一種改進(jìn)的頻偏估計(jì)方法及應(yīng)用

劉 凱，周淵平

(四川大學(xué) 電子信息學(xué)院，四川 成都 610000)

0 引言

無線接收機(jī)時(shí)間定位的方式一般可以分為兩類，第一類是利用訓(xùn)練序列進(jìn)行延遲自相關(guān)以鎖定峰值位置，進(jìn)而捕獲時(shí)間偏移量。早期的諸多文獻(xiàn)已經(jīng)對此類算法進(jìn)行了相當(dāng)深入的探索[1-2]，其缺陷在于：自相關(guān)運(yùn)算所產(chǎn)生的相關(guān)峰并不是十分尖銳，特別是當(dāng)傳輸環(huán)境極其惡劣(如衰落嚴(yán)重或信噪比很低)時(shí)，很難準(zhǔn)確獲取時(shí)間的起始位置。第二類算法是滑動(dòng)互相關(guān)運(yùn)算，此方法目標(biāo)函數(shù)的相關(guān)峰十分尖銳，易于實(shí)現(xiàn)時(shí)間的同步，其性能明顯優(yōu)于第一類算法，但是卻是以計(jì)算復(fù)雜度偏高為代價(jià)的。文獻(xiàn)[3]指出，基于互相關(guān)運(yùn)算的方法有一個(gè)致命的缺陷，那就是對于頻率偏移十分敏感。

頻偏估計(jì)也有很多經(jīng)典的算法，最為直接的方法就是利用FFT運(yùn)算實(shí)現(xiàn)頻率偏移的跟蹤，文獻(xiàn)[4-6]從不同的方面闡述了這種方法。此外，關(guān)于頻偏估計(jì)問題，文獻(xiàn)[7]設(shè)計(jì)了一種時(shí)頻聯(lián)合的算法，它用一種簡單的復(fù)數(shù)訓(xùn)練序列，在時(shí)域估算出小數(shù)頻偏，在頻域估算出整數(shù)頻偏?；贔FT的各種算法都有一個(gè)缺陷——運(yùn)算量太大，為了快速實(shí)現(xiàn)載波同步，文獻(xiàn)[8]通過相位折疊的方法使接收信號(hào)的頻偏具有周期性規(guī)律，實(shí)現(xiàn)了快速的載波同步，但是這種方法精度并不高。文獻(xiàn)[3]構(gòu)造了一種特殊的CAZAC訓(xùn)練序列，利用該序列不僅可以實(shí)現(xiàn)時(shí)間上的同步，同時(shí)也能進(jìn)行載波頻率偏移的估計(jì)。本文主要工作在于補(bǔ)充并改進(jìn)文獻(xiàn)[3]所述算法，為敘述簡潔起見，以“原文”代指文獻(xiàn)[3]。原文算法之精髓在于，上述特殊的訓(xùn)練序列會(huì)隨著頻偏產(chǎn)生相應(yīng)的循環(huán)移位，而在接收端通過滑動(dòng)互相關(guān)運(yùn)算能捕獲循環(huán)移位的偏移量，將頻偏巧妙地轉(zhuǎn)換成了序列在位置上的偏移。

1 頻率偏移對基于互相關(guān)的時(shí)間同步性能的影響

基于互相關(guān)的時(shí)間同步形式，是將包含訓(xùn)練序列c(k)的接收信號(hào)序列r(m)與接收機(jī)本地序列c(k)做相關(guān)運(yùn)算：

(1)

r(m)=c(m-τ)ej2πnω+n(m)

(2)

式中，n(m)為加性噪聲。將式(2)代入式(1)得：

(3)

式中假設(shè)c(k)c*(k)=1。顯然，頻率偏移ω將會(huì)破壞接收信號(hào)中的訓(xùn)練序列與本地序列之間的相關(guān)性，削弱相關(guān)峰。

圖1所示為頻偏對式(3)相關(guān)峰|R(τ)|的影響，其中相關(guān)器長度為127，未考慮噪聲因素。

圖1 頻偏對相關(guān)峰值的影響

2 算法基本思想

原文構(gòu)建了一種長度為L的CAZAC序列：c1=[c1(0)，c1(1)，… ，c1(L-1)]，其中：

(4)

考慮歸一化頻偏fdTs,這里Ts為采樣間隔，fd為頻率差值，令:ω=fdTs=(θ+ε)/L，θ∈Z，ε∈[-0.5，+0.5]。其中，θ稱為整數(shù)頻偏，ε稱為小數(shù)頻偏。將接收端帶有頻偏的離散基帶復(fù)數(shù)信號(hào)表示為：

r(k)=c1(k)exp(j2πωk)=

(5)

將式(4)中c1(k)進(jìn)行循環(huán)移位得：

(6)

考察式(6)最后一個(gè)因子exp(jπ(L-1)θ2/L)，由于θ2是整數(shù)，因此有：

(7)

忽略正負(fù)符號(hào)上的差異以及式(5)中ε帶來的影響，則:

r(k)=c1(k-θ)

(8)

圖2 整數(shù)頻偏對訓(xùn)練序列的影響

考慮情況1，在接收端將收到的信號(hào)與本地序列c1進(jìn)行滑動(dòng)互相關(guān)，目標(biāo)函數(shù)：

(9)

式中，r(m)=[r(m)，r(m+1)，…，r(m+L-1)]，分母的作用是對能量進(jìn)行歸一化。式(9)即可檢索出c1的起始位置m1，顯然考慮時(shí)間延遲量有：

m1=τ1+θ

(10)

用同樣的方法即可檢索出c2的起始位置m2，依然考慮時(shí)間延遲量有：

m2=τ2+L-θ

(11)

由式(10)或式(11)得

(12)

或

(13)

另一方面，聯(lián)立式(10)和式(11)亦可以求出時(shí)間延遲量τ1、τ2，由于訓(xùn)練序列本身就是由重復(fù)的序列組成的，那么就可以用延遲自相關(guān)求幅角的方式確定ε：

(14)

最終由θ和ε求出載波頻偏ω。據(jù)此可以實(shí)現(xiàn)對含有頻偏的接收信號(hào)進(jìn)行補(bǔ)償。考慮到篇幅限制，此處不再贅述。

3 分析研究與改進(jìn)

3.1 擴(kuò)大頻偏估計(jì)范圍

原文指明此算法對于θ的估測范圍是[-L/4+1,L/4-1]，而本文經(jīng)過論證分析，將估測范圍推廣至[-L/2+1,L/2-1]。

從圖2中情況1、2可得，當(dāng)θ為正整數(shù)時(shí)，

Δm=m2-m1=3L-2θ

(15)

當(dāng)θ為負(fù)整數(shù)時(shí)，

Δ′m=m2-m1=L-2θ

(16)

實(shí)際應(yīng)用中在接收端并不會(huì)事先知道θ的正負(fù)情況，因此無法直接利用式(12)或式(13)求解θ。一般地，只能利用兩個(gè)相關(guān)峰的差值Δm，基于這個(gè)原因，在實(shí)際應(yīng)用中就必須保證圖2中兩種情況下Δm的值域是不同的，即考慮通過Δm的范圍來確定頻偏的正負(fù)情況。原文提到θ∈[-L/4+1,L/4-1],則由式(15)、(16)得：

2.5L<Δm<3L，θ>0

(17)

或

L<Δ′m<1.5L,θ<0

(18)

本文進(jìn)一步分析了上述兩種情形，發(fā)現(xiàn)只要保證Δm>Δ′m就能滿足互斥條件，綜合式(15)、(16)，當(dāng)滿足：

3L-2|θ|>L+2|θ|

即：

(19)

將θ∈[-L/2+1,L/2-1]代入式(15)、(16)中，得θ為正時(shí)，

2L<Δm<3L

(20)

而θ為負(fù)時(shí)，

L<Δ′m<2L

(21)

結(jié)論：當(dāng)θ∈[-L/2+1,L/2-1]時(shí)，依然可以通過Δm的值域判定θ的正負(fù)情況，結(jié)合式(12)、(13)可求解出θ值。

3.2 考慮θ=0的特殊情況

原文雖指出θ∈[-L/4+1,L/4-1]已包含θ=0的特殊情況，但是并未詳細(xì)分析該情況下如何利用相關(guān)峰位置求解出θ。本文研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)θ=0時(shí)，訓(xùn)練序列的相關(guān)運(yùn)算會(huì)產(chǎn)生4個(gè)相關(guān)峰，位置依次排列在τ1、τ1+L、τ2、τ2+L處。原文指出在檢索出m1之后應(yīng)在(m1+0.5L，m1+3.5L)范圍內(nèi)檢索m2，此時(shí)若以第一個(gè)相關(guān)峰的位置作為m2，則有：

Δm=m2-m1=τ2-τ1=2L

(22)

式(22)表明在進(jìn)行算法實(shí)現(xiàn)時(shí)應(yīng)當(dāng)考慮Δm=2L的特殊情況，一旦出現(xiàn)就可以鎖定θ=0。

3.3 根據(jù)給定誤差范圍選取訓(xùn)練序列周期L

(23)

Δf≤λ

(24)

此處考慮最壞的一種情形，即當(dāng)fdTs對應(yīng)的θ理論值并不是整數(shù)時(shí)，假設(shè)此時(shí)θ=k+1/2，k是整數(shù)。根據(jù)式(12)或(13)求出的θ值將可能是k，也可能是k+1，這種情形可以認(rèn)為誤差最大，且誤差Δf=1/(2TsL)。于是：

即：

(25)

式(25)指出了實(shí)際應(yīng)用中為滿足誤差精度要求條件下的訓(xùn)練序列的長度的下限值。

4 性能仿真

基于AWGN信道，針對不同的頻率偏移量fd進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，根據(jù)采樣定理，忽略原始基帶信號(hào)本身的帶寬，實(shí)際應(yīng)用中需保證帶有頻偏的基帶信號(hào)最高頻率(大頻偏時(shí)約等于頻偏值)小于采樣頻率的一半，在此范圍內(nèi)的任意大小的頻率偏移均可以由上述改進(jìn)后的算法估算出來。此外圖3還進(jìn)行了幾組對比實(shí)驗(yàn)，研究了不同信噪比下的估計(jì)性能。

圖3 不同信噪比下的估計(jì)性能

根據(jù)文獻(xiàn)[3]所述，算法估計(jì)的范圍不可能超過0.25，顯然通過進(jìn)一步研究可以實(shí)現(xiàn)更為廣范圍(上限值為0.5)的頻偏估計(jì)。此外，可以看出，信噪比越高，則頻偏估計(jì)越準(zhǔn)確、性能越好。

5 實(shí)踐與應(yīng)用

5.1 實(shí)驗(yàn)測試平臺(tái)簡介

本實(shí)驗(yàn)基于Zedboard+AD9361實(shí)驗(yàn)平臺(tái)。該開發(fā)板搭載了雙ARM Cores-A9 處理系統(tǒng)和85 000個(gè)7系列可編程單元。Zynq-7000 可以為板上許多應(yīng)用提供支持。Zedboard實(shí)驗(yàn)開發(fā)板由多路復(fù)用讀/寫口(Multiplexed I/O, MIO)、可編程邏輯單元(Programmable Logic,PL)、處理系統(tǒng)三大模塊構(gòu)成。

射頻部分采用的是AD9361，如圖4所示。AD9361射頻模塊的參數(shù)可通過SPI進(jìn)行配置，主要模塊的具體性能如下：

(1)收發(fā)天線數(shù)：AD9361支持集成的12位DAC和ADC的射頻2×2收發(fā)器。

(2)收發(fā)頻率范圍：AD9361發(fā)射天線與接收天線均支持70～6 000 MHz的頻率。

圖4 AD9361功能圖

AD9361射頻模塊支持2發(fā)2收的MIMO通信系統(tǒng)，工作頻段被設(shè)計(jì)為滿足4G通信要求，射頻主要參數(shù)設(shè)置見表1。

表1 射頻參數(shù)配置

5.2 系統(tǒng)模型

基于Zedboard+AD9361實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，搭建了一個(gè)小型的2發(fā)2收的MIMO通信系統(tǒng)，此系統(tǒng)以2.4 GHz為中心載頻，射頻板的具體參數(shù)配置如表1所示。發(fā)射站有兩根天線，其距離為8 cm(注：2.4 GHz載頻的波長大致為12 cm，MIMO系統(tǒng)天線間的距離需保證大于半波長(即6 cm)即可)。接收站天線的距離設(shè)置與發(fā)射站相同。

5.3 測試結(jié)果展示

對于頻偏估計(jì)而言，精度和估計(jì)的范圍往往是最重要的性能指標(biāo)[10]。此處為了提高精度，在設(shè)計(jì)無線幀時(shí)有意將訓(xùn)練序列長度設(shè)置得較長，取L=500。為驗(yàn)證改進(jìn)后的頻偏估計(jì)算法的可靠性并測試系統(tǒng)固有頻偏(即振蕩器之間的頻率誤差)，將發(fā)射端和接收端的射頻都設(shè)置為2.4 GHz。在發(fā)射端先發(fā)射一個(gè)探測信號(hào)：

sg(t)=exp(j2πfg)

(26)

其中，fg=2 MHz，然后在接收端對收到的含有固有頻偏的導(dǎo)頻信號(hào)應(yīng)用改進(jìn)后的算法進(jìn)行頻偏估計(jì)，利用MATLAB工具對含有固有頻偏的導(dǎo)頻信號(hào)進(jìn)行頻譜分析，整理得到頻偏估計(jì)值曲線和頻譜圖如圖5、圖6所示。

圖5 探測信號(hào)頻譜對比

圖6 探測信號(hào)頻譜峰值位移對比

通過計(jì)算，實(shí)線相對于虛線峰值移動(dòng)了12.188 kHz，也就說明固有頻偏為12.188 kHz，由表1知基帶采樣率為30.72 MHz，換算可得系統(tǒng)頻偏歸一化值為0.000 396。與此同時(shí)，采用算法估測的估計(jì)值如圖7所示。

圖7 系統(tǒng)固有頻偏實(shí)時(shí)估測

考慮振蕩器頻率本身會(huì)有一定的抖動(dòng)性(盡管通常這種抖動(dòng)可以忽略不計(jì))，將實(shí)時(shí)估測值寫入終端，從圖7可以看出，歸一化頻偏估計(jì)值為0.000 403，與理論系統(tǒng)頻偏值(0.000 396)的方差小于10-10，考慮到誤差的存在，可以認(rèn)為算法是可靠的。因此可進(jìn)一步研究在不同的頻偏下該算法的性能。

保持接收端解調(diào)頻率為2.4 GHz不變，人為調(diào)整發(fā)射載頻，即設(shè)置一些確定的頻偏值，然后將實(shí)時(shí)的估測值與設(shè)計(jì)的理論值(已含有系統(tǒng)固有頻偏)進(jìn)行對比(見表2)。從表中可以看出，估計(jì)值與理論值之間的方差均小于10-9。此外，表中最后一組數(shù)據(jù)很有意義，其說明了該算法可以估計(jì)范圍超過0.25的歸一化頻偏范圍。

表2 測試結(jié)果與理論值

6 結(jié)論

通過進(jìn)一步的研究，將文獻(xiàn)[3]關(guān)于大頻偏下的時(shí)間頻率同步方法所述的頻率估測范圍進(jìn)行了擴(kuò)展，使得該方法可以勝任更大范圍(以采樣頻率的一半為上限值，即歸一化頻偏值0.5)的頻偏估計(jì)，同時(shí)，給出了詳細(xì)的仿真。最后，將改進(jìn)后的算法應(yīng)用于實(shí)際的MIMO傳輸環(huán)境中，測試數(shù)據(jù)表明，該方法確實(shí)可以解決實(shí)際應(yīng)用中的頻率同步問題，并且在存在很大的頻偏時(shí)依然適用。

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