如何應(yīng)對(duì)“應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問(wèn)題的能力”

摘要：數(shù)學(xué)作為一門(mén)工具學(xué)科在物理高考中要求很高，關(guān)注一下高考物理考試說(shuō)明即可得出答案來(lái)。要求是：能夠根據(jù)具體問(wèn)題列出物理量之間的關(guān)系式，進(jìn)行推導(dǎo)和求解，并根據(jù)結(jié)果得出物理結(jié)論；必要時(shí)能運(yùn)用幾何圖形、函數(shù)圖像進(jìn)行表達(dá)、分析（選自考試說(shuō)明）。為此我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)與學(xué)習(xí)的過(guò)程中要倍加關(guān)注，以便在高考中能夠得心應(yīng)手地運(yùn)用數(shù)學(xué)解決物理問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：高考；數(shù)學(xué)知識(shí)；物理能力

一、 高考說(shuō)明中最重要的能力要求——應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問(wèn)題的能力

高考物理要求考查的能力主要包括五項(xiàng)，其中第四項(xiàng)要求即是“應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問(wèn)題的能力”，其重要性可見(jiàn)一斑。

眾所周知，數(shù)學(xué)是學(xué)好物理的工具學(xué)科。數(shù)學(xué)的思想、方法和知識(shí)始終聯(lián)系著整個(gè)高中物理的研究和發(fā)展過(guò)程，如物理量的定義、概念和規(guī)律（定律、定理）的準(zhǔn)確表述和表達(dá)，能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言精確、簡(jiǎn)潔明了地來(lái)完成。對(duì)學(xué)生的形象思維及邏輯推理能力的提升提供了不可替代且行之有效的方法，為定量地研究和分析物理問(wèn)題提供了強(qiáng)有力的工具。

二、 高考中常用的數(shù)學(xué)知識(shí)都有哪些

“應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問(wèn)題的能力”這一要求主要表現(xiàn)在如下幾個(gè)方面。

第一，數(shù)學(xué)圖像在物理問(wèn)題中的體現(xiàn)；第二，幾何知識(shí)在物理中的運(yùn)用；第三，極限法；第四，函數(shù)的極值；第五，微元法。另外三角函數(shù)的運(yùn)用、不等式的運(yùn)用、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用等數(shù)學(xué)知識(shí)也經(jīng)常在物理問(wèn)題中涉及。如何能夠靈活運(yùn)用這些數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決物理問(wèn)題呢？筆者在多年的教學(xué)及高考復(fù)習(xí)指導(dǎo)中提煉出自己的幾點(diǎn)感悟，現(xiàn)與同仁們共享。

三、 案例分析與應(yīng)對(duì)建議

（一） 運(yùn)用數(shù)學(xué)圖像解決物理問(wèn)題

案例一：如圖1所示，在坐標(biāo)軸Ox放上一個(gè)點(diǎn)電荷Q，坐標(biāo)軸上A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為2.0m和5.0m。在點(diǎn)電荷Q電場(chǎng)中，A點(diǎn)放置一個(gè)帶正電的試探電荷，B點(diǎn)放置一個(gè)帶負(fù)電的試探電荷，現(xiàn)測(cè)得在A、B兩點(diǎn)的試探電荷受到的電場(chǎng)力方向都跟x軸的正方向相同，電場(chǎng)力的大小跟試探電荷所帶電荷量大小的關(guān)系如圖乙中直線A、B所示，求：

（1）A點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小和方向；

（2）B點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小和方向；

（3）試判斷點(diǎn)電荷Q的電性，并確定點(diǎn)電荷Q的位置坐標(biāo)。

解析：（1）由圖可知，A點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度EA=Fq=40.1N/C=40N/C，方向指向x軸正方向。

（2）同理B點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度EB=Fq=2.5N/C，方向指向x軸負(fù)方向。

（3）由題意可知，點(diǎn)電荷Q應(yīng)位于A、B兩點(diǎn)之間，帶負(fù)電荷。設(shè)點(diǎn)電荷Q的坐標(biāo)為x，由點(diǎn)電荷的電場(chǎng)E=kQr2可知EAEB=（5-x）2（x-2）2=402.5

解得：x=2.6。（另解x=1舍去）

點(diǎn)評(píng)：可以說(shuō)圖像問(wèn)題滲透到高中物理的方方面面，特別是在探究性的實(shí)驗(yàn)中更是如此。同學(xué)們?cè)谟龅綀D像問(wèn)題時(shí)應(yīng)從哪幾個(gè)方面來(lái)有序地思考呢？筆者認(rèn)為應(yīng)從以下五個(gè)方面來(lái)關(guān)注：第一要清楚坐標(biāo)軸代表的物理量；第二關(guān)注圖線是直線（或折線）還是曲線；第三關(guān)注圖線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的意義；第四關(guān)注圖線的斜率意義；第五關(guān)注圖線與坐標(biāo)軸所圍成的面積的意義。本題圖乙是Fq圖像，圖線形狀為直線，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，故為正比例函數(shù)圖像。其斜率代表靜電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度這一物理量。

（二） 運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法解決物理問(wèn)題

案例二：如圖2所示，質(zhì)量為m的機(jī)車(chē)頭拖著質(zhì)量均為m的n節(jié)車(chē)廂在平直軌道上以速度v勻速行駛，設(shè)機(jī)車(chē)頭和各節(jié)車(chē)廂受到的阻力均為f，行駛中后面有一節(jié)車(chē)廂脫落，待脫落車(chē)廂停止運(yùn)動(dòng)時(shí)后面又有一節(jié)車(chē)廂脫落，各節(jié)車(chē)廂按此方式依次脫落，整個(gè)過(guò)程中機(jī)車(chē)頭的牽引力保持不變，問(wèn)：

（1）最后面一節(jié)車(chē)廂脫落后，機(jī)車(chē)頭和剩下的車(chē)廂的加速度是多大？

（2）最后面一節(jié)車(chē)廂脫落后，當(dāng)它停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，機(jī)車(chē)頭和剩下的車(chē)廂的速度是多大？

（3）全部車(chē)廂脫落并停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，機(jī)車(chē)頭的速度是多大？

解析：（1）由牛頓第二定律可得：

F-nf=nma，a=F-nfnm=fnm

（2）由速度公式可得：

v1=v+a1t1=v+fnm×mvf=1+nnv

（3）當(dāng)?shù)诙?jié)車(chē)廂脫離時(shí)：

v2=v1+a2t2=v1+2f（n-1）m×mv1m=（1+n）n-1v1=（1+n）2n·（n-1）v

當(dāng)?shù)谌?jié)車(chē)廂脫離時(shí)：

v3=v2+a3t3=v2+3f（n-2）m×mv2m=（1+n）n-2v2=（1+n）3n·（n-1）·（n-2）v

歸納推理可得：

vn=（1+n）nn·（n-1）·（n-2）…·2·1=（1+n）nn！

點(diǎn)評(píng)：本題除了考查牛頓第二定律外，還運(yùn)用了數(shù)學(xué)歸納法尋找通項(xiàng)公式，即第一節(jié)車(chē)廂脫離后的速度、第二節(jié)車(chē)廂脫離后的速度、第三節(jié)車(chē)廂脫離后的速度。在解決這類(lèi)物理過(guò)程比較復(fù)雜的具體問(wèn)題時(shí)，常從前幾次出發(fā)，類(lèi)推出第n次的情況，然后用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。此類(lèi)題要求注意按照數(shù)學(xué)要求在書(shū)寫(xiě)上的規(guī)范。

（三） 運(yùn)用微元法解決物理問(wèn)題

案例三：在人民教育出版社出版的《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)——物理1》中，第二章第三節(jié)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移與時(shí)間的關(guān)系內(nèi)容，將微元法的基本思想首次加以體現(xiàn)和運(yùn)用，該教材在第38頁(yè)用4幅圖（如圖3所示）較準(zhǔn)確和完整地介紹了微元法的基本思想。如圖甲為勻變速直線運(yùn)動(dòng)的速度圖像，因?yàn)橥瑢W(xué)們都非常熟悉運(yùn)用勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度圖像來(lái)求位移了——即利用矩形的面積求。圖乙將圖甲在t時(shí)間內(nèi)的圖像分成5等份，每?jī)蓚€(gè)位置之間的位移就近似等于以15t為寬、以速度為高的細(xì)高矩形面積，而5個(gè)矩形面積之和就可以粗略地表示整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程的位移了。圖丙在圖乙的基礎(chǔ)上將各位置的時(shí)間間隔變得更小些，則這些矩形面積之和就能夠比較準(zhǔn)確地表示整個(gè)運(yùn)動(dòng)的位移了。如果時(shí)間進(jìn)行無(wú)限細(xì)分，則小矩形的面積就等于BC斜線下的直角梯形的面積——即整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程的位移了。

微元法說(shuō)白了就是將物理量或物理過(guò)程首先進(jìn)行無(wú)限細(xì)分，然后再進(jìn)行求和，與數(shù)學(xué)的微分、積分一樣的。眾所周知牛頓是偉大的物理學(xué)家，是經(jīng)典物理的奠基人之一。然而當(dāng)年牛頓在研究物理學(xué)時(shí)，由于數(shù)學(xué)計(jì)算工具的局限性轉(zhuǎn)而去研究數(shù)學(xué)，經(jīng)過(guò)努力一舉創(chuàng)立了微積分，使得當(dāng)時(shí)英國(guó)的數(shù)學(xué)水平領(lǐng)先于其他國(guó)家和地區(qū)很多。管中窺豹，略見(jiàn)一斑。由此可以看出數(shù)學(xué)與物理是密不可分的，對(duì)為什么在物理高考能力要求中應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問(wèn)題的能力作為重頭戲也就不難理解了。

參考文獻(xiàn)：

[1]陳鑒深.數(shù)學(xué)方法在物理問(wèn)題中的應(yīng)用[EB/OL].www.jxteacher.com

[2]普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)——物理1[M].北京：人民教育出版社，2004.

作者簡(jiǎn)介：

臧立志，江蘇省蘇州市，蘇州大學(xué)附屬中學(xué)。endprint