轉(zhuǎn)化思維方式巧求陰影面積

摘 要：求幾何圖形的陰影部分面積是中考中比較常見(jiàn)的題型，本文通過(guò)舉例闡述了幾種比較新穎的求陰影圖形面積的方法，通過(guò)對(duì)復(fù)雜圖形進(jìn)行簡(jiǎn)單轉(zhuǎn)化，使得復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，學(xué)生在面對(duì)此類(lèi)問(wèn)題時(shí)可以從容面對(duì)，問(wèn)題自然迎刃而解。

關(guān)鍵詞：陰影面積；割補(bǔ)法；和差法

一、 割補(bǔ)法求陰影圖形面積

割補(bǔ)法是計(jì)算陰影圖形面積的重要方法，通過(guò)割補(bǔ)法求陰影圖形面積在中考中出現(xiàn)的頻率很高。割補(bǔ)法是將原本不規(guī)則的圖形通過(guò)“割”或“補(bǔ)”轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)的圖形，通過(guò)面積公式求解轉(zhuǎn)化之后的圖形，從而得到陰影部分的面積。

例1 如圖所示是一個(gè)玩具的橫截面圖，玩具截面的邊長(zhǎng)如圖所示，請(qǐng)求出玩具的橫截面積（即陰影部分的面積）。

分析：本題中陰影部分的面積不是規(guī)則圖形，不能通過(guò)面積公式得出圖形的面積，所以通過(guò)常規(guī)方法無(wú)法直接求解。可以將圖形進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將圖形“補(bǔ)”為常見(jiàn)的圖形，然后再減去多余的面積，即是所求的陰影部分面積。

解：如圖所示，添加輔助線(xiàn)，構(gòu)造成一個(gè)完整的矩形。已知矩形的長(zhǎng)和寬，可以求得矩形的面積S=15×10=150（平方厘米），空白部分由一個(gè)正方形和兩個(gè)全等的等腰直角三角形構(gòu)成，那么空白部分的面積S1=5×5+5×5×12×2=50（平方厘米），因此陰影部分的面積S2=S-S1=150-50=100（平方厘米），所以陰影部分的面積為100平方厘米。

評(píng)注：本題通過(guò)將不規(guī)則圖形進(jìn)行添補(bǔ)，轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形，用到了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題的解決，應(yīng)該勇于打破常規(guī)思路，通過(guò)割補(bǔ)法將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化。這類(lèi)問(wèn)題的解決有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，在平時(shí)的學(xué)習(xí)中應(yīng)該多加練習(xí)。

二、 和差法求陰影圖形面積

和差法在中學(xué)數(shù)學(xué)求面積的過(guò)程中是非常普遍的，在解題過(guò)程中，我們可以將圖形從不同角度拆分成幾個(gè)已知圖形，然后通過(guò)將幾個(gè)已知圖形進(jìn)行加與減，轉(zhuǎn)換之后即可得到未知的不規(guī)則圖形面積。

例2 如圖所示，以1為半徑畫(huà)扇形AOB，以AB中點(diǎn)為原點(diǎn)、AB為直徑得如圖所示的半圓，那么圖中陰影部分的面積為（ ）

分析：由圖可知，此題陰影部分是一個(gè)不規(guī)則圖形，如果我們用常規(guī)解法并不能直接求出，因此我們需要將圖像轉(zhuǎn)化為已知圖形進(jìn)行求解。我們可以通過(guò)已知公式得出扇形AOB的面積和半圓面積，也可以求出等腰直角三角形AOB的面積，則S半圓+S△AOB-S扇形AOB即可得出陰影部分的面積。

評(píng)注：本題我們無(wú)法用常規(guī)方法求得陰影部分的面積，通過(guò)和差法將已知圖形面積相加求得總面積然后減去已知圖形面積即得到了陰影部分的面積，同學(xué)們?nèi)绻儆龅筋?lèi)似題目可以根據(jù)此方法進(jìn)行求解，就可以很容易的得到未知部分面積。

三、 巧用“特殊關(guān)系”圖形求面積

“特殊關(guān)系”解題法是一種比較靈活的思維方法，此類(lèi)方法要求學(xué)生學(xué)會(huì)變通，通過(guò)將復(fù)雜圖形進(jìn)行平移或者折疊轉(zhuǎn)化為已知圖形，從而求得問(wèn)題的答案。此方法要求學(xué)生充分發(fā)揮自己的想象力，從而達(dá)到復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化的效果。

例3 如圖所示，半圓A與半圓B均與y軸相切且有一個(gè)共同的切點(diǎn)O，兩半圓的直徑CD與EF且均和x軸垂直，兩條拋物線(xiàn)均以O(shè)為頂點(diǎn)且分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)C和點(diǎn)E、點(diǎn)D和點(diǎn)F，試著求出圖中陰影部分的面積。

分析：本題看到第一眼時(shí)會(huì)感到比較混亂，圖形面積毫無(wú)規(guī)則，無(wú)法用已知圖形面積進(jìn)行求解，仔細(xì)觀察后會(huì)發(fā)現(xiàn)，右面陰影部分的圖形和左邊空白部分圖形是相互重合的，且可以和左邊陰影部分組合成一個(gè)半圓。

解：由題意可知，將右面的半圓沿著縱坐標(biāo)折疊到左邊后，題目中的陰影部分的總面積正好為一個(gè)半圓的面積。因?yàn)樽?、右兩個(gè)半圓的半徑均為1，所以，S陰影=12π。

評(píng)注：學(xué)生在第一眼看到這類(lèi)題目時(shí)可能會(huì)感到眼花繚亂，感覺(jué)無(wú)從下手，但是通過(guò)同學(xué)們靜下心來(lái)細(xì)細(xì)分析各部分圖形之間的關(guān)聯(lián)以后就可以有比較清晰的解題思路。因此，以后遇到類(lèi)似的貌似很麻煩的題目時(shí)，靜下心來(lái)細(xì)細(xì)分析以后就可以找到正確的解題方法。

綜上所述，割補(bǔ)法、和差法、“特殊關(guān)系”法可以將看似復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，從而使得復(fù)雜問(wèn)題迎刃而解，學(xué)生對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題應(yīng)多加練習(xí)，從而提高自己轉(zhuǎn)化思維能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉玉琪.陰影面積的幾種求解方法[J].甘肅高師學(xué)報(bào)，2006（02）.

[2]陳怡.探析求陰影面積的方法[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)，2009（24）.

作者簡(jiǎn)介：黃紹杰，云南省文山州硯山縣民族中學(xué)。endprint