用數(shù)學(xué)方法研究微管軸對(duì)稱(chēng)波在粘彈性介質(zhì)中的傳播

摘 要： 用數(shù)學(xué)方法從理論上分析了微管作為正交各向異性圓柱殼模型在粘彈性介質(zhì)中的軸對(duì)稱(chēng)波的傳播特性，粘彈性介質(zhì)通過(guò)Kelvin模型描述對(duì)微管的作用，利用數(shù)學(xué)中的數(shù)值計(jì)算方法得到了粘彈性介質(zhì)與微管的結(jié)合增大了微管的波傳播波速，從而增大了微管的固有頻率。

關(guān)鍵詞： 微管；粘彈性介質(zhì)；軸對(duì)稱(chēng)波；數(shù)值計(jì)算

微管存在與幾乎所有的細(xì)胞中，作用非常大，它是細(xì)胞骨架的主要組成之一，而細(xì)胞骨架與疾病密切相關(guān)。微管為一中空?qǐng)A柱狀結(jié)構(gòu)，內(nèi)徑約15nm，外徑約25nm，管壁厚約6～9nm，長(zhǎng)度不確定。由二聚體螺旋盤(pán)繞裝配成微管的壁，13個(gè)二聚體圍成一周，故在切面下可見(jiàn)微管由13個(gè)原纖維構(gòu)成。微管的力學(xué)特性與微管在細(xì)胞中的作用密切相關(guān)，如細(xì)胞分裂、細(xì)胞運(yùn)動(dòng)、細(xì)胞運(yùn)輸。微管的力學(xué)特性是人們研究的熱點(diǎn)，特別是微管的振動(dòng)、波的傳播以及動(dòng)力不穩(wěn)定性。文獻(xiàn)主要討論了微管中波的傳播和振動(dòng)，文獻(xiàn)對(duì)微管在水中的波的傳播。但是對(duì)于彈性介質(zhì)中的微管中的波的傳播比較缺乏，特別是粘彈性介質(zhì)研究非常少。另外，微管周?chē)奈镔|(zhì)復(fù)雜多樣，有多種蛋白質(zhì)構(gòu)成，如微管相關(guān)蛋白MAP1，MAP2，微管裝飾蛋白tau等，呈現(xiàn)出粘彈性性質(zhì)。本文基于上述情況，利用正交圓柱殼模型，應(yīng)用數(shù)學(xué)方法和數(shù)值計(jì)算方法對(duì)微管在粘彈性介質(zhì)中的軸對(duì)稱(chēng)波的傳播特性進(jìn)行了分析，得到了一些結(jié)果。

一、 Kelvin模型和微管的控制方程

物質(zhì)的線(xiàn)粘彈性介于線(xiàn)彈性和理想粘性之間，因而可以用模型表示和描述。最基本的模型Kelvin模型，Kelvin模型由彈簧和阻尼器并聯(lián)而成，兩個(gè)元件的應(yīng)變都等于模型的總應(yīng)變，而模型的總應(yīng)力為兩元件應(yīng)力之和。如圖所示：

近年來(lái)大量試驗(yàn)證實(shí)了微管呈現(xiàn)各向異性特性，正交各向異性殼有四個(gè)獨(dú)立的材料常數(shù)，軸向彈性模量Ex，環(huán)向模量Eθ，剪切模量Gxθ，軸向泊松比νx且滿(mǎn)足關(guān)系式 vθ vx = Eθ Ex ，平均等價(jià)厚度h≈2.7nm有效厚h0=1.6nm，微管拉伸剛度Kx，Kθ，Kxθ，微管彎曲剛度Dx，Dθ，Dxθ，且Kx= Exh 1-vxvθ ，Kθ= Eθh 1-vxvθ ，Kxθ=Gxθh，Dx= Exh30 12（1-vxvθ） ，Dθ= Eθh30 12（1-vxvθ） ，Dxθ= Gxθh30 12 ，假設(shè)微管在粘彈性介質(zhì)中，粘彈性介質(zhì)為各向同性線(xiàn)性體，微管周?chē)艿秸硰椥越橘|(zhì)力的作用，根據(jù)Flugge理論給出圓柱殼的平衡運(yùn)動(dòng)方程：

Nx x + Nθx rθ +px=ρh 2u t2 ， Nxθ x + Nθ rθ - Mθ r2θ + Mxθ rx +pθ=ρh 2v t2

2Mx x2 + 2Mxθ rθx + 2Mθx rθx + 2Mθ r2θ2 + Nθ r +pz=ρh 2w t2 （1）

式中Nx，Nθ，Nθx，Nxθ，Mx，Mθ，Mxθ，Mθx分別表示薄膜力，薄膜矩，px，pθ，pz為微管周?chē)硰椥越橘|(zhì)作用在微管上的軸向載荷，切向載荷，徑向載荷。對(duì)于正交各向異性材料，薄膜力Nx，Nθ，Nxθ，Nθx和力矩量Mx，Mθ，Mxθ，Mθx與位移u，v，w的表達(dá)式為：

Nx=Kx u x + νθ r v θ -w + Dx r · 2w x2 ，Nθ=Kθ 1 r v θ -w +νx u x - Dθ r3 w+ 2w θ2

Nxθ=Kxθ u rθ + v x + Dxθ r2 v x + 2w xθ ，Nθx=Kθx u rθ + v x + Dxθ r2 u rθ - 2w xθ

Mx=-Dx 2w x2 + νθ r2 · 2w θ2 + 1 r u x + νθ r · v θ ，Mθ=-Dθ 1 r2 · 2w θ2 +νx 2w x2 + w r2

Mxθ=- 2Dxθ r 2w xθ + v x ，Mθx=- 2Dxθ r 2w xθ - 1 2r · u θ + 1 2 · v x （2）

把（2）代入得到微管在粘彈性介質(zhì)中的三個(gè)控制方程：

r2 2 x2 +β（1+γ）· 2 θ2 ·u+ （ανx+β）·r· 2 xθ ·v+ -ανxr· x +γ·r3· 3 x3 -β·γ·r· 3 xθ2 ·w+ r2 ρhS2L px= r SL 2· 2u t2

（ανx+β）·r· 2 xθ ·u+ α· 2 θ2 +β·（1+3γ）·r2· 2 x2 ·v+ -α· θ +γ·（αvx+3β）·r2· 3 x2θ ·w+ r2 ρhS2L pθ= r SL 2· 2v t2

ανxr· x -γ·r3· 3 x3 +γ·β·r· 3 xθ2 ·u+ α· θ -γ·（ανx+3β）·r2· 3 x2θ ·v+ -γ·r4· 4 x4 -2γ·（ανx+2β）·r2· 4 x2θ2 -α·γ· 2 θ2 +1 2-α ·w+ r2 ρhS2L pz= r SL 2· 2w t2 （3）

由于微管周?chē)橘|(zhì)的復(fù)雜性及沒(méi)有相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)其力的大小研究，文中運(yùn)用Kelvin模型把微管與周?chē)硰椥越橘|(zhì)相連接，運(yùn)用此模型可以用位移表示px，pθ，pz，表示形式：px=-k0u-η0 u t ，pθ=-k1v-η1 v t ，pz=-k2w-η2 w t 。

式中k0，k1，k2，η0，η1，η2為彈簧對(duì)外界作用系數(shù)和阻尼系數(shù)。

二、 在粘彈性介質(zhì)中的軸對(duì)稱(chēng)波

假設(shè)微管軸對(duì)稱(chēng)波的形式解：

u（x，t）=Ueik*x（x-ct），v（x，t）=Veik*x（x-ct），w（x，t）=Weik*x（x-ct） （4）

其中，軸向、環(huán)向和徑向位移U、V和W都是復(fù)系數(shù)，軸向波半波數(shù)為復(fù)數(shù)即k*x=Rekx+iImkx。endprint

將（4）代入（3）整理得

-c2k2 S2L +k2+ r ckη0-rk0 ρhS2L ·U+{γk3-kανx}·W=0

-c2k2 S2L +k2β（1+3γ）+ r（ckη1-rk1） ρhS2L ·V=0

{kανx-γk3}·U+ -c2k2 S2L -γk4-αγ-α+ r（ckη2-rk2） ρhS2L ·W=0 （5）

其中k=ik*xr，K=rk*x，r是微管的平均半徑，kx為微管軸向波的半波數(shù)，由（5）第二式可以直接解出一個(gè)切向波的波速c，第一和第三式改寫(xiě)成矩陣形式：H2×2· UW =0，Det[H2×2]=0，且上式[U W]有非零解，從行列式為零直接能得到另外兩個(gè)方向上波的波速c。

三、 軸對(duì)稱(chēng)波的傳播結(jié)果及分析

根據(jù)少量文獻(xiàn)中的擬合實(shí)驗(yàn)結(jié)果提供的數(shù)據(jù)且假設(shè)微管周?chē)恼硰椥泽w線(xiàn)性各向同性，得到彈性系數(shù)：111.59±49.49kg/m2s2，粘性系數(shù)：55.96±38.02kg/m2s。為了更好的比較，計(jì)算了各向同性微管的波傳播特性，結(jié)合上述材料參數(shù)值和下列數(shù)據(jù)r=12.8nm，E=1GPa，v=0.3，α=1，β=0.35，γ=0.0008計(jì)算各向同性微管的波的傳播特性Ex=1GPa，vx=0.3，α=0.001，β=0.001，計(jì)算正交各向異性微管的波的傳播特性。為了突出黏彈性介質(zhì)的作用和單個(gè)微管的波傳播特性的比較，軸向波數(shù)的實(shí)虛部比取為1來(lái)處理和計(jì)算。波速取了傳播部分，頻散部分沒(méi)有畫(huà)，這部分表示了波的能量耗散。k0=k1=k2=4.32×10-6kg/m2s2～4.32×106kg/m2s2，η0=η1=η2=2.538×10-7kg/m2s～2.538×105kg/m2s為了突出微管周?chē)橘|(zhì)的復(fù)雜多樣性和變化性，通過(guò)大量的數(shù)據(jù)計(jì)算，結(jié)果如圖1和2所示：

圖1 彈性參數(shù)4.32×104kg/m2s2黏性參數(shù) 2.538×104kg/m2s時(shí)各向同性微管軸對(duì)稱(chēng)波的波速

圖2 彈性參數(shù)4.32×104kg/m2s2黏性參數(shù) 2.538×104kg/m2s時(shí)各向異性微管軸對(duì)稱(chēng)波的波速

從圖中可以看出，在粘彈性介質(zhì)中，各向同性或異性圓柱殼模型，徑向波的波速總是和軸對(duì)稱(chēng)振動(dòng)和徑向傳播相一致，當(dāng)K足夠小時(shí)，波速隨著波向量的增大而減小，當(dāng)K足夠大時(shí)，波速隨著波向量的增大而減小，所以徑向波的波速在K的某一特定值時(shí)，能達(dá)到最小。在粘彈性介質(zhì)中，各向同性微管徑向波的波速變小，而且隨著外界彈性和黏性系數(shù)的變大波速變小。對(duì)于在粘彈性介質(zhì)中的另外兩種波，扭轉(zhuǎn)波和縱向波的波速基本上不隨著K的變化而變化，而是一個(gè)定值；在K<1時(shí)，縱向波和扭轉(zhuǎn)波的波速都隨著K的增大而增大，在K較大時(shí)縱向波和扭轉(zhuǎn)波的波速趨向定值。這就是說(shuō)參數(shù)較小時(shí)周?chē)恼硰椥越橘|(zhì)對(duì)各向同性微管的縱向波和扭轉(zhuǎn)波影響非常小，參數(shù)較大時(shí)這兩種波的波速變小。

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作者簡(jiǎn)介：

錢(qián)小三，上?？萍脊芾韺W(xué)校工程系。endprint