丟番圖方程x2+11=y3

摘 要：對(duì)于某些整數(shù)d，若Q（d）是Euclid域，則在對(duì)應(yīng)的Euclid整環(huán)中算術(shù)基本定理成立。利用此來證明不定方程x2+11=y3的整數(shù)解僅有（x，y）=（±4，3），（±58，15）。

關(guān)鍵詞：丟番圖方程；整數(shù)解；唯一分解整環(huán)

對(duì)于不定方程：

x2+C=yn

已經(jīng)有很多作者做過研究，其中在C=1，4時(shí)，在潘承洞、潘承彪《代數(shù)數(shù)論》一書中證明該方程的整數(shù)解分別是（x，y）=（0，1），

（x，y）=（±2，2），（±11，5）。在C=16時(shí)，2006年廖江東證明了該式無整數(shù)解。當(dāng)C=4n（x≡1（mod2））時(shí)黃勇慶證明了該不定方程式的整數(shù)解僅有（x，y，n）=（±11，5，1）。

對(duì)于該方程的另一種情況，在C=16時(shí)關(guān)于不定方程x2+11=y3已經(jīng)有過一定研究工作，前作者證明該方程只有整數(shù)解（±58，15），其證明的結(jié)論是不全面的。本文中作者結(jié)合Euclid整環(huán)的相關(guān)性質(zhì)，對(duì)該方程的整數(shù)解問題重新作出證明，并對(duì)結(jié)論加以修訂。

定義1 Euclid整環(huán)：設(shè)M是整環(huán)，如果存在一個(gè)M的全體非零元素到自然數(shù)的集合的函數(shù) ，使得對(duì)任意的 ，一定有 ，滿足 ，這里 或 且有 ，那么M就稱為M的Euclid整環(huán)。

定義2 Euclid域：Euclid整環(huán)對(duì)應(yīng)的分式域叫做Euclid域。

定義3 唯一分解整環(huán)：設(shè)D是因子分解整環(huán)，若任意的非零非單位α∈D，都可以唯一的表示為D中不可約元素的乘積，則D為唯一分解整環(huán)。

定理1 對(duì)于Euclid整環(huán)，其自身是一個(gè)主理想整環(huán)，從而必定是一個(gè)唯一分解整環(huán)。

定理2 假設(shè)M滿足唯一分解整環(huán)的性質(zhì)，從而對(duì)于正整數(shù)k≥2，以及α，β∈M，（α，β）=1，必有：當(dāng)αβ=γk，γ∈M時(shí)，必有：

α=ε1?k，β=ε2νk，?，ν∈M

并且其中ε1，ε2兩個(gè)元素是M中的單位元素，而且ε1ε2=εk，ε也為M的單位元素。

定理3 在虛二次域 當(dāng)中，是Euclid域的只有以下五種情況：分別是d=-1，-2，-3，-7，-11.

證明：不定方程

x，y∈Z（1）

的整數(shù)解僅有（x，y）=（±4，3），（±58，15）。

證明：由于二次域 為Euclid域，且僅有單位數(shù)±1，其中

是一組整基。從而整環(huán) 中的整數(shù)形如 的形

式，且 ，即a，b同奇同偶，其中a，b∈Z。

由（1）式得

x，y∈Z

令 ，由于 ，由整除性質(zhì)知： 。

若 從而： 為整環(huán) 中的整數(shù)，從而 ，

，所以 。從而（1）式左邊： 與右邊 矛盾。

若 從而：在 中 是素?cái)?shù)，從而 或 。若 ，則由 ，顯然 ，兩邊取范數(shù)得： 。從而 并且由（1）式知 ，從而 由（1）式知 ，矛盾。從而 ，由引理知

a，b∈Z

上式整理得

比較等式系數(shù)可得：

由第二式知：b=±1，±2，±22，±23

若b=1，由二式得： ，由于a∈Z，不可能

若b=?1，由二式得：a=±1，從而 。

若b=2，由二式得：a=±4，從而 。

若b=?2，由二式得： ，由于a∈Z，不可能

若b=±22，±23，由于a，b同奇同偶，從而由二式知：

左邊 右邊 矛盾

綜上可知不定方程 的整數(shù)解僅有（x，y）=（±4，3），（±58，15）。

參考文獻(xiàn)

[1]潘承洞，潘承彪.代數(shù)數(shù)論[M].山東：山東大學(xué)出版社.2003.

[2]馮克勤.代數(shù)數(shù)論[M].北京：科學(xué)出版社，2000.

[3]廖江東，柳楊.關(guān)于不定方程 [J].四川理工學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2007（2）：4-5.

[4]黃勇慶.關(guān)于不定方程 [J].四川理工學(xué)院學(xué)報(bào)

[5]高麗，趙彩紅，趙喜燕.關(guān)于不定方程 [J].延安大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2014（1）：7-8

作者簡(jiǎn)介

王振（1984-），男，山東臨沂人，講師，碩士，從事基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究。