零次方守恒定律第三章廣義類型論

薛廣振

摘要：羅素建立類型論只是為了解決悖論問題，而不是要建立一個通用類型體系模型，因而羅素對類型體系的描述遠(yuǎn)不完整，而在解決悖論問題上也充滿矛盾。本文把它完善之后，發(fā)現(xiàn)了重要邏輯學(xué)知識，從而為分析和認(rèn)識0次方守恒定律構(gòu)筑了邏輯學(xué)理論框架。

關(guān)鍵詞：羅素類型論|極限類|中間類|萬有類|邏輯間斷點(diǎn)|廣義類型論。

§3-1 邏輯間斷點(diǎn)

二十世紀(jì)初葉，數(shù)理邏輯學(xué)在討論集合論時遇到了許多悖論，因?yàn)榧系幕娟P(guān)系就是包含與被包含，悖論似乎避之不及，更似乎束手無策，從而引起了一場不小的風(fēng)波，史稱“第三次數(shù)學(xué)危機(jī)”。由于各種悖論的一個共同特點(diǎn)就是自我包含，于是羅素斷言“自我涉及就是悖論”，并提出了一個“類型論”方案，試圖解決悖論問題。本文將在下一章討論悖論問題，此章只討論類型論。羅素始創(chuàng)了一個基本類型體系模型，定義了類型間的基本邏輯關(guān)系；這個模型是如此之典型、自然，就像歐幾里得的“兩點(diǎn)連成一條直線”，以至于，它的任何結(jié)構(gòu)特征都應(yīng)該直接上升為理性認(rèn)識，作為邏輯規(guī)則，來指導(dǎo)人們?nèi)フJ(rèn)識世界。本文此章就是基于羅素的類型論模型，建立廣義類型論的邏輯框架，與本文的哲學(xué)框架協(xié)同，來共同引導(dǎo)本文完成對0次方守恒定律的認(rèn)識。研究發(fā)現(xiàn)，羅素類型論實(shí)際上是嚴(yán)重殘缺的，并且含有深刻的內(nèi)在矛盾。只有理清其中關(guān)系，挖掘其中有效知識，才能真正使這個類型模型展現(xiàn)其應(yīng)有的科學(xué)價值。

羅素的觀點(diǎn)很簡單、直接：自我涉及即是悖論，即，任何一個集合絕不是它自身的元素。所以他提出“惡性循環(huán)原則”，后人稱之為“類型不可混淆原則”，說，只有在兩個不同的類型之間，才可以構(gòu)成包含關(guān)系。為貫徹此原則，羅素建立了如下的類型體系模型：

……

類型2：個體的類的類

類型1：個體的類

類型0：個體

他規(guī)定，屬于類型0的個體只能做類型1的類的元素……一般地說，類型n的類只能做類型n+1的類的元素。羅素尤其著重指出了一種極端的情況：只要說總體是它自身的元素（后人稱之為“萬有類”）就是悖論。這就是羅素類型論的要點(diǎn)。

羅素用“……”省略了他認(rèn)為簡單重復(fù)的內(nèi)容，以此來捍衛(wèi)邏輯的一般性與抽象性，但這恰恰造成了類型模型的殘缺和重要邏輯知識的遺失。按照“第n層次上的類只能做n+1層次上類的元素”的邏輯，類型自然向上延伸、展開，不管一個類包含幾個元素，隨著層次的提升，層次上的類數(shù)會越來越少……自然結(jié)果是，總有一個層次其中類數(shù)減少到1，這時類中元素也只剩一個，類型系列終止，體系結(jié)構(gòu)終結(jié)。這種層次上只有一個類且類中只含一個元素的情況，就是羅素遺失的東西。顯然，羅素忽略了類型系列要收斂的必然結(jié)果，也許他以為類型會無休止地延展下去……即便相反，類型系列發(fā)散，那么內(nèi)在邏輯是，隨著層次上類數(shù)越來越多，類元素的內(nèi)涵就會越分越小，總會有一個層次其類元素的內(nèi)涵值等于“1”而不能再小了……那么此時，類型系列仍然會終止于這樣一個自然終止點(diǎn)，從而體現(xiàn)出體系的結(jié)構(gòu)完整性。而這個發(fā)散狀況下的終止點(diǎn)，實(shí)際上就是羅素自己定義的“個體”的類型/層次。

本文把只含一個元素的類型稱為極限類。顯然，在一個自然完整的類型體系中，有兩個具有極限類的層次/類型，一個就是“個體”所在的層次，即類型起始的層次，這時，一個“個體”就是一個類；第二個則是被羅素遺漏了的那個層次，即類型終止的層次。本文稱前者為下極限層次，稱后者為上極限層次，稱介于兩者之間的那些層次為中間層次，并稱居于中間層次上的類型為中間類。顯然，中間層次上類的特點(diǎn)是，類中含有多個元素。其中，下極限層次上具有體系中最多的類，上極限層次上則只有一個類。據(jù)說后來羅素為不得不使用了“個體”做第0類型的元素感到懊惱，因?yàn)椤皞€體”稍顯具體，趨于內(nèi)涵性，因而委屈了邏輯的抽象美。但現(xiàn)在看來，這正是他的貢獻(xiàn)之一，只是還不夠，因?yàn)?，上極限層次上的類型也應(yīng)該有個稍顯“具體”的名字。因?yàn)?，自然地出現(xiàn)極限類是類型體系的必要組成部分，因而也是邏輯知識的必要組成部分。所以，本文為上極限層次定名為體系。于是，完整的類型體系模型就應(yīng)該表示為表2形式。

分析發(fā)現(xiàn)，完整模型（紅色部分）中自然存在著三種自我結(jié)構(gòu)。一，極限類，由于類中只有一個元素，因而，元素就是它自身的類，類就是自身的元素——自我包含。二，上、下極限層次上具有一致的類型——極限類，因而層次系列自然終結(jié)，并進(jìn)入自身復(fù)制，就像幾何體系和算術(shù)體系那樣，因而滿足體系完整性要求；并且，體系首尾閉合，形成整體自我結(jié)構(gòu)。它的一個自然模型就是植物生長過程：種子、發(fā)芽、枝葉、開花/種子，以及昆蟲的卵、蛆、蛹、蛾/卵。三，在上極限層次，由于“體系”是包含所有“個體”的總類，同時它自身又自我包含，所以正好構(gòu)成了被羅素判為非法的“萬有類”——一切類的總合還是類。

表2 完整類型體系模型

現(xiàn)在反觀羅素類型論，有兩處內(nèi)在矛盾。一，一個自認(rèn)為是用來避免自我包含結(jié)構(gòu)的體系，卻偏偏必然地發(fā)生自我包含結(jié)構(gòu)。二，羅素把單純的“自我包含”和極限嵌套的“萬有類”都判定為悖論，現(xiàn)在看來都是錯的，至少與自然模型相悖。而極限類單一元素的數(shù)學(xué)特性以及自我包含的邏輯特性，恰好是0次方守恒定律的形式特性，“萬有類”則是由0次方守恒定律所衍生展開的宇宙主體體系的整體外在邏輯特性。萬幸，羅素僅僅判定集合論而非整個數(shù)學(xué)中的自我結(jié)構(gòu)都非法，否則，數(shù)學(xué)中的遞歸函數(shù)將命運(yùn)如何？

但是，羅素最不愿看到的是，不僅極限類的合法性不容否定，相反的，極限類的存在，實(shí)際上否定了完全的“一般性”、“抽象性”和“形式性”的合法性。形式性被迫間斷的地方是極限類，它自然地?fù)碛杏钪骈g最還原、最本源、最內(nèi)涵性的內(nèi)涵“1”，而容不得任何形式化修飾，比如像“n”、“f（x）”等。這是一個不把羅素類型論推演到最后所不能發(fā)現(xiàn)的問題。本文稱形式性被迫終止的這個點(diǎn)為邏輯間斷點(diǎn)。早在1931年，哥德爾證明了他的“不完備性定理”時，就有科學(xué)家哀嘆：他抽走了數(shù)學(xué)家對邏輯美的信仰。但是現(xiàn)在，哥德爾得到了這個間斷點(diǎn)的全力支持，邏輯學(xué)要從朦朧美走向維納斯般的現(xiàn)實(shí)美。因?yàn)檫@已經(jīng)不是羅素的問題，而是整個邏輯學(xué)的問題。由于羅素判定極限類非法，尤其是康托（Georg Cautor 1845-1918）已經(jīng)勸誡人們“不能再研究任何包含總類的類了”，所以極限類無意間成了邏輯的死角，間斷點(diǎn)問題被埋藏在最底下來。但曾經(jīng)，羅素是離這個間斷點(diǎn)最近的人，因?yàn)?，讓他煩惱的“個體”，就是“1”的自然語言翻譯。endprint

極限類很像現(xiàn)有哲學(xué)說的“特殊性”概念，說，“特殊性存在于普遍性當(dāng)中”，這吻合了當(dāng)代邏輯學(xué)的美感追求，所以羅素歧視“個體”看似有道理。但是，由于極限類屬哲學(xué)主體性，中間類屬客體性，所以，“1”不是“n”的特例，相反的是它的內(nèi)涵本源（參看本文后面的表6）。這是讓邏輯學(xué)家們徹底夢碎的根源。尤其是，“特殊性”與“普遍性”都缺乏明確而還原的定義，所以，“極限/中間”完全不等價于“特殊/普遍”。但中間類卻確實(shí)是形式化的邏輯根源，當(dāng)然也是邏輯學(xué)乃至包括數(shù)學(xué)在內(nèi)的整個符號科學(xué)的邏輯根源，所以，邏輯間斷點(diǎn)的發(fā)現(xiàn)揭示了一個冰冷的事實(shí)：被邏輯間斷點(diǎn)隔開的“1”，是整個符號科學(xué)體系所不能描述的；相反，它將成為符號科學(xué)的內(nèi)涵起源點(diǎn)。12式正是此關(guān)系的精準(zhǔn)數(shù)學(xué)表達(dá)。哲學(xué)缺失了主體意識，物理學(xué)缺失了0次方守恒定律，邏輯學(xué)缺失了極限類……維納斯的美，美就美在知道缺的是什么。因?yàn)?，極限類已經(jīng)佐證了本文的主體認(rèn)識原則的合理性，并且都指向了0次方守恒定律。

§3-2 廣義類型論

表2所示的完整類型體系模型不是“本文的”，而僅僅是羅素模型的完整版本，因?yàn)榛镜囊睾瓦壿嬕?guī)則都是羅素始創(chuàng)的，他因此將永載史冊。但是，羅素又明確地判定“自我涉及就是悖論”，還判定“萬有類”為非法，那么羅素實(shí)際上是禁止了極限類的存在。這反襯出本文的類型認(rèn)識與羅素類型論之間的迥然差異。歸納起來：在一個自然完整的類型體系中，一，居于上極限層次和下極限層次上的極限類，是體系中自然、合法的組成部分。二，類型層次系列的邏輯屬性在極限類型與中間類型之間是間斷的；類型的最大差異在于（兩個）極限層次與（若干個）中間層次之間，而不在于不同的中間層次之間（如羅素所說的n與n+1）。三，在哲學(xué)上，極限層次具有主體性，中間層次具有客體性，因此，極限層次內(nèi)涵是中間層次內(nèi)涵的本源驅(qū)動因子，而非相反。四，極限類只能居于極限層次，中間類型必須居于中間層次，類型秩序不可錯亂；極限類居于中間層次和中間類居于極限層次，都將構(gòu)成“錯位悖論（下一章）”。

基于上述四點(diǎn)，本文“直接描述”的邏輯版本就可以這樣表達(dá)：這個世界，事物是分類的，事物的類型構(gòu)成連續(xù)的系列；事物的類型最后是要還原歸一的，還原到一個只有一個實(shí)例的類型，且層次上只有此一個類型，即萬有類?；蛘哒f，這個世界實(shí)際上只有一個類型，萬有類，后續(xù)類型都是它的衍生物。這其實(shí)是培根形而上學(xué)唯物主義的邏輯翻版，也是本文體系的總體邏輯世界觀。相對于“羅素類型論”，本文把本文關(guān)于完整類型體系的分析與認(rèn)識稱為廣義類型論。它包括一個總體邏輯世界觀和四個細(xì)則認(rèn)識。用n表示下極限層次上“個體”的個數(shù)，用e（element）來表示層次上類中元素的個數(shù)，由于羅素判定極限類非法，那么羅素類型論就可以表示為4式形式：

1

而廣義類型論恰恰是要為極限類型正名，所以廣義類型論就應(yīng)該表示為5式形式：

1≤e≤n

廣義類型論關(guān)于“最大類型差別”的認(rèn)識，與本文的主體認(rèn)識原則同等重要，它們共同構(gòu)成本文分析與認(rèn)識0次方守恒定律內(nèi)涵結(jié)構(gòu)的理論基礎(chǔ)。具體體現(xiàn)在，極限層次上的事物是哲學(xué)主體性的，中間層次則屬客體性；而哲學(xué)主體性也勢必都居于邏輯極限層次，哲學(xué)客體性事物則居于中間層次。這兩者共同作用，提示本文一個新的邏輯認(rèn)識：描述體系中，命題的主語必須是被描述對象的主體，否則將埋下悖論種子。這是一個最具內(nèi)涵色彩的邏輯原則。當(dāng)然，羅素類型論只為解決悖論問題，而不是要討論類型體系的典型特征，即便如此，本文下一章將說明，廣義類型論將能夠精準(zhǔn)地指出相應(yīng)悖論的起因，因而能夠兼容羅素類型論，但同時又能夠最大限度地保護(hù)有效知識。

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下期待續(xù).......