命題須嚴(yán)謹(jǐn)解題應(yīng)反思

楊麗娟??

摘要：各類試題的命制應(yīng)遵守科學(xué)性原則，其表述必須科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)，杜絕科學(xué)性、技術(shù)性錯誤，但筆者發(fā)現(xiàn)近年各種教學(xué)資料及中高考試題中，總會出現(xiàn)一些令人失望的試題，就此擇其一二作一點評。

關(guān)鍵詞：命題；嚴(yán)謹(jǐn)；解題；反思

引題：如圖，△ABC的周長為24，面積為48，求它的內(nèi)切圓的半徑（蘇科版教材九年級上冊第74頁第11題）。

命制此題的原意是考查三角形面積公式S=pr，其中p為三角形半周長，r為內(nèi)切圓半徑，因此，容易求得內(nèi)切圓半徑r=4。但仔細(xì)一想，此時，內(nèi)切圓面積為16π，竟然比三角形面積大！

進(jìn)而思考，若記△ABC的三邊長為a，b，c，p=12（a+b+c），則由海倫公式S=p（p-a）（p-b）（p-c），及（p-a）（p-b）（p-c）≤（p3）3可知，當(dāng)a=b=c時，Smax=39p2，所以若三角形的周長一定，則當(dāng)三角形為等邊三角形時，面積有最大值39p2，從而內(nèi)切圓半徑r≤39p，由此可知原題兩個數(shù)據(jù)相互矛盾！

上述習(xí)題，筆者不妨稱之為“問題”題，聯(lián)想到近年各地中考試題中，也有類似試題，筆者選取數(shù)題，拋磚引玉。

一、 命題不知“錯”滋味，為求“銜接”強(qiáng)編題

例1（2014·江蘇南通）已知實數(shù)m，n滿足m-n2=1，則代數(shù)式m2+2n2+4m-1的最小值等于。

點評與解析：當(dāng)年評分的標(biāo)準(zhǔn)答案是-12。其實不然，將n2=m-1，代入原式=m2+6m-3=（m+3）2-12，再由n2=m-1≥0得m≥1，故取m=1得原代數(shù)式的最小值為4，即答案為4，因此筆者認(rèn)為此知識點屬于高中數(shù)學(xué)中有關(guān)二次函數(shù)圖像在某個區(qū)間內(nèi)的最值問題。

二、 數(shù)形結(jié)合考思想，畫虎不成反類犬

例2（2015·四川資陽）如圖，AD、BC是⊙O的兩條互相垂直的直徑，點P從點O出發(fā)，沿O→C→D→O的路線勻速運(yùn)動，設(shè)∠APB=y（單位：度），那么y與點P運(yùn)動的時間x（單位：秒）的關(guān)系圖是（）

點評與解析：標(biāo)準(zhǔn)答案是選B。但筆者仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)，選項中的四個圖像似乎均為直線形，即為一次函數(shù)的圖像，而當(dāng)點P沿O→C運(yùn)動及沿D→O運(yùn)動時，由tan∠APB=AOOP，其中AO是常量，OP是變量，故∠APB的變化函數(shù)是一個反三角函數(shù)的圖像，并非如原題圖像那么簡單，所以本題是道錯題。

三、 特殊情形猜一般，思維誤導(dǎo)負(fù)遷移

例3（2015·江蘇揚(yáng)州）如圖1，直線l⊥線段AB于點B，點C在AB上，且AC∶CB=2∶1，點M是直線l上的動點，作點B關(guān)于直線CM的對稱點B′，直線AB′與直線CM相交于點P，連接PB。

（1） 如圖2，若點P與點M重合，則∠PAB=°，線段PA與PB的比值為；

（2） 如圖3，若點P與點M不重合，設(shè)過P、B、C三點的圓與直線AP相交于D，連接CD。求證：①CD=CB′；②PA=2PB；

（3） 如圖4，AC=2，BC=1，則滿足條件PA=2PB的點都在一個確定的圓上，在以下兩小題中選做一題：

①如果你能發(fā)現(xiàn)這個確定圓的圓心和半徑，那么不必寫出發(fā)現(xiàn)過程，只要證明這個圓上的任意一點Q，都滿足QA=2QB；

②如果你不能發(fā)現(xiàn)這個確定圓的圓心和半徑，那么請取幾個特殊位置的P點，如點P在直線AB上、點P與點M重合等進(jìn)行探究，求這個圓的半徑。

圖1圖2

圖3圖4

點評與解析：第（1）題答案是∠PAB=30°，PA∶PB=2；第（2）題①由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠CDB′=∠CBP，所以∠CDB′=∠CB′D，根據(jù)等腰三角形的判定得到CD=CB′；②作B′E∥PC交AC于E，連接BB′交PC于F，利用對稱性質(zhì)得FB=FB′，PB=PB′，而CF∥B′E，則CF為△BEB′的中位線，所以BC=CE，加上AC=2BC，所以AE=EC，然后利用B′E∥PC，則AB′=PB′，所以PA=2PB′=2PB；第（3）題屬于難題，通過分析可知，此圓圓心O在AB延長線上，且OB=1，半徑為2，當(dāng)點Q在⊙O上時，連OQ，則由OQOA=OBOQ=12，又∠QOB=∠AOQ，可證△AQO∽△QBO，從而QA=2QB。

命題人的意圖可能是考查從特殊到一般以及歸納猜想的數(shù)學(xué)思想，想讓考生從第（1）（2）問猜想得第（3）問的答案，從思維的遷移性分析，筆者以為，大多考生會猜想此圓必過B、C兩點，其實不然，這是一種典型的“負(fù)遷移”！本題是從著名的數(shù)學(xué)問題“阿波羅尼斯圓”改編而來，正確的思路是：此圓必過點C，再延長AB至D，使DB=AB=3，則此點也符合條件，進(jìn)而猜想“這個確定圓的圓心和半徑”。

綜上所述，在平時的教學(xué)乃至中高考中難免有錯題出現(xiàn)，有的錯題具有較強(qiáng)的迷惑性，因而我們在運(yùn)用概念、定理、法則進(jìn)行判斷、論證或運(yùn)算時，一旦出現(xiàn)錯誤就較難覺察，這樣就容易給學(xué)生產(chǎn)生誤導(dǎo)，影響了學(xué)生思維的形成和發(fā)展。所以我們要研究錯誤的特征，以防患于未然。

作者簡介：

楊麗娟，江蘇省啟東市呂四中學(xué)。endprint