表示溫度為23.33 ℃時水的表面張力，σ(23.33)=76 exp(－0.036 257 5 p)，mN/m；σ(137.78)表示溫度為137.78 ℃時水的表面張力，σ(137.78)=52.5－0.870 18 p，mN/m。

2 模型對比與實例驗證

表1對常見的臨界攜液模型進行了對比。Turner模型[4]、李閩模型[6]和王毅忠模型[7]都將液滴視為剛性體，并給定曳力系數(shù)的值，最終模型表達式的系數(shù)為定值；王志彬模型[9]、熊鈺模型[11]和本文模型均考慮了液滴的連續(xù)變形，且曳力系數(shù)采用氣井實際參數(shù)計算獲得，因此表達式的系數(shù)不再是常數(shù)。

表1 氣井臨界攜液模型對比表

分別采用上述模型對現(xiàn)場44口氣井是否積液進行了預測。其中15口氣井的生產(chǎn)數(shù)據(jù)來自本文參考文獻[6]，井筒的平均溫度取322 K，平均壓縮因子取0.845，29口氣井的生產(chǎn)數(shù)據(jù)來自本文參考文獻[33]，井筒的平均溫度取310 K，平均壓縮因子取0.8。采用的氣井基礎數(shù)據(jù)如下：油管內(nèi)徑為0.062 m，天然氣相對密度的平均值取0.6，礦化水密度取1 074 kg/m3，氣水界面張力按式（31）計算。天然氣密度均采用下式計算[6]：

式中γg表示天然氣相對密度。

圖4和圖5將不同臨界攜液模型的計算結果和氣井實際情況進行了比較。圖中積液氣井臨界攜液流量計算結果處于對角線上側或者未積液氣井預測值處于對角線下側，即認為模型對積液判斷正確，否則認為判斷錯誤；對接近積液的氣井，預測值與實際產(chǎn)氣量的偏差處于±15%內(nèi)（圖中2條虛線之間）即認為模型預測結果與氣井實際情況符合，否則認為預測結果偏大或偏小。從圖4可以看出，Turner模型[4]得到的臨界攜液流量明顯偏大。熊鈺模型[11]由于采用了GP模型，高雷諾數(shù)氣井流動狀態(tài)下求解的曳力系數(shù)值過小，導致其預測值也偏大。兩者對9口接近積液的氣井，其預測值遠大于實際產(chǎn)氣量，且均對16口未積液氣井全部產(chǎn)生誤判。王志彬模型[9]的臨界攜液流量預測值小于Turner模型[4]和熊鈺模型[11]，但對9口接近積液氣井的預測結果同樣偏大，且對9口未積液氣井產(chǎn)生誤判。王毅忠模型[7]的預測結果略有偏小，對1口積液氣井產(chǎn)生誤判，對6口接近積液氣井的預測偏差超出±15%范圍。本文模型和李閩模型[6]的預測結果比較接近，兩者對積液和未積液氣井全部判斷正確。對接近積液的9口氣井，本文模型的計算結果與氣井實際情況符合更好，僅有1口氣井的預測偏差超出±15%范圍，平均偏差僅為7.8%，小于李閩模型10%的平均偏差。

圖4 Turner模型、熊鈺模型和王志彬模型計算結果對比圖

圖5 李閩模型、王毅忠模型和本文模型計算結果對比圖

3 結論

1）基于能量守恒原理建立了新的臨界韋伯數(shù)和液滴變形參數(shù)函數(shù)關系式，與現(xiàn)有計算模型相比，計算結果整體符合程度較好，同時可避免熊鈺模型存在的復雜積分求解以及王志彬模型中煩瑣的變形參數(shù)高次項的解析求解過程。

2）新模型綜合考慮了液滴直徑、液滴變形及變形對液滴表面自由能的影響，臨界攜液流速計算模型表達式的系數(shù)不再為常數(shù)，而與液滴變形參數(shù)與曳力系數(shù)有關。

3）結合現(xiàn)場44口氣井實際生產(chǎn)情況，將本文模型與現(xiàn)有臨界攜液流速模型進行了驗證，結果表明本文模型的預測結果與氣井實際狀況符合最好，可用于氣井積液的判斷。

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