高中數(shù)學(xué)空間向量在立體幾何中的應(yīng)用

馬建華??

摘要：高中數(shù)學(xué)新教材中引進(jìn)空間向量的概念和知識，也為學(xué)生提供了更多解答立體幾何問題的方法，本文結(jié)合案例探究了空間向量在立體幾何中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；空間向量；立體幾何；應(yīng)用

高中數(shù)學(xué)立體幾何問題，在高考中占據(jù)著很重要的位置，雖然問題大都是中低檔題，但是教師在教授的過程中也要進(jìn)行重視。而向量在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用很廣泛，尤其是在解決空間或者是平面中的幾何問題時(shí)，使用向量能夠降低題目的難度，提升解題的準(zhǔn)確率。高中數(shù)學(xué)新教材中引進(jìn)空間向量的概念和知識，也為學(xué)生提供了更多解答立體幾何問題的方法，這也顯示了空間向量在立體幾何中具有較重要的位置，是我們解決數(shù)學(xué)問題的方法，學(xué)生應(yīng)該掌握。

一、 利用空間向量優(yōu)化幾何題目

空間向量計(jì)算高中數(shù)學(xué)幾何問題之所以簡單，是因?yàn)槔盟?jì)算是通過坐標(biāo)來計(jì)算，能夠?qū)⒘Ⅲw的部分轉(zhuǎn)化成數(shù)字，方便計(jì)算，而學(xué)生也能容易理解。向量的知識在高中階段有著十分重要的價(jià)值和地位，利用它解決立體幾何問題時(shí)具有的優(yōu)點(diǎn)是傳統(tǒng)幾何知識無法替代的。我們在解決立體幾何問題中往往會(huì)遇到具有較大難度的題，如果進(jìn)行空間想象難以解決，并且直接通過空間想象去計(jì)算邊的長度，或者是角度是很麻煩的，而如果我們利用向量相關(guān)知識進(jìn)行簡單的公式變形，就可以輕松地解決，我們利用簡單的計(jì)算便能輕易得出邊長和角度。利用向量解答問題，不僅降低了題的復(fù)雜程度，還為學(xué)生帶來了新的解題思維方式，激勵(lì)他們創(chuàng)造出更多的解題方法，為高中學(xué)生對立體幾何的學(xué)習(xí)注入了新的活力。

例如：如圖所示，已知空間四邊形的各邊和對角線的長都等于a，點(diǎn)M，N，別是AB，CD的中點(diǎn)，1. 求證：MN垂直于AB，MN垂直于CD，求MN的長。2. 求異面直線AN與CM夾角的余弦值。在這道題目中，如果我們按照以往的方法，利用傳統(tǒng)的幾何方法去解決問題，第一問證明兩條直線垂直，我們可以通過簡單的定理來證明。而到我們求MN的長度的時(shí)候，若利用原始的方法，我們是需要進(jìn)行做輔助線，通過幾何關(guān)系來求長度，而且在求取的過程中，計(jì)算的步驟會(huì)很繁瑣，而到下一問求異面直線夾角的余弦值，我們需要利用余弦值的公式，再將邊的長度帶進(jìn)去，去求取，所以用傳統(tǒng)方法，我們需要求出三條邊的值，這樣會(huì)給我們帶來繁瑣的計(jì)算。而利用向量計(jì)算便可以省去這些冗雜的計(jì)算。如最后我們可以求出余弦值為23。

二、 利用空間向量優(yōu)化解題策略

學(xué)習(xí)向量知識的重要目標(biāo)是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用向量這一代數(shù)方法去處理立體幾何中的問題的能力，從而讓學(xué)生把立體幾何中復(fù)雜的邏輯問題轉(zhuǎn)化成向量的代數(shù)運(yùn)算，便捷運(yùn)算的同時(shí)也可以提升學(xué)生的邏輯能力和思維能力。但是當(dāng)學(xué)生去解決問題時(shí)也要講究一定的策略，首先我們要分析圖形采用恰當(dāng)?shù)姆绞饺ソ⒆鴺?biāo)系，從而能夠以最簡單的方式把點(diǎn)線面等問題中所涉及的元素，利用空間坐標(biāo)去表示。其次，我們要利用相關(guān)的公式將坐標(biāo)代入公式去求取問題。最后我們只需要去進(jìn)行簡單的運(yùn)算，這樣也就解決了空間幾何的復(fù)雜問題。

求幾何問題無非就求垂直和夾角，如求證：MN垂直于AB，MN垂直于CD，求異面直線AN與CM夾角的余弦值。我們利用向量去計(jì)算，建立空間坐標(biāo)系，為每個(gè)點(diǎn)賦予空間坐標(biāo)值，我們可以利用垂直的相關(guān)性質(zhì)去證明，因?yàn)閮蓷l邊垂直，它們的坐標(biāo)相乘是等于零，之后通過數(shù)字計(jì)算很容易求出來它們積是等于零，這比傳統(tǒng)方法要簡單的很多。而到了接下來的求邊和求角的余弦值，利用空間向量去求取得優(yōu)勢就更明顯了，我們已經(jīng)為每個(gè)點(diǎn)，每條向量建立了屬于它們的坐標(biāo)，而求余弦值，求長度都可以利用坐標(biāo)繼續(xù)解決，這樣一來，又省時(shí)又省力，而且最終的結(jié)果準(zhǔn)確率會(huì)很高。

三、 利用空間向量優(yōu)化實(shí)際運(yùn)用

應(yīng)用向量去解決幾何問題在高中數(shù)學(xué)中有著很大的應(yīng)用，我們可以利用他解決空間中所成角的問題，其中包括直線與直線所成角，直線與平面所成角，平面與平面所成角，而且在求取每種角都有其對應(yīng)的公式，我們可以將坐標(biāo)代入去求取。如，直線與直線所成角可以通過邊長去求取它的三角函數(shù)值，直線與平面所成角也可以利用邊長去解決，而平面與平面所成角，可以利用法向量去求取三角函數(shù)值。

除了利用向量去解決空間中的角度問題，我們還可以利用相量去解決空間中的距離問題，距離問題，包括空間中兩條異面直線的距離以及點(diǎn)到平面的距離。對于兩條異面直線的距離，我們分別可以通過將點(diǎn)的坐標(biāo)代入公式，通過公式去求距離。而點(diǎn)到平面的距離也可以這樣做。再深入一點(diǎn)，求直線到平面的距離，以及兩平行平面的距離，我們可以將這些問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，再代入公式去解決。

社會(huì)在進(jìn)步，時(shí)代在發(fā)展，創(chuàng)新并改善高中數(shù)學(xué)教學(xué)方法勢在必行。課堂效率的提高不僅是對學(xué)生的考驗(yàn)，更是對教師的考驗(yàn)。為了完成素質(zhì)教育的目標(biāo)，我們必須提高課堂的教學(xué)效率，建立和諧平等的師生關(guān)系，以學(xué)生為主體。不過，雖然課堂效率在一步一步提高，但高中數(shù)學(xué)高效課堂仍需要教師在實(shí)際的教學(xué)中不斷改革和探索，不斷提高自身的教學(xué)水平和素質(zhì)，不斷更新教學(xué)理念，不斷優(yōu)化教學(xué)方法，而利用空間向量解答問題便是一種高效的解題方法。

作者簡介：馬建華，甘肅省甘南藏族自治州夏河縣夏河中學(xué)。endprint