高中數(shù)學解析幾何中數(shù)形結(jié)合思想生成過程探析
——由一道競賽試題引發(fā)的思考

周明亮

（寧化縣第六中學，福建 寧化 364200）

解析幾何是高中數(shù)學中不可或缺的重要知識點，在培養(yǎng)學生縝密思維、整體把握題意方面具有不可替代的作用。它一般要借助直角坐標系，通過代數(shù)運算的手段，研究包括橢圓、雙曲線、拋物線等在內(nèi)的圓錐曲線的概念、性質(zhì)以及直線與圓錐曲線在平面內(nèi)的位置關(guān)系等。解析幾何的問題，一般來說，解題思路都比較清晰，解題方法和規(guī)律性也比較強；但對學生的計算能力、恒等變形能力、數(shù)形結(jié)合能力、化歸與轉(zhuǎn)化能力要求很高。因此，很多學生碰到解析幾何題就倍感煩惱，繁雜的運算在很大程度上成為許多學生難以逾越的障礙。

一、從一次說題大賽說起

在一次教學基本功大賽的《說題》環(huán)節(jié)中，主辦方提供這樣一道解析幾何的競賽試題。

例1.拋物線y=4x，過焦點F的直線l交準線于M，交拋物線于 A、B 兩點，且M→A=λ1A→F 、M→B=λ2B→F 試探究λ1+λ2是否為定值。

看到這題，筆者頭腦中就已經(jīng)形成了解題的基本思路：設(shè)直線方程→聯(lián)立方程消元→由條件建立關(guān)系式求解。

具體解法如下：

解：∵y2=4x的焦點坐標 F（1、0），由題意 l的斜率一定存在，設(shè)l方程為y=k（x-1）代入拋物線方程得：

雖然，當時是很順利地完成了解題過程，但是面對較復(fù)雜的圓錐曲線計算時，還是有點過于小心翼翼。因此，題目解完了，時間卻也在不知不覺中過了不少。導(dǎo)致后續(xù)的其他《說題》環(huán)節(jié)就顯得有些匆忙。這部分得分不是很理想，有些遺憾。

賽后反思這次比賽的得失，不禁讓筆者思考起一個問題：一個教師，在解題思路清晰，解題過程也很順暢的情況下，都用時不少。那么學生在高考那種緊張環(huán)境下，怎么做到快速、有效地完成解析幾何的作答過程呢？

二、回歸定義，數(shù)形結(jié)合，優(yōu)化思維

賽后重新審視這一道題，筆者發(fā)現(xiàn)忽視了另一視角，即λ1，λ2的幾何意義。結(jié)合拋物線的定義，另一種解法就形成了。如上圖：

這一解法，將問題回歸拋物線，“到定點距離等于到定直線的距離”這一定義，將轉(zhuǎn)化為的長；再通過直角三角形中正弦定義，將 λ1，λ2用∠AMA＇，∠BMB＇的正弦表示。整個解題過程，幾乎就沒什么計算，步驟也少，效率自然也高了。因此，在今后的解析幾何教學中，要讓學生充分理解定義，并引導(dǎo)學生學會用定義解決有關(guān)問題。

同樣，這道競賽題也提示教師，教學中要重視培養(yǎng)學生觀察圖形、分析圖形、運用圖形的能力。特別是要重視圓錐曲線有關(guān)概念的幾何性質(zhì)。解決解析幾何的問題這一基本思想方法，就是數(shù)形結(jié)合的方法，而圓錐曲線的定義往往又是數(shù)形結(jié)合思想的典范。因此，通過回歸定義，數(shù)形結(jié)合，可以達到優(yōu)化思維的目的。數(shù)形結(jié)合的重點在“形”，后一種方法就是在“形”的基礎(chǔ)上得到的。數(shù)形結(jié)合的實質(zhì)是數(shù)與形的一個映射。這里將抽象的數(shù)學語言如與直觀的幾何圖形線段結(jié)合，再通過∠AMA＇的正弦這一個“數(shù)”建立聯(lián)系。

因此，教師在教學中引導(dǎo)學生，充分認識到“數(shù)形結(jié)合”這一思想方法在解題中的應(yīng)用。而筆者當時正是在解題中忽略了這點，只從代數(shù)角度去處理，使問題計算量大大增加。因此，平時的教學過程中，要讓學生充分理解并靈活應(yīng)用相關(guān)概念的幾何意義，就顯得尤為重要。因此，要在教學中積極地探索和滲透這一方法，并應(yīng)用它來解決問題，使其能融入整個教學過程中，讓學生能夠具備多次理解、應(yīng)用的機會。

三、通過對比，有意識地培養(yǎng)數(shù)學結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想的形成，進而有意識地運用，并不是教學中灌輸?shù)慕Y(jié)果，而是學生在解題過程中通過對比、感受與體驗后的選擇。為此，教師在解題教學中，必須學會等待，學會讓學生自然地認可“數(shù)形結(jié)合”。教師千萬不要急于求成，把簡潔的解法和盤托出，那樣學生是體會不到“拍案叫絕”的解題效果的。

筆者讓學生自己先動手、動腦解決問題。然后，從學生的解法中分析并列舉兩種學生的主要解法。

1.從直線方程入手：設(shè)直線AF的方程為y=k（x-1），聯(lián)立橢圓，得A點坐標和B點坐標；得BC的中點D的坐標，代入直線AF的方程求解。

2.從點的坐標入手：設(shè)點 A（x0，y0），由中心對稱得B點坐標，再由B、C點坐標，得D點坐標。利用A、F、D三點共線求解。

這兩種方法都是從代數(shù)的方法求解問題，思路也是清晰可行的。筆者首先肯定了他們的做法。但是整個解題過程繁雜，計算量大，計算出錯的較多，解題效果并不理想。如何優(yōu)化解法呢？學生一時陷入了沉思中。

這時，教師再引導(dǎo)學生從數(shù)形結(jié)合的角度去思考并解決問題，學生才能感受到數(shù)形結(jié)合思想的重要性。這時，順水推舟給出第三種解法：

連接OD、AC，如圖則OD為△ABC的中位線，OD//AC且，△ODF∽△CAF，得

由于該解法是如此的簡潔，過程是這樣的漂亮，給學生留下了深刻的印象，在今后的解題思路中就會對“數(shù)形結(jié)合”思想特別重視。

所以，數(shù)學教師在教學中，要盡力引導(dǎo)學生挖掘圖形的幾何特征，對“數(shù)”與“形”進行統(tǒng)一分析、思考，簡化計算，提高解題效率和準確率。

四、通過數(shù)形結(jié)合下的變式拓展，挖掘母題的思維價值

課本中的例題、習題是編者反復(fù)斟酌、試驗、比較、精挑細選的。作為“母題”，它適合于所教的知識和大部分的學生，具有較強的典型性和代表性，是培養(yǎng)學生學習能力主要素材，充分挖掘它的價值，可以讓學習起到事半功倍的效果［1］。它對于促進學生鞏固知識、形成技能、發(fā)散思維方面有不可替代的作用。所以，挖掘例題、習題的母題價值，能最大限度地提高學生學習的有效性。

例4：斜率為1的直線l經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點F，且與拋物線相交于A、B兩點，求AB的長。

通常教師會給出兩種思路：

然后對兩種方法進行比較。方法一：常見的通性通法，思路常規(guī)，但涉及較多的代數(shù)計算；方法二：回歸定義，數(shù)形結(jié)合得出結(jié)果，計算較簡單。解題方法看似很完美，有回歸定義、數(shù)形結(jié)合；也有通性通法。但經(jīng)過這次競賽，筆者在這學期再備課時，總覺得意猶未盡。因為還沒有結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想很好地挖掘其母題的思維價值。因此結(jié)合練習、作業(yè)，在講解完例4后，預(yù)設(shè)了讓學生思考以下幾個命題：

1.以AB為直徑的圓與準線的位置關(guān)系是什么？怎樣證明？

2.過弦AB中點作準線垂線，垂足為C，求證：∠ACB=90°。

3.直線l過y2=4x的焦點F，與拋物線交于A、B兩點。求線段AB長的最小值。

4.（注意到方法1中x1x2=1）探究直線l過拋物線y2=2px 的焦點且與拋物線交于 A（x1，y1），A（x2，y2），那么x1x2和y1y2是定值嗎？

通過這些變式訓練讓學生思考、討論，收集解法和結(jié)論，并鼓勵學生提出新的命題。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，學生的興趣更高了，數(shù)形結(jié)合的效果也得到充分的體現(xiàn)，更好完成了教學任務(wù)。

當然，培養(yǎng)學生掌握解析幾何的各種題型解題的通性通法，始終是教師教學的主要任務(wù)。學生通過設(shè)點、聯(lián)立、判別式、韋達定理等一系列計算過程訓練，有利于養(yǎng)成固定的解題模式，有利于計算能力和整體思維能力的發(fā)展，也有利于解題速度的提升。因此，教學中要引導(dǎo)學生理解圓錐曲線相關(guān)的定義，理解相關(guān)知識的形成過程，特別是要培養(yǎng)學生有意識地利用“數(shù)形結(jié)合思想”簡化計算，提高解題效率和準確率。在“數(shù)形結(jié)合思想”指導(dǎo)下，通過挖掘例、習題的潛能，變式拓展，使學生做到“做一題、通一類”，這樣才能更有效提高學生解決解析幾何的能力。

［1］盧春林．析初中數(shù)學教材中的例題與習題的重要性［J］．數(shù)理化解題研究（初中版），2014（10）.

［2］張艷.數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學教學中的應(yīng)用研究［J］.中國校外教育，2016（11）.