激光陀螺誤差分析的Allan方差法改進(jìn)研究

，

(1.遼寧石油化工大學(xué) 信息與控制工程學(xué)院，遼寧 撫順 113001；2.哈爾濱工程大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，哈爾濱150001)

0 引言

激光陀螺的固態(tài)特性使其成為構(gòu)建高精度捷聯(lián)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的理想器件。憑借著瞬時(shí)啟動(dòng)快、耐沖擊能力強(qiáng)、數(shù)字輸出、工作可靠、平均無(wú)故障時(shí)間長(zhǎng)等諸多優(yōu)點(diǎn)[1]，激光陀螺被廣泛應(yīng)用于航海、航空、定位定向、陸地導(dǎo)航和航天火箭等領(lǐng)域[2-4]。作為高精度慣性器件，激光陀螺的隨機(jī)誤差特性是影響其精度提高的重要因素，因此，準(zhǔn)確且有效地分析和辨識(shí)出激光陀螺隨機(jī)誤差中的各種噪聲效應(yīng)，針對(duì)各效應(yīng)的影響的比重進(jìn)行有效地補(bǔ)償或改進(jìn)，是提高激光陀螺精度的一種有效途徑[5]。

Allan方差法是對(duì)激光陀螺的隨機(jī)誤差進(jìn)行辨識(shí)與分析中被普遍采用的有效手段之一[6-7]。然而文獻(xiàn)[8]指出Allan方差法沒(méi)有包含導(dǎo)航用的零偏不穩(wěn)定性項(xiàng)，并通過(guò)經(jīng)典方差法與Allan方差法之間的恒等關(guān)系指出角速度隨機(jī)游走項(xiàng)和速率斜坡項(xiàng)均為負(fù)值，且量化噪聲項(xiàng)也有負(fù)值情況出現(xiàn)的可能，而這與方差為正值的思想相悖。因此需以經(jīng)典方差法來(lái)評(píng)價(jià)激光陀螺的性能。文獻(xiàn)[9]采用阻尼振蕩的思想建立功率譜密度的數(shù)學(xué)模型，最終通過(guò)建立經(jīng)典方差法的擬合公式來(lái)完成漂移項(xiàng)的估計(jì)，解決了上述Allan方差法在分析過(guò)程中存在的不足，但經(jīng)典方差法的擬合精度要比Allan方差法的擬合精度差。文獻(xiàn)[10-12]提出的動(dòng)態(tài)Allan方差法能夠全面和準(zhǔn)確地評(píng)價(jià)陀螺的性能，由于動(dòng)態(tài)Allan方差法是由Allan方差法通過(guò)窗口截取得到的，其本質(zhì)是三維的Allan方差表現(xiàn)形式，所以Allan方差法中存在的諸多不合理之處都會(huì)直接引入到動(dòng)態(tài)Allan方差法中。

為此，本文將阻尼振蕩法的分析思想和模型引入到動(dòng)態(tài)Allan方差法中，建立了改進(jìn)動(dòng)態(tài)Allan方差法的數(shù)學(xué)模型，并通過(guò)改進(jìn)Allan方差法對(duì)實(shí)際測(cè)量激光陀螺數(shù)據(jù)的誤差特性進(jìn)行了辨識(shí)與分析，仿真和分析結(jié)果驗(yàn)證了改進(jìn)動(dòng)態(tài)Allan方差法的正確性和有效性。

1 阻尼振蕩形式的隨機(jī)漂移模型

阻尼振蕩形式的隨機(jī)漂移模型是將噪聲項(xiàng)假設(shè)為各種阻尼振蕩形式，推導(dǎo)出其功率譜密度，并將其與量化噪聲項(xiàng)的功率譜密度結(jié)合起來(lái)形成隨機(jī)漂移的功率譜密度表達(dá)式，經(jīng)傅立葉逆變換后，得到時(shí)域上的經(jīng)典方差表達(dá)形式：

(1)

(2)

式中，m′代表慢漂類(lèi)阻尼振蕩，m″代表快漂類(lèi)阻尼振蕩，m代表不快不慢漂類(lèi)阻尼振蕩。文獻(xiàn)[13]對(duì)此已經(jīng)給出了詳盡的定義及推導(dǎo)過(guò)程，本文在此便不再贅述。

式(1)和式(2)也可以分別簡(jiǎn)化為如下所熟知的表達(dá)形式：

(3)

(4)

對(duì)比式(3)和式(4)可以看出，式(4)的慢漂項(xiàng)中缺少了a0項(xiàng)，此項(xiàng)是由1/f噪聲引起的，通常稱(chēng)之為零偏不穩(wěn)定性項(xiàng)，傳統(tǒng)Allan方差法并非缺少對(duì)此項(xiàng)的估計(jì)，而是在采用阻尼振蕩法之后，由經(jīng)典方差法表達(dá)式轉(zhuǎn)化Allan方差法表達(dá)式的過(guò)程中，此項(xiàng)中不包含相關(guān)時(shí)間而最終被消去。對(duì)于整個(gè)誤差項(xiàng)的估計(jì)需通過(guò)經(jīng)典方差法輔助Allan方差法來(lái)完成。實(shí)際上，只需完成經(jīng)典方差法的參數(shù)估計(jì)，再通過(guò)式(3)與式(4)之間系數(shù)的關(guān)系直接計(jì)算出精細(xì)的Allan方差法的各項(xiàng)系數(shù)，可省去對(duì)Allan方差法的估計(jì)過(guò)程。

在傳統(tǒng)Allan方差法中，各誤差項(xiàng)的方差為正值，因此，要求各誤差項(xiàng)均大于零。而采用阻尼振蕩形式的隨機(jī)漂移模型只要求這三類(lèi)漂移分別大于零，而并未要求每類(lèi)漂移中所包含的子誤差項(xiàng)均大于零，這便巧妙地避開(kāi)了傳統(tǒng)Allan方差法中的量化噪聲項(xiàng)、角度隨機(jī)游走項(xiàng)和速率斜坡項(xiàng)出現(xiàn)負(fù)值卻無(wú)法給出合理解釋的情況。

由經(jīng)典方差法推得的Allan方差的擬合精度略遜于傳統(tǒng)的Allan方差法[8]。相比傳統(tǒng)Allan方差法，動(dòng)態(tài)Allan方差法的擬合結(jié)果又更為精確些。所以，本文將阻尼振蕩法的經(jīng)典方差模型引入到動(dòng)態(tài)Allan方差法之中，用以提高擬合結(jié)果的精細(xì)程度。

2 基于動(dòng)態(tài)Allan方差的改進(jìn)Allan方差法

動(dòng)態(tài)Allan法是Allan方差法的三維表現(xiàn)形式，能夠體現(xiàn)出慣性器件的瞬時(shí)穩(wěn)定性[14-15]，它的一個(gè)突出優(yōu)點(diǎn)就是能夠體現(xiàn)隨機(jī)誤差的非平穩(wěn)性變化。在動(dòng)態(tài)Allan方差法中，通過(guò)一個(gè)以給定時(shí)刻t1為中心點(diǎn)，長(zhǎng)度為T(mén)的矩形窗口來(lái)截取數(shù)據(jù)進(jìn)行Allan方差估計(jì)。然后窗口滑動(dòng)到下一中心時(shí)刻t2，估計(jì)這一時(shí)刻矩形窗口數(shù)據(jù)的Allan方差。需要注意的是相鄰兩時(shí)刻的矩形窗口須有交疊部分。如此反復(fù)地進(jìn)行此項(xiàng)工作就能夠觀察出代表隨機(jī)誤差的Allan方差隨時(shí)間增長(zhǎng)而不斷演變的過(guò)程，這也就是動(dòng)態(tài)Allan方差法的形成過(guò)程。而改進(jìn)Allan方差法的形成過(guò)程與動(dòng)態(tài)Allan方差法的形成過(guò)程是一致的，只是對(duì)窗口截取數(shù)據(jù)的Allan方差估計(jì)采用經(jīng)典方差法的式(3)來(lái)完成，其推導(dǎo)過(guò)程如下。

考慮連續(xù)時(shí)間的數(shù)據(jù)測(cè)量，假設(shè)x(t)為激光陀螺輸出的隨機(jī)誤差數(shù)據(jù)。可以使用窗口區(qū)間為t-T/2≤t′≤t+T/2的矩形窗口PT(t′)對(duì)隨機(jī)誤差數(shù)據(jù)x(t′)進(jìn)行截取，截取得到的數(shù)據(jù)為

xT(t,t′)=x(t′)PT(t-t′)

(5)

式中，xT(t,t′)就是截取所得的數(shù)據(jù)。長(zhǎng)度為T(mén)的矩形窗口PT(t)有如下的定義形式：

(6)

對(duì)于任意一個(gè)窗口來(lái)說(shuō)，時(shí)刻t是一個(gè)固定的參數(shù)，它代表著分析窗口PT(t-t′)的中心。t′代表著窗口內(nèi)流失的時(shí)間。由式(3)可得到t′時(shí)間內(nèi)經(jīng)典方差的估計(jì)窗口Aτ(t′)，通過(guò)截取的數(shù)據(jù)和Aτ(t′)進(jìn)行卷積運(yùn)算可建立一個(gè)增量過(guò)程Δ(t,t′,τ)。

(7)

式中，各變量的約束條件如下：

(8)

t-(T/2-τ)≤t′≤t+(T/2-τ)

(9)

0<τ≤τmax

(10)

其中，τmax是經(jīng)典方差估計(jì)窗口內(nèi)數(shù)據(jù)的最大的觀測(cè)時(shí)間間隔，可以選為

τmax=T/3

(11)

經(jīng)典方差法的實(shí)質(zhì)是先對(duì)一組陀螺輸出信號(hào)求取均值，通過(guò)陀螺輸出信號(hào)與均值作差，得到的差值序列即被認(rèn)定為隨機(jī)誤差，最后對(duì)隨機(jī)誤差序列平方的總體取均值，其簡(jiǎn)化形式可寫(xiě)成

(12)

式中，Δ(tk,τ)就是tk時(shí)刻，相關(guān)時(shí)間為τ時(shí)的隨機(jī)誤差。符號(hào)<·>代表對(duì)時(shí)間序列的總體取均值。

將式(7)中的增量過(guò)程代入式(12)，可得

(13)

=E[<Δ2(t,t',τ)>]

(14)

(15)

此外，需要指出的是選擇不同的分析窗口類(lèi)型可以有效地改進(jìn)其性能，例如選擇海明、漢寧、高斯或者三角窗口等。本文旨在對(duì)阻尼振蕩形式的動(dòng)態(tài)Allan方差法進(jìn)行驗(yàn)證與分析，因此，本文中僅采用了單一的矩形分析窗口，而并未過(guò)多地對(duì)其他窗口進(jìn)行深入研究。但若需進(jìn)一步提高改進(jìn)動(dòng)態(tài)Allan方差法的表現(xiàn)性能，窗口的選擇是后續(xù)值得進(jìn)一步深入研究的。

3 激光陀螺零偏數(shù)據(jù)的誤差特性分析

本文對(duì)實(shí)驗(yàn)室內(nèi)現(xiàn)有的某型激光陀螺的零偏數(shù)據(jù)進(jìn)行了實(shí)際測(cè)量。并分別采用了基于阻尼振蕩的Allan方差法和改進(jìn)動(dòng)態(tài)Allan方差法對(duì)采集的激光陀螺零偏數(shù)據(jù)進(jìn)行了辨識(shí)與對(duì)比分析。

試驗(yàn)數(shù)據(jù)采集過(guò)程中，將激光陀螺固定在靜止的速率轉(zhuǎn)臺(tái)之上，由速率轉(zhuǎn)臺(tái)為其提供一個(gè)水平基準(zhǔn)。采樣時(shí)間為10多個(gè)小時(shí)，采樣頻率為1Hz。采樣得到的激光陀螺數(shù)據(jù)如圖1所示。

圖1 X軸激光陀螺輸出Fig.1 The output of X axis Laser gyro

對(duì)采集的數(shù)據(jù)進(jìn)行功率譜密度分析，功率譜密度的低頻和高頻部分分別如圖2和圖3所示。

從低頻部分圖2中可以估計(jì)出頻帶的弛豫時(shí)間τm為1個(gè)多小時(shí)，較采樣周期τ大很多，即τ/τm?1，因此可以看作慢漂類(lèi)漂移。因此在式(3)中應(yīng)包含慢漂類(lèi)漂移。而從高頻部分圖3中可以看出，激光陀螺的零偏數(shù)據(jù)中只含有快漂類(lèi)漂移，而不含有不快不慢類(lèi)漂移。所以對(duì)此次采集的激光陀螺零偏數(shù)據(jù)的誤差項(xiàng)估計(jì)應(yīng)采用下面的經(jīng)典方差擬合公式。

(16)

圖2 激光陀螺輸出數(shù)據(jù)的低頻部分Fig.2 Low frequency part of the laser gyro output data

圖3 激光陀螺輸出數(shù)據(jù)的高頻部分Fig.3 High frequency part of the laser gyro output data

設(shè)定改進(jìn)Allan方差法的矩形窗口長(zhǎng)度T為3600s。由式(16)可以得到激光陀螺數(shù)據(jù)的Allan方差法和改進(jìn)Allan方差法的曲線擬合結(jié)果如圖4和圖5所示。圖4中紅色曲線為激光陀螺輸出零偏數(shù)據(jù)的Allan方差曲線，藍(lán)色曲線為其擬合曲線。

圖4 基于阻尼振蕩法的Allan方差雙對(duì)數(shù)擬合圖Fig.4 Double logarithmic fitting of Allan variancebased on damped oscillation method

圖5 激光陀螺輸出數(shù)據(jù)的改進(jìn)Allan方差曲線Fig.5 Improved Allan variance curve of laser gyro output data

由上述兩種方法的擬合結(jié)果得到的快漂項(xiàng)和慢漂項(xiàng)及其展開(kāi)得到的各子誤差項(xiàng)的結(jié)果如表1所示。

表1 兩種分析方法辨識(shí)結(jié)果的對(duì)比

表1中的Q、N、B、K和R分別為激光陀螺的量化噪聲項(xiàng)、隨機(jī)游走項(xiàng)、零偏不穩(wěn)定性項(xiàng)和角速率隨機(jī)游走項(xiàng)和速率斜坡項(xiàng)。Allan方差法是由經(jīng)典方差法經(jīng)恒等關(guān)系式推導(dǎo)出來(lái)的，其誤差項(xiàng)直接由辨識(shí)系數(shù)經(jīng)單位轉(zhuǎn)換得到，而改進(jìn)動(dòng)態(tài)Allan方差法的誤差項(xiàng)是由擬合后得到的經(jīng)典方差系數(shù)a0～a4經(jīng)式(4)得到Allan方差系數(shù)，再由Allan方差系數(shù)經(jīng)單位轉(zhuǎn)換得到的。表1中的K項(xiàng)的辨識(shí)結(jié)果均為零，說(shuō)明在此激光陀螺輸出的零偏信號(hào)中不存在馬爾科夫過(guò)程。N項(xiàng)和B項(xiàng)都很小，說(shuō)明該激光陀螺的諧振腔的品質(zhì)較高。

在對(duì)表1結(jié)果的整體對(duì)比中可以看出，Allan方差法與改進(jìn)Allan方差法辨識(shí)出的快漂類(lèi)和慢漂類(lèi)漂移結(jié)果基本保持一致，只是在部分誤差項(xiàng)的辨識(shí)結(jié)果中，改進(jìn)動(dòng)態(tài)Allan方差法的辨識(shí)結(jié)果顯得更為精細(xì)些。這是因?yàn)镈AVAR是由多個(gè)固定長(zhǎng)度的Allan方差所組成的，其擬合結(jié)果為多個(gè)Allan方差的擬合結(jié)果的平均，反映的是多次計(jì)算所得的各誤差系數(shù)的平均水平。因此，在隨機(jī)信號(hào)為平穩(wěn)信號(hào)的情況下，改進(jìn)動(dòng)態(tài)Allan方差法的辨識(shí)結(jié)果就顯得更為精確些。

改進(jìn)Allan方差法的另一個(gè)優(yōu)勢(shì)是從它的分析圖中能夠觀察出隨機(jī)信號(hào)受污染的情況，特別是受溫度、濕度等環(huán)境干擾的情況。從圖5中可以看出，該隨機(jī)信號(hào)是較為平穩(wěn)的，受環(huán)境影響較小。

為了進(jìn)一步說(shuō)明改進(jìn)Allan方差法對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)的分析能力。本文通過(guò)溫箱控制激光陀螺的工作環(huán)境溫度變化，采集了近30h的激光陀螺零偏數(shù)據(jù)，為了提高改進(jìn)Allan方差法的運(yùn)行效率，對(duì)采集的激光陀螺零偏數(shù)據(jù)進(jìn)行了百秒平滑，平滑后的結(jié)果及溫箱溫度變化情況如圖6所示。

圖6 變溫環(huán)境采集的激光陀螺數(shù)據(jù)Fig.6 Laser gyro data collected in achanging temperature environment

由于圖6中的激光陀螺輸出信號(hào)為非平穩(wěn)信號(hào)，而Allan方差法只能對(duì)平穩(wěn)信號(hào)進(jìn)行辨識(shí)，因此本文僅給出了改進(jìn)Allan方差法的辨識(shí)結(jié)果。設(shè)定矩形窗口長(zhǎng)度T為330，得到變溫環(huán)境下的激光陀螺零偏數(shù)據(jù)的改進(jìn)Allan方差如圖7所示。

圖7 變溫環(huán)境下激光陀螺數(shù)據(jù)的改進(jìn)Allan方差圖Fig.7 Improved Allan variance curve for laser gyrodata in changing temperature environment

從圖7中可以很清晰地看出動(dòng)態(tài)誤差信號(hào)隨時(shí)間發(fā)生的周期性變化，即該方法能夠表現(xiàn)出激光陀螺的隨機(jī)誤差特性受溫度影響而變化所體現(xiàn)出的時(shí)變特性。因此，從上述對(duì)改進(jìn)Allan方差法的辨識(shí)和分析結(jié)果中可以看出，改進(jìn)Allan方差法對(duì)激光陀螺的誤差特性進(jìn)行辨識(shí)與分析是有效和可行的，不僅能夠?qū)す馔勇葺敵龅钠椒€(wěn)信號(hào)進(jìn)行辨識(shí)與分析，還能夠完成在變化環(huán)境下所采集到數(shù)據(jù)的非平穩(wěn)信號(hào)分析。

4 結(jié)論

傳統(tǒng)Allan方差法對(duì)各誤差項(xiàng)的分析存在不足，而阻尼振蕩方法在對(duì)各誤差項(xiàng)的分析較為合理，但其通過(guò)經(jīng)典方差法擬合的結(jié)果導(dǎo)致擬合精度稍差。因此，本文在阻尼振蕩法的基礎(chǔ)上引入了動(dòng)態(tài)Allan方差法，將阻尼振蕩模型與動(dòng)態(tài)Allan方差法模型結(jié)合起來(lái)進(jìn)行改進(jìn)，并給出了改進(jìn)Allan方差法的具體推導(dǎo)過(guò)程。通過(guò)實(shí)測(cè)的激光陀螺零偏數(shù)據(jù)對(duì)Allan方差法和改進(jìn)Allan方差法進(jìn)行了辨識(shí)結(jié)果的對(duì)比和分析。分析結(jié)果驗(yàn)證了改進(jìn)Allan方差法的有效性和可行性。通過(guò)對(duì)變溫環(huán)境下的激光陀螺零偏數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比分析可知，改進(jìn)Allan方差法同時(shí)具備平穩(wěn)信號(hào)和非平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的處理分析能力。

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