從“經(jīng)歷”走向“經(jīng)驗(yàn)”以“經(jīng)驗(yàn)”促進(jìn)“生長(zhǎng)”

摘要：“雞兔同籠”是一類問(wèn)題的總稱，用哪種方法教，哪種方法更易讓學(xué)生接受，這要根據(jù)學(xué)生的年齡特征來(lái)判斷?！半u兔同籠”的教學(xué)要重視向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想方法，關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程，它不能僅僅停留在知識(shí)的層面，它在培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維以及化歸、枚舉、數(shù)形結(jié)合、假設(shè)、建模等數(shù)學(xué)思想方法，還有關(guān)注孩子思維成長(zhǎng)方面具有較高的研究?jī)r(jià)值。而這些數(shù)學(xué)思想方法對(duì)不同年級(jí)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，會(huì)產(chǎn)生不一樣的選擇傾向。教學(xué)中要讓學(xué)生在充分感知的基礎(chǔ)上，通過(guò)觀察、思考、發(fā)現(xiàn)、比較，應(yīng)用畫(huà)圖、列表、假設(shè)、方程等方法來(lái)解決，揭示感性經(jīng)驗(yàn)背后理性抽象的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生獲取具有概括性、普遍性的數(shù)學(xué)知識(shí)，實(shí)現(xiàn)從感性到理性的轉(zhuǎn)變。

關(guān)鍵詞：經(jīng)歷；經(jīng)驗(yàn)；生長(zhǎng)；不同學(xué)段

一、 理論篇

“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雉兔各幾何？”這是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中的一道趣題?！半u兔同籠”教學(xué)要讓學(xué)生經(jīng)歷自主探究問(wèn)題解決的過(guò)程，培養(yǎng)邏輯推理能力，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)和實(shí)踐能力。就解題的角度來(lái)說(shuō)，有一系列的方法：畫(huà)圖法、列表法、假設(shè)法、方程法、二元一次方程組等。這個(gè)問(wèn)題的多種解法中，同時(shí)對(duì)應(yīng)著一定的數(shù)學(xué)思想。比如，列表與枚舉，畫(huà)圖與數(shù)形結(jié)合等。學(xué)生在運(yùn)用多種解法解決問(wèn)題的同時(shí)，對(duì)數(shù)學(xué)思想會(huì)有一定的感悟?？梢哉f(shuō)，“雞兔同籠”教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)中可挖掘的資源非常豐富，是學(xué)生積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和滲透數(shù)學(xué)思想方法的典型的課。它的教學(xué)價(jià)值追求不應(yīng)局限于問(wèn)題本身，而在于其學(xué)習(xí)價(jià)值的實(shí)現(xiàn)。

但，僅用一個(gè)課時(shí)教學(xué)，教與學(xué)都容易“囫圇吞棗”。更何況基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)思想方法的形成需要一個(gè)長(zhǎng)期的過(guò)程，教師要提供不斷地組織學(xué)生參與的數(shù)學(xué)探究過(guò)程，只有學(xué)生參與了多樣化的數(shù)學(xué)活動(dòng)，經(jīng)歷多次調(diào)用和加工后才能逐漸達(dá)到理性的感悟。由于各版本教材編排的學(xué)段、價(jià)值取向和教材解讀定位不同，許多教師不知道如何定位雞兔同籠問(wèn)題，如北師大版教材安排在五年級(jí)上冊(cè)，重點(diǎn)在列表法，人教版教材安排在四年級(jí)下冊(cè)，重點(diǎn)是假設(shè)法。那么，是否可將解法的難易度與學(xué)生的可接受水平結(jié)合起來(lái)考慮？就雞兔同籠問(wèn)題在低、中、高年段進(jìn)行連續(xù)課教學(xué)，根據(jù)學(xué)生不同年齡的特點(diǎn)，選擇合適的教學(xué)法。如：二年級(jí)選擇畫(huà)圖法，五年級(jí)選擇列表法，六年級(jí)選擇假設(shè)法或方程法，七年級(jí)選擇二元一次方程組。為此，筆者進(jìn)行了實(shí)踐。

二、 實(shí)踐篇

（一） 二年級(jí)教學(xué)片段

教學(xué)價(jià)值取向就是引導(dǎo)和幫助二年級(jí)的小朋友借助畫(huà)圖的方法進(jìn)行嘗試與猜測(cè)，解決雞兔同籠問(wèn)題。

情境：雞和兔關(guān)在同一個(gè)籠子里，上面數(shù)有8個(gè)頭，下面數(shù)有26條腿，請(qǐng)問(wèn)雞、兔各有幾只？

（學(xué)生嘗試解決問(wèn)題）

師：你是怎么做的？

生：用畫(huà)圖的方法解決。我先畫(huà)了8個(gè)圓圈表示雞和兔子共有8只，在每個(gè)圓圈的下面都畫(huà)上2條腿，發(fā)現(xiàn)只有16條腿，還少10條腿，把這10條腿添到雞的下面。

師：大家都是這樣想的嗎？請(qǐng)一位小朋友上來(lái)給大家畫(huà)畫(huà)看。

在老師的引導(dǎo)下，學(xué)生全身心地投入到用畫(huà)圖解決問(wèn)題當(dāng)中。滲透了數(shù)形結(jié)合的思想，比較直觀，易學(xué)好教，一道相對(duì)有難度的雞兔同籠問(wèn)題就這么有趣地解決了。

（二） 五年級(jí)教學(xué)片段

在北師大版的教材中，強(qiáng)調(diào)用列表的方法解雞兔同籠問(wèn)題。教材編排的價(jià)值取向就是讓孩子從無(wú)序的猜測(cè)到有序的整理，從逐一列表的繁瑣到跳躍列表法的彈性調(diào)整，最后選擇取中列表法。

情境：今雞兔同籠，上有35頭，下有94腿，問(wèn)雞、兔各幾只？

（讓學(xué)生感受數(shù)據(jù)太大比較難解決）

再出示：“雞兔同籠，有9個(gè)頭，26條腿，雞、兔各幾只？”

……

生嘗試練習(xí)原題，選取典型三種列表法小組交流。

用列表法解決雞兔同籠問(wèn)題，在枚舉和假設(shè)中讓學(xué)生經(jīng)歷列表、嘗試和不斷調(diào)整的過(guò)程，從原始逐一列舉到跳躍列舉，理透了數(shù)量關(guān)系間的變化后，大部分學(xué)生喜歡簡(jiǎn)便快捷的取中列舉的方法。但教師有必要讓學(xué)生明白每一種方法各有各的優(yōu)點(diǎn)，應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況選擇合適的方法。

（三） 六年級(jí)教學(xué)片段

把雞兔同籠問(wèn)題放在六年級(jí)上，是考慮六年級(jí)孩子的認(rèn)知水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)有較好的基礎(chǔ)，為理解假設(shè)法和用方程解決做好了準(zhǔn)備。

情境：今雞兔同籠，上有35頭，下有94腿，問(wèn)雞、兔各幾只？

（小組合作，以小組為單位匯報(bào)）

生1：我們小組采用的方法有假設(shè)法、列表法、畫(huà)圖法三種方法。

生2：我是用畫(huà)圖法來(lái)表示的。

生3：我用的是列表法。（幻燈展示）

生4：我用假設(shè)法來(lái)算的。假設(shè)全部都是雞，35只雞就有70條腿，70條腿比94條腿少了24條腿，說(shuō)明這24條腿是兔子的，我們把兔子都當(dāng)成雞來(lái)算了，每只雞比兔子少2條腿，所以24÷2就是兔子的只數(shù)，35-12就是雞的只數(shù)。

師：那么可不可以假設(shè)都是兔子呢？

……

生5：我是用列方程來(lái)解決的……

（四） 七年級(jí)教學(xué)片段

七年級(jí)以“雞兔同籠”為突破口，認(rèn)識(shí)二元一次方程組。從已有的“方程”經(jīng)驗(yàn)入手，借助并列的兩組等量關(guān)系，列出二元一次方程組，并學(xué)會(huì)用代數(shù)法或消元法解方程組，并注重結(jié)果的驗(yàn)證。

情境：今雞兔同籠，上有35頭，下有94腿，問(wèn)雞、兔各幾只？

師：今天我們學(xué)習(xí)用二元一次方程組來(lái)解決雞兔同籠問(wèn)題。你們能從題目中得到哪些等量關(guān)系？

生：“雞只數(shù)+兔只數(shù)=總只數(shù)”和“兔腿+雞腿=總腿數(shù)”

師：設(shè)雞有x只，兔有y只。我們可以得到哪兩個(gè)方程？

生：x+y=352x+4y=94

師：我們可以組成一個(gè)方程組。（板書(shū)）

x+y=35①2x+4y=94②endprint

……

師：我們可以用代數(shù)法和消元法解這個(gè)二元一次方程組。

三、 思考篇

“雞兔同籠”問(wèn)題在不同年級(jí)教學(xué)中大致的方法定位后，我們會(huì)面對(duì)一個(gè)追問(wèn)：到七年級(jí)學(xué)了二元一次方程組后，學(xué)生馬上能夠解決這個(gè)問(wèn)題，那么之前的那些“低級(jí)”方法有價(jià)值嗎？是的，就從解題的方法而言，價(jià)值不大！但我們要發(fā)掘的是雞兔同籠問(wèn)題的教學(xué)價(jià)值以及教育價(jià)值。

（一） 在經(jīng)歷解決問(wèn)題的過(guò)程中積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

“雞兔同籠”問(wèn)題不管在哪個(gè)年段教學(xué)都應(yīng)該著眼于其教材的本質(zhì)，解讀其解題策略的本質(zhì)屬性。重視學(xué)習(xí)過(guò)程中學(xué)生思維、情感的全程參與，在不斷地提出問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程中，激活學(xué)生原有的經(jīng)驗(yàn)，不斷修復(fù)有缺陷的經(jīng)驗(yàn)，使粗糙的經(jīng)驗(yàn)漸漸趨于精致，淺層次的經(jīng)驗(yàn)得到提升，讓新生成的經(jīng)驗(yàn)自然地嵌入已有的經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)?！半u兔同籠”解題策略豐富多樣的背后也有同一性，即“假設(shè)法”。

無(wú)論是對(duì)解決問(wèn)題方法、思路的總結(jié)以及方法的類比、遷移，最終的目的都是為了幫助學(xué)生積累經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)驗(yàn)的獲得、能力的發(fā)展，并需要通過(guò)一節(jié)課一節(jié)課循序漸進(jìn)地積累。

（二） 獲得活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是智慧生長(zhǎng)的重要路徑

美國(guó)數(shù)學(xué)家克萊因曾說(shuō)過(guò)：“音樂(lè)能激發(fā)或撫慰情懷，繪畫(huà)使人賞心悅目，詩(shī)歌能動(dòng)人心弦，哲學(xué)使人獲得智慧，科技可以改善物質(zhì)生活，但數(shù)學(xué)能給予以上的一切?！币虼耍虒W(xué)中不能僅僅停留在知識(shí)的層面，“雞兔同籠”在各年段教學(xué)中，教學(xué)內(nèi)容都納入到原有的知識(shí)體系中，實(shí)現(xiàn)認(rèn)知體系的新建構(gòu)，站在“學(xué)生未來(lái)發(fā)展所必須具備的解決問(wèn)題的能力這一高度”思考其價(jià)值和意義，不斷刷新基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的高度，從而讓學(xué)生獲得智慧的無(wú)限生長(zhǎng)。

不同學(xué)段不同的方法，反映了學(xué)生操作思維、表象思維、分析思維三種不同的思維水平，“雞兔同籠”的解題策略從“畫(huà)圖法→列表法→假設(shè)法→方程→二元一次方程組”體現(xiàn)了不同的思維層次。但它們一脈相承，有自己獨(dú)特的生長(zhǎng)方式。

（三） 在經(jīng)驗(yàn)積累中感悟數(shù)學(xué)思想

經(jīng)驗(yàn)積累與思想感悟決定人的思維方式。而經(jīng)驗(yàn)積累和思想感悟是悟出來(lái)的，想出來(lái)的，不是教會(huì)的?！半u兔同籠”教學(xué)不能過(guò)多地在“繁、難、奇、深”上下功夫，應(yīng)該在準(zhǔn)確把握文本教學(xué)價(jià)值的前提下，經(jīng)歷探究、思考、抽象、推理、反思的過(guò)程，積累觀察、操作、猜想、歸納、推廣等活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。從“雞兔同籠”問(wèn)題的教學(xué)中，體驗(yàn)“化歸”、“數(shù)形結(jié)合”、“枚舉”、“建?！钡鹊鹊臄?shù)學(xué)思想，感受數(shù)學(xué)的魅力。比如：在列表法中，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行枚舉，如果頭和腿的數(shù)目較多，可以在枚舉過(guò)程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律然后進(jìn)行調(diào)整，如“發(fā)現(xiàn)腿數(shù)差很多，那就多增加兔子只數(shù)”，還可以從假設(shè)一半雞或兔子開(kāi)始枚舉，來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感和估算能力。可是，在實(shí)際教學(xué)中，很多老師往往不會(huì)這樣引導(dǎo)學(xué)生思考，覺(jué)得這是一個(gè)笨辦法。其實(shí)，這種方法是具有一般性的。教師要引導(dǎo)學(xué)生抓住學(xué)數(shù)學(xué)用數(shù)學(xué)的本質(zhì)，學(xué)習(xí)“雞兔同籠”問(wèn)題并非單純解決“雞兔同籠”問(wèn)題，而是以“雞兔同籠”問(wèn)題為載體，學(xué)習(xí)解決類似的實(shí)際問(wèn)題的方法。

“雞兔同籠”問(wèn)題不同年級(jí)連續(xù)課的教學(xué)，應(yīng)充分認(rèn)識(shí)到可以挖掘的內(nèi)涵，使學(xué)生的收獲不僅僅停留在活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)上，而是從知識(shí)技能、數(shù)學(xué)原理、思想方法、具體策略等多方面得到發(fā)展，教師要獨(dú)具慧眼，把握好教學(xué)時(shí)機(jī)。

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作者簡(jiǎn)介：

楊凱明，浙江省義烏市江濱小學(xué)。endprint