初中平面幾何習題課教學的基本圖形建模研究

肖紅

摘要：《義務教育數(shù)學課程標準（2001年版）》要求學生能從較復雜的圖形中分解出

基本圖形，通過比較、綜合、歸納、模擬，運用典型的數(shù)學思維方法，經(jīng)歷典型的數(shù)學解決問題的過程，構(gòu)建基本圖形的數(shù)學模型，從感知不斷發(fā)展上升為一種可以把握的能力?；诖?，在初中數(shù)學教學中如何通過練習和圖形建模，培育學生的觀察能力、分析能力、動手能力乃至創(chuàng)新思維，是值得關注的重要課題。本研究試圖通過圖形建模教學和訓練，回應上述問題，并從中找到解決問題的突破口。筆者通過對課本例題和習題深入挖掘，通過一題多變、一題多解、多題一解，探求其中的聯(lián)系或規(guī)律，培養(yǎng)學生舉一反三、觸類旁通、運用所學知識解決數(shù)學問題的能力。

關鍵詞：幾何習題課；圖形建模；三角形；建模構(gòu)建

一、 問題的提出

《義務教育數(shù)學課程標準（2001年版）》中把“空間觀念”作為義務教育階段培養(yǎng)學生初步的創(chuàng)新精神和實踐能力的一個重要學習內(nèi)容。能從較復雜的圖形中分解出基本圖形，通過比較、綜合、歸納、模擬，運用典型的數(shù)學思維方法，經(jīng)歷典型的數(shù)學解決問題的過程，構(gòu)建基本圖形的數(shù)學模型，從感知不斷發(fā)展上升為一種可以把握的能力。初中學生學習幾何都有這樣的感受：幾何題浩如煙海且千變?nèi)f化，有些學生概念、公理、定理背得爛熟，但一解題往往不知從何下手；有些學生聽老師講題明明白白，可自己動手解題卻又無計可施；有些學生題做了不少，但一見難題又一籌莫展，總之他們都有這樣的感慨：怎樣才能學好幾何呢？有什么好的方法嗎？新課教學受到每一位老師的重視，而且有很多的教學模式可以借鑒。對于習題課教學需要老師自己去構(gòu)思去收集，每個老師有每個老師的思維和方法，沒有什么固定的教學模式，可謂是百花齊放各顯神通。習題課教學不僅僅是根據(jù)新課知識解題做題，更重要的是解決問題，體驗數(shù)學思想和方法，培養(yǎng)分析問題和解決問題的能力。在幾何習題課教學中始終貫穿基本圖形建模有利于學生掌握所學知識點以及培養(yǎng)學生的邏輯思維和創(chuàng)造思維，熟練掌握基本圖形模型才能更好地從復雜圖形中分離出基本圖形或者通過適當?shù)妮o助線構(gòu)建基本圖形從而打開突破口，才不會在遇到復雜圖形時一籌莫展。如何進行習題課教學？如何在幾何習題課教學中進行基本圖形建模？都是值得我們每一位老師研究的問題。下面我從課本一道題延伸開來探討幾何習題教學中基本圖形建模的一種思路。

二、 基本圖形建模的過程與設計

首先立足課本，從課本習題入手引入問題，再通過對習題的變式、遷移、拓展進行類比探究尋找規(guī)律發(fā)散思維，從而探尋在正方形中構(gòu)建等腰直角三角形、在等邊三角形中構(gòu)建等邊三角形、在一般圖形中構(gòu)建等腰三角形并且同時構(gòu)建全等三角形、相似三角形基本圖形模型的思維和方法。

（一） 引入：從課本習題入手

在八年級下冊課本上有這樣一道題：

如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點?！螦EF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分線CF于點F，求證：AE=EF.

分析：經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的解題思路：取AB的中點M或者在AB上截取BM=BE，連接ME，則△BME是等腰直角三角形，從而得AM=EC和∠AME=∠ECF=135°，易證△AME≌△ECF，所以AE=EF。

設計意圖：回歸教材，熟悉教材，尋求知識的生長點和知識的應用信息。

（二） 變式訓練：一題多變，改變條件改變圖形但思維方式不變

1. 從特殊到一般第一變——將“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC上（除B，C外）的任意一點”，在圖1基礎上，作進一步的研究：

小穎提出：如圖2，如果把“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC上（除B，C外）的任意一點”，其他條件不變，那么結(jié)論“AE=EF”仍然成立，你認為小穎的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由。

分析：類比圖1的證明，只需要得到AM=EC，而要得到AM=EC，可以直接截取AM=EC，再證明△BME是等腰直角三角形，或者在AB上截取BM=BE，連接ME，則△BME是等腰直角三角形，從而證明∠AME=∠ECF=135°；也可以直接作等腰直角△BME，從而得到

∠AME=∠ECF=135°，再證明AM=EC。然后易證△AME≌△ECF，所以AE=EF.

2. 從特殊到一般第二變——將 “點E是邊BC上（除B，C外）的任意一點”改為“點E是BC的延長線上（除C點外）的任意一點”。

在圖2的基礎上，再作進一步的研究：

小華提出：如圖3，點E是BC的延長線上（除C點外）的任意一點，其他條件不變，結(jié)論“AE=EF”仍然成立。你認為小華的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由。

分析：類比圖2的證明，依然是以BE邊構(gòu)造等腰直角三角形或者說是要得到AM=EC，所不同的是證明△AME≌△ECF時用到的是∠AME=∠ECF=45°而不是135°。

設計意圖：通過點的移動進行變式訓練，看似圖形在發(fā)生變化，但基本圖形模型沒變，都是以BE邊構(gòu)造等腰直角三角形，思維和方法也沒變，都是構(gòu)造全等三角形，證明△AME≌△ECF從而讓學生在遇到此問題時能很快找到切入口。

（三） 歸納：歸納知識點和歸納基本圖形模型

由此題歸納相應知識點，讓學生在具體應用中理解和掌握相應知識點和領悟相應知識點的靈活應用，并建立相應基本圖形的模型，以便在復雜圖形中能很快剝離出基本圖形模型。

問題1：正方形邊角有哪些性質(zhì)？

正方形的四條邊都相等，四個角都是直角。

問題2：等腰直角三角形有哪些性質(zhì)？

等腰直角三角形的兩條直角邊相等，兩個銳角都等于45°。

問題3：在正方形內(nèi)如何構(gòu)造等腰直角三角形？endprint

基本圖形模型1：在正方形內(nèi)任意作對角線的平行線與正方形的兩邊相交所構(gòu)成的三角形都是等腰直角三角形；或者在相鄰的兩邊上截取相等的線段所構(gòu)成的三角形是等腰直角三角形。

如圖4，正方形ABCD中，MN∥AC，則△BMN是等腰直角三角形；

或者在AB、BC上分別截取BM=BN，則△BMN是等腰直角三角形。

通過對正方形知識點的歸納掌握作平行線或者截取構(gòu)建等腰直角三角形的基本圖形模型。

（四） 遷移：尋找規(guī)律性——將正方形變?yōu)榈冗吶切?/p>

4. 如圖，已知△ABC為等邊三角形，過點C的直線a∥AB，D為直線BC上一點，E為直線a上一點，且∠ADE=60°。

（1） 若D在BC上（如圖5），求證：CD+CE=CA。

（2） 若D在CB的延長線上（如圖6），CD，CE，CA之間存在怎樣的數(shù)量關系？給出你的結(jié)論并證明。

（3） 若D在BC的延長線上（如圖7），CD，CE，CA之間存在怎樣的數(shù)量關系？給出你的結(jié)論并證明。

分析：此題隨著點D的移動，圖形看似發(fā)生了變化，但基本圖形的模型沒變，都是以BD邊構(gòu)造等邊三角形△BDF，然后構(gòu)造全等三角形，證明△AFD≌△DCF。

說明：此題把正方形變成了等邊三角形，把∠AEF=90°變成了∠ADE=60°，把CF是正方形外角平分線變成了a∥AB，其實也是等邊三角形的外角平分線。此題的證明方法和圖2、圖3的證明類似，完全可以仿照上面的題來做，不同點在于根據(jù)圖形的變換把90°的角換成了60°的角，把135°的角換成了120°的角，把45°的角變成了60°的角，把構(gòu)造等腰直角三角形變成了構(gòu)造等邊三角形。

設計意圖：通過圖形的改變，將知識進行類比和遷移，但構(gòu)建思維和方法沒變，從而類比構(gòu)建新的基本圖形模型，達到對知識的融會貫通。

歸納知識點：

1. 類比正方形，等邊三角形的邊和角有哪些性質(zhì)？

等邊三角形的三邊都相等，三個角都相等，都等于60°。

2. 類比正方形，在等邊三角形內(nèi)如何構(gòu)造等邊三角形？

基本圖形模型2：在等邊三角形內(nèi)任作一條邊的平行線與另外兩邊相交所成的三角形都是等邊三角形。

如圖8，等邊三角形ABC中，MN∥AC，則△BMN是等邊三角形。

或者在AB、BC上分別截取BM=BN，則△BMN是等邊三角形。

通過對等邊三角形知識點的歸納掌握作平行線或者截取構(gòu)建等邊三角形的基本圖形模型。

（五） 變通拓展與發(fā)散思維：將等邊三角形變?yōu)榈妊切?/p>

5. 如圖9，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=2∠BCD=2α，點E在AD上，點F在DC上，且∠BEF=∠A。

（1） ∠BEF= （用含α的代數(shù)式表示）；

（2）當AB=AD時，猜想線段EB、EF的數(shù)量關系，并證明你的猜想；

（3）當AB≠AD時，將“點E在AD上”改為“點E在AD的延長線上，且AE>AB，AB=mDE，AD=nDE”，其他條件不變（如圖10），求EBEF的值（用含m，n的代數(shù)式表示）。

分析：（2）中連接BD，因為AB=AD，所以△ABD是等腰三角形，過點E作EG∥BD交AB于G或者在AB上截取AG=AE，連接EG，以AE為邊構(gòu)造等腰三角形△AGE，然后證明△BGE≌△EDF

（3）中延長AB至G，使AG=AE，連接EG，同樣是以AE為邊構(gòu)造等腰三角形△AGE，然后證明△BGE∽△EDF，從而BEEF=BGDE。

基本圖形模型3：作等腰三角形底邊的平行線和另外兩邊或者兩邊的延長線相交可以得到新的等腰三角形。

設計意圖：通過題組的形式在不同圖形中進行點的移動，構(gòu)建基本圖形模型，讓學生易于接受，并且印象深刻，第一題組都是構(gòu)建等腰直角三角形和全等三角形，第二題組都是構(gòu)建等邊三角形和全等三角形，第三題組都是構(gòu)建等腰三角形和全等三角形或相似三角形，雖然圖形在發(fā)生變化，但構(gòu)建方法卻沒變，都是通過作平行線或者通過截取來構(gòu)造等腰直角三角形或者等邊三角形或者等腰三角形，從而構(gòu)建全等三角形或者相似三角形，通過基本圖形建?？梢宰寣W生很好地掌握所學知識，并且能夠舉一反三，融會貫通，從而達到知識的靈活應用。

三、 總結(jié)反思

通過以上探究基本圖形建模的過程，我個人認為可以從以下幾個方面進行總結(jié)反思：

（一） 要在課本例題、習題上下工夫

如果學生對學習沒有興趣，那么就會視學習為一種苦役，也就不可能心情愉快地進行學習。通過幾何基本圖形的建模，讓學生進行識圖，看到這樣的條件就想到什么樣的基本圖形，從細節(jié)出發(fā)逐步深入，并能對基本圖形的推理做到條理清晰，自然就不會對幾何的學習產(chǎn)生厭倦。通過對例題的剖析，習題的處理找到其規(guī)律，鞏固基本理論，加強基礎知識的教學和基本技能訓練。要對課本例題和習題深入挖掘，通過一題多變、一題多解、多題一解，尋找規(guī)律，發(fā)散思維，培養(yǎng)學生舉一反三、觸類旁通、運用所學知識解決問題的能力。

（二） 要全面深入地了解學生

學生是學習的主體，要深入了解學生，了解學生的學情，有針對性地確定難點，要細心觀察每一個學生的行為習慣和學生的思想表現(xiàn)以及了解學生現(xiàn)有知識的儲備情況，對所學基礎知識的掌握情況，對數(shù)學概念是否真正理解，定理能否證明，對數(shù)學思想、數(shù)學方法的運用水平如何，能否獨立完成作業(yè)，通過學生的各種數(shù)學活動了解學生思維的靈活性和思維的全面性以及思維的創(chuàng)造性。通過平面幾何的學習，建立數(shù)與形的聯(lián)系，構(gòu)建基本圖形的直觀模型，探索解決問題的思路，學生能發(fā)展幾何直觀和空間想象能力，增強運用圖形和空間想象思考問題的意識。endprint

（三） 需要對知識進行歸納與整理

由于學生學習的課程多、時間長，很難將支離破碎的知識連成整體，只見樹木、不見森林，導致運用知識的能力不強，所以，無論哪一種類型的習題課，都要將所學的有關知識進行歸納、整理，進行縱、橫向聯(lián)系，進而優(yōu)化所學的知識，使其系統(tǒng)化、科學化。另外，根據(jù)習題的情況，抓住共性的問題，有針對性地對知識內(nèi)容、解題策略、思想方法進行歸納，把數(shù)學知識與技能以“同化”、“順應”或“平衡”的形式納入認知結(jié)構(gòu)中，從而使學生對所學知識更好地理解、記憶和應用。引導學生從多種角度認識圖形的形狀、大小、變換和位置關系，加強幾何建模以及探究過程，發(fā)展學生的幾何直覺和空間觀念。

（四） 注重培育思維方式和探求規(guī)律

在重視基礎知識和基本技能的基礎上還需要進行一定的綜合訓練，綜合題涉及的知識點多，難度大，所以要思考試題主要考查什么知識點，這些知識點在理解時有哪些注意點，解題的突破口在哪里，哪種方法才是最佳解題途徑，這樣才能培養(yǎng)學生的辨別分析能力。在習題課教學中應注意提煉數(shù)學思想及方法，強化學生對數(shù)學思想、方法的應用，這有利于學生優(yōu)化認知結(jié)構(gòu)，活化所學知識，深化思維層次，從而提高數(shù)學解題能力。幾何，作為邏輯推理的體系，要使學生學會“合乎邏輯地思考”，幾何模型不僅為學生感受、理解抽象的概念提供了有力的支撐，有助于學生獲得相應的知識和技能，而且為學生自主探索圖形的性質(zhì)提供了方便，有助于培養(yǎng)學生的合情推理和演繹推理能力。幾何基本圖形的建模有助于對于幾何綜合題，能從復雜的圖形中很快地分離出基本圖形或者能很快地找到基本圖形的輔助線，從而尋找到思路，找到解決問題的突破口。

四、 結(jié)語

習題課是數(shù)學教學的一種重要課型，是新授課的重要補充。它不僅能有效地增強學生解決問題的能力，培養(yǎng)學生思維能力，特別是創(chuàng)新思維能力，提高數(shù)學教學質(zhì)量，而且可以促進學生良好的數(shù)學觀念的形成。習題課教學可使學生在探究教師精心編制的習題過程中拓寬學習領域，進一步提高分析問題、解決問題的能力。通過本研究不僅可以讓學生掌握基礎知識和基本技能，更重要的一是可以提高學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，通過平面幾何的學習，建立數(shù)與形的聯(lián)系，構(gòu)建基本圖形的直觀模型，探索解決問題的思路，學生能發(fā)展幾何直觀和空間想象能力，增強運用圖形和空間想象思考問題的意識。與數(shù)學的其他分支相比，幾何圖形的直觀形象為學生進行自主探索、創(chuàng)新的活動提供了更有利的條件。當代數(shù)學家M.阿蒂亞先生指出：幾何是數(shù)學中這樣的一個部分，其中視覺思維占主導地位……幾何直覺是增進數(shù)學理解力的很有效的途徑，而且它可以使人增加勇氣，提高修養(yǎng)。二是可以提高學生學習幾何的興趣，如果學生對學習沒有興趣，那么就會視學習為一種苦役，也就不可能心情愉快地進行學習。通過幾何基本圖形的建模，讓學生進行識圖，看到這樣的條件就想到什么樣的基本圖形，從細節(jié)出發(fā)逐步深入，并能對基本圖形的推理做到條理清晰，自然就不會對幾何的學習產(chǎn)生厭倦。三是可以發(fā)展學生的空間觀念，《標準》中提倡以“問題情境—建立模型—解釋、應用與拓展、反思”的基本模式展現(xiàn)內(nèi)容，讓學生經(jīng)歷“數(shù)學化”和“再創(chuàng)造”的過程，引導學生從多種角度認識圖形的形狀、大小、變換和位置關系，加強幾何建模以及探究過程，發(fā)展學生的幾何直覺和空間觀念。四是可以發(fā)展學生的思維能力，幾何，作為邏輯推理的體系，要使學生學會“合乎邏輯的思考”，幾何模型不僅為學生感受、理解抽象的概念提供了有力的支撐，有助于學生獲得相應的知識和技能，而且為學生自主探索圖形的性質(zhì)提供了方便，有助于培養(yǎng)學生的合情推理和演繹推理能力。幾何基本圖形的建模有助于對于幾何綜合題，能從復雜的圖形中很快地分離出基本圖形或者能很快地找到基本圖形的輔助線，從而尋找到思路，找到解決問題的突破口。本研究只是初中平面幾何基本圖形建模的冰山一角，還有眾多基本圖形模型有待探究和挖掘，有愿將在后面做進一步的研究。endprint