電磁場和圓周運(yùn)動(dòng)結(jié)合研究探討

張雪梅

摘 要：圓周運(yùn)動(dòng)作為一種特殊的曲線運(yùn)動(dòng)，在物理電磁學(xué)中常與電磁場等內(nèi)容進(jìn)行有機(jī)結(jié)合，成為考試熱點(diǎn)同時(shí)對我們來說也是一個(gè)難點(diǎn)。本文對電磁場與圓周運(yùn)動(dòng)的結(jié)合進(jìn)行研究探討，通過研究帶電粒子在電磁場中的圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律，得出解決這類問題主要是要找圓心、求半徑和畫出運(yùn)動(dòng)軌跡，并通過實(shí)例進(jìn)行講解，讓我們能夠熟悉和掌握此類復(fù)雜問題。

關(guān)鍵詞：勻強(qiáng)磁場；洛倫茲力；圓周運(yùn)動(dòng)

中圖分類號：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1671-2064（2018）01-0249-02

1 前言

圓周運(yùn)動(dòng)在電磁場方面的應(yīng)用十分廣泛，帶電粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)考察的知識面較廣，是考試的重點(diǎn)范圍，經(jīng)統(tǒng)計(jì)其已經(jīng)連續(xù)作為物理考試的壓軸大題，對我們來說解決此類問題十分關(guān)鍵且必須。在我們解決這類問題時(shí)，主要抓住“一找圓心，二求半徑（），三求周期（）”。接下來對這三步就行歸納總結(jié)：

1.1 基本思想

求解此類問題首先要掌握以下兩點(diǎn)基本思路：（1）我們都知道帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)是由洛倫磁力提供向心力，即。（2）同時(shí)，因?yàn)樵撨\(yùn)動(dòng)是個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)，由數(shù)學(xué)上圓相關(guān)知識可知，必滿足垂徑定律。

1.2 思路和方法

1.2.1 找圓心

帶電粒子在有界磁場中的軌跡是一個(gè)圓弧，解決問題的關(guān)鍵在于確定出軌跡的圓心。在這方面已有許多文獻(xiàn)進(jìn)行了相關(guān)研究，總結(jié)起來大致有以下幾種方法：

（1）方法1：如果已知粒子在有界磁場中軌跡上任意兩點(diǎn)的速度方向，由圓心一定在和速度方向垂直的那條直線上以及洛倫茲力F垂直于速度v的定理，分別確定出兩點(diǎn)洛倫茲力F的方向，其交點(diǎn)即是粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心。

（2）方法2：如果已知粒子運(yùn)動(dòng)軌跡上的某一點(diǎn)的速度方向以及另一點(diǎn)的位置，和方法1一樣，先做出速度方向上的垂線，然后將已知兩點(diǎn)連接起來，做出該連線的中垂線。做出的這兩條直線的交點(diǎn)即為圓弧軌跡的圓心。

（3）方法3：若已知粒子軌跡上的兩點(diǎn)和能求得的半徑R，則可作出此兩點(diǎn)連線的中垂線，從連線的端點(diǎn)到中垂線上的距離為R的點(diǎn)即為圓心。

1.2.2 求半徑

在確定好圓弧軌跡的圓心之后，半徑也就迎刃而解了。主要有以下兩種求解半徑的方法：（1）運(yùn)用物理規(guī)律，由，可推出：。

（2）可運(yùn)用平面幾何知識來求半徑的長度。

1.2.3 求時(shí)間

為求粒子在有界磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，首先得求出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡對應(yīng)的那個(gè)圓心角設(shè)為，且已知帶電粒子在磁場中一周的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是T，則時(shí)間t可表示為：。由該公式可以看出：（1）粒子軌跡所對應(yīng)的圓心角越大，時(shí)間就越久。且運(yùn)動(dòng)時(shí)間與粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的長度和半徑都沒有關(guān)系。（2）由周期可以看出，粒子運(yùn)動(dòng)一周的時(shí)間T與粒子比荷和磁場相關(guān)，但和粒子運(yùn)動(dòng)速度大小是無關(guān)的。

2 實(shí)例分析

上述已經(jīng)對圓心、半徑以及時(shí)間的確定方法做了一個(gè)簡單的綜述，接下來運(yùn)用幾個(gè)實(shí)例對粒子在磁場中的圓周運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分析，讓我們能夠熟練掌握其運(yùn)動(dòng)規(guī)律和特點(diǎn)并且能靈活運(yùn)用這些規(guī)律來解決相關(guān)問題。

（1）兩平行直線之間存在如圖1所示的勻強(qiáng)磁場，兩帶電粒子沿MN方向射入到該磁場中，并分別以速度v1和v2射出磁場。求1）兩粒子射出磁場速度v1：v2？2）兩帶電粒子通過該勻強(qiáng)磁場所需時(shí)間t1：t2？

解析：根據(jù)前述解題步驟，利用求圓心的方法1做出速度的垂直支線，可分別確定兩粒子的圓心，并且利用上述確定半徑和時(shí)間的方法就可以很容易的求解出答案。由圖中幾何關(guān)系，兩粒子圓弧軌跡半徑存在以下關(guān)系：

所以可得出兩粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間之比：

（2）有一個(gè)圓形的勻強(qiáng)磁場，半徑為r，如圖1所示。一個(gè)帶電粒子從M點(diǎn)沿著半徑的方向以速度vo射入該勻強(qiáng)磁場，經(jīng)過一段時(shí)間之后由N點(diǎn)射出，O點(diǎn)為軌跡的圓心。已知角MON等于120度，求：粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間以及偏轉(zhuǎn)半徑R。

分析：首先確定粒子運(yùn)動(dòng)圓弧軌跡的圓心，由上述方法1可知，過M、N兩點(diǎn)分別作出半徑OM以及ON的垂線，這兩條垂線的交點(diǎn)就是運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心，如圖2所示。圓心確定之后半徑也就確定下來了，根據(jù)圖2運(yùn)用幾何知識，可以看出半徑R：

又由公式可以推出：

所以粒子軌跡的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：

（3）在xy坐標(biāo)中y<0的部分存在均勻磁場示于圖3。強(qiáng)度為B的磁場指向紙外且垂直于平面。一個(gè)帶正電的粒子從O點(diǎn)射進(jìn)磁場，速度為vo，方向?yàn)榕cx坐標(biāo)軸正向存在夾角。已知粒子在經(jīng)過磁場之后在距離O點(diǎn)單位1的位置射出，求粒子的電量q與質(zhì)量m的比值。

分析：因?yàn)樵摿Ｗ訋д?，進(jìn)入電場之后在洛倫茲力的作用下將沿著圖4示出的圓弧軌道運(yùn)動(dòng)，從點(diǎn)A射出磁場，由已知可得距離OA=1。確定出射出位置且已知射入方向，則由方法2可得出運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心C，并設(shè)半徑為R，運(yùn)用幾何知識就可求解此題。

3 結(jié)語

電磁場和圓周運(yùn)動(dòng)結(jié)合對我們來說是一個(gè)重點(diǎn)也是難點(diǎn)，在分析帶電粒子在電磁場中的圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，只要能夠根據(jù)以上方法確定出圓心，半徑以及時(shí)間，問題就能迎刃而解。

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