基于面積模型的乘法運算再認識

張勛

摘 要：一般認為，乘法運算是先計算出積計數(shù)單位的個數(shù)，再結(jié)合積的計數(shù)單位來確定最終的結(jié)果。借助面積模型，從根據(jù)因數(shù)的計數(shù)單位構建出新的積的計數(shù)單位，進而由積的計數(shù)單位的個數(shù)來確定結(jié)果的角度實現(xiàn)對乘法運算的再認識。

關鍵詞：面積模型；乘法運算；計數(shù)單位

一、由小數(shù)乘法引發(fā)的對乘法運算特殊性的思考

從新課標人教版小學數(shù)學教材涉及的小數(shù)運算的內(nèi)容來看，小數(shù)加法、減法、除法都一定有小數(shù)點對齊的現(xiàn)象，而只有小數(shù)乘法小數(shù)點不一定是對齊的。這種差異是否使小數(shù)乘法的運算具有某種特殊性呢？通過基于計數(shù)單位概念的思考，我有了一些想法。

小數(shù)加法、減法和除法小數(shù)點嚴格對齊，說明在運算發(fā)生前結(jié)果的計數(shù)單位已經(jīng)被確定，運算的過程實際上是在算計數(shù)單位的個數(shù)。比如2.5+1.38轉(zhuǎn)化成2.50+1.38算得的結(jié)果的計數(shù)單位一定是多少個0.01，減法亦是這樣，而例如26.4÷4這樣的除法運算（包括像2.64÷0.4轉(zhuǎn)化而來的情況），商的計數(shù)單位也因和被除數(shù)的計數(shù)單位一致而被提前鎖定，即便是需要補0繼續(xù)除，也是因為被除法的計數(shù)單位變小才導致商的計數(shù)單位相應變小。而小數(shù)乘法無法完全借助小數(shù)點對齊的現(xiàn)象來提前預知積的計數(shù)單位。所以教材中引導學生將其轉(zhuǎn)化成整數(shù)來算實際上是先算出計數(shù)單位的個數(shù)，從積的變化規(guī)律的角度通過還原來確定結(jié)果，實則確定結(jié)果的計數(shù)單位。都是計數(shù)單位和計數(shù)單位的個數(shù)“兩步走”，但小數(shù)乘法中兩步走的順序與其他三則運算有本質(zhì)的不同。

二、借助面積模型，實現(xiàn)“兩步走”在四則上的統(tǒng)一

那么小數(shù)乘法的運算過程能否在某些抓手的輔助下實現(xiàn)先計數(shù)單位后計數(shù)單位的個數(shù)的“乾坤大挪移”，從而與其他三則運算形成統(tǒng)一呢？此時，運用面積模型直觀理解問題的數(shù)形結(jié)合思想派上了用場。下面僅以0.21×1.5為例來進行說明，我們借助面積模型來更加直觀理解問題：

在圖中，每個小長方形的長是0.01，對應0.21的計數(shù)單位，寬是0.1，對應1.5的計數(shù)單位。一排21塊對應第一個因數(shù)0.21計數(shù)單位的個數(shù)，總共的15排則對應第二個因數(shù)1.5的計數(shù)單位的個數(shù)，這樣一來，全圖的面積就可以表示0.21×1.5的結(jié)果。而一小塊的面積可以表示0.01×0.1，也就是上述提到的構建出的積的計數(shù)單位，21×15則可以表示計數(shù)單位的個數(shù)。從而全圖面積可以被理解為315塊面積為0.001的小長方形的面積之和，也就是0.315。這樣一來，將計數(shù)單位與面積單位進行關聯(lián)，小數(shù)乘法運算過程先計數(shù)單位后計數(shù)單位的個數(shù)的“兩步走”于情于理就都說得通了。

三、由小數(shù)乘法推廣到整個乘法運算

（一）順藤摸瓜 推廣到整數(shù)乘法部分

其實上述理論體系在整數(shù)乘法中也是成立的，例如38×25得到的結(jié)果950可以被理解為積的計數(shù)單位的個數(shù)，只不過這里的計數(shù)單位是1，對應面積模型中的每一小塊是邊長為1的小正方形的面積。因一排38塊和25排得到的總面積就是950個1，所以結(jié)果就是950。此外，整數(shù)乘法兩個因數(shù)的計數(shù)單位都是1導致右側(cè)對齊同時實現(xiàn)了隱藏在個位右下角的小數(shù)點對齊，但這僅僅是一種巧合，與上面小數(shù)乘法并不矛盾。

（二）拓展延伸 推廣到整數(shù)乘法部分

除了整數(shù)乘法和小數(shù)乘法，分數(shù)乘法也是乘法運算的重要組成部分。那么上述借助面積模型理解乘法運算的套路在分數(shù)乘法中是否還站得住腳呢？答案是肯定的。

與整數(shù)和小數(shù)對應，分數(shù)也有自己的計數(shù)單位，我們稱之為分數(shù)單位，比如和的分數(shù)單位分別是和，分數(shù)單位的個數(shù)分別是5和4。那么·同樣可以還原到上面提到的面積模型中去。在這里每一小塊的長是、寬是，一排塊數(shù)和排數(shù)分別是5和4。而被構建出的積的計數(shù)單位是·，也就是。同時計數(shù)單位的個數(shù)也就是塊數(shù)由5×4來確定，也就是20塊。相信順著這條思維路徑走下去，學生在學習分數(shù)乘法運算時對于·=的計算過程會多一種理解。

那么對于更為常規(guī)的算法，也就是將·通過交叉約分簡化為·又該如何理解呢？其實在這個過程中面積模型并沒有發(fā)生變化，只是細化程度降低了，也就是每一塊的面變大了，從長是、寬是變?yōu)殚L和寬都是。同時塊數(shù)相應減少了，從一排5塊共4排減少到一排1塊共2排。

四、從二維到三維，從面積到體積，從相乘到連乘

設想一下，如果將面積模型輔助理解乘法運算的理論體系從二維推廣到三維，會發(fā)生什么呢？首先就模型本身來說會從面積模型上升到體積模型，伴隨著維度增加一個，參與運算的數(shù)的個數(shù)也會從兩個增為三個，那么無論是整數(shù)、小數(shù)還是分數(shù)或是它們之間的交互相乘，任何一個連乘的乘法運算都可以在相應的體積模型中找到屬于自己一一對應的直觀表象。

五、小結(jié)與展望

借助面積模型來重新認識并理解乘法運算，有利于學生站在制高點俯瞰全局，從整體上更好地把握運算的本質(zhì)，實現(xiàn)完全同構的“兩步走”。同時運算過程算計數(shù)單位的個數(shù)的事實向我們指出，用統(tǒng)一的標準度量客觀世界是計算教學承載的對發(fā)展學生核心素養(yǎng)的重要任務。

參考文獻：

[1]中華人民共合作教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2011版）[S].endprint