關(guān)于超幾何分布的探究

摘要：概率是描述隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量。把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，用隨機(jī)變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，就可以利用數(shù)學(xué)工具來(lái)研究所感興趣的隨機(jī)現(xiàn)象。超幾何分布是離散型隨機(jī)變量的分布列中具有實(shí)際意義的一種。高考中對(duì)超幾何分布的要求是：理解超幾何分布及其導(dǎo)出過(guò)程，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：概率；隨機(jī)變量；超幾何分布

一、 超幾何分布的數(shù)學(xué)期望和方差

定義一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則

P（X=k）=CkM·Cn-kN-MCnN，k=0，1，2，…，m。

X01……m

PC0M·Cn-0N-MCnNC1M·Cn-1N-MCnN……CmM·Cn-mN-MCnN

其中，m=min{M，N}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，稱分布列為超幾何分布列，如果隨機(jī)變量的分布列為超幾何分布列，則稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布，記作：X～H（n，M，N）。

從定義中可以看出，若隨機(jī)變量X服從超幾何分布，則滿足如下條件：①該試驗(yàn)是不放回地抽取n次；②隨機(jī)變量X表示抽取到的次品件數(shù)（或類似事件），反之亦然。在解決超幾何分布的問(wèn)題時(shí)，應(yīng)該先確定參數(shù)n，M，N的值；其次，根據(jù)超幾何分布的概率計(jì)算公式計(jì)算出隨機(jī)變量取每一個(gè)值時(shí)的概率；最后，用表格的形式列出分布列，進(jìn)而可以計(jì)算數(shù)學(xué)期望和方差及一些概率問(wèn)題。

若隨機(jī)變量X～H（n，M，N），隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望和方差是否如二項(xiàng)分布那樣，也與參數(shù)n，M，N有關(guān)呢？我們一探究竟吧。

由超幾何分布的定義可知：P（X=k）=CkM·Cn-kN-MCnN，k=0，1，2，…，m，其中m=min{M，N}。因此，E（X）=∑mk=0k·P（X=k）=∑mk=0k·CkM·Cn-kN-MCnN=∑mk=1M·Ck-1M-1·Cn-kN-MCnN=MCnN·∑mk=1Ck-1M-1·Cn-kN-M，因?yàn)椋?+x）N-1=（1+x）M-1·（1+x）N-M，利用二項(xiàng)式定理比較兩邊xn-1的系數(shù)，（1+x）M-1=C0M-1+C1M-1·x+C2M-1·x2+…+CM-1M-1·xM-1，（1+x）N-M=C0N-M+C1N-M·x+C2N-M·x2+…+CN-MN-M·xN-M，所以，∑mk=1Ck-1M-1·Cn-kN-M=Cn-1N-1，故E（X）=M·Cn-1N-1CnN=n·MN。又因?yàn)镈（X）=∑mi=0[xi-E（X）]2·pi=∑mi=0x2i·pi-E（X）2，所以，D（X）=∑mk=0k2·CM·Cn-kN-MCnN-nMN2=MCnN·∑mk=0k·Cn-kM-1·Cn-kN-M-nMN2=MCnN·∑mk=0（k-1）·Cn-kM-1·Cn-kN-M+MCnN·∑mk=0Cn-kM-1·Cn-kN-M-nMN2=M（M-1）CnN·∑mk=2Ck-2M-2·Cn-kN-M+MCnN·∑mk=1Ck-1M-1·Cn-kN-M-nMN2。

利用組合數(shù)公式∑mk=1Ck-1M-1·Cn-kN-M=Cn-1N-1得，∑mk=2Ck-2M-2·Cn-kN-M=Cn-2N-2。

從而，

D（X）=M（M-1）CnN·Cn-2N-2+MCnN·Cn-1N-1-nMN2

=MCnN·[（M-1）·Cn-2N-2+Cn-1N-1]-nMN2

=M·n·（N2-M·N-n·N+M·n）N2·（N-1）

=n·M·（N-M）·（N-n）N2·（N-1）。

即，D（X）=n·M·（N-M）·（N-n）N2·（N-1）。

二、 總結(jié)

通過(guò)公式的推導(dǎo)，我們發(fā)現(xiàn)，超幾何分布的數(shù)學(xué)期望和方差推導(dǎo)過(guò)程比較復(fù)雜，但是從這個(gè)過(guò)程中可以體會(huì)出推理思路，有利于我們更好地理解超幾何分布，應(yīng)用公式解決問(wèn)題。

作者簡(jiǎn)介：

鮑毅，寧夏回族自治區(qū)銀川市，寧夏六盤山高級(jí)中學(xué)。endprint