基于Petri網(wǎng)模型的自動線流程設(shè)計與分析

鄭金來,張 猛，熊昌秀，蔡愛林,丁 玲

(江蘇高精機(jī)電裝備有限公司，江蘇 鹽城 224053)

0 引言

在“工業(yè)4.0”背景下，學(xué)界與產(chǎn)業(yè)界越來越關(guān)注機(jī)床與生產(chǎn)線的智能化設(shè)計與應(yīng)用[1-3]。智能制造是制造業(yè)發(fā)展的主要方向，機(jī)器人是實(shí)現(xiàn)智能制造的重要支撐手段[4]。工業(yè)機(jī)器人與智能制造結(jié)合得愈發(fā)緊密[5]。然而，機(jī)器人在將自動線變得更加高效智能的同時，也將自動線的動作流程變得更加復(fù)雜。如何利用好機(jī)器人來實(shí)現(xiàn)自動線最高效的生產(chǎn)動作流程，成為了自動線設(shè)計過程中至關(guān)重要的方面。在實(shí)踐中，傳統(tǒng)的設(shè)計方法一般是先通過粗略預(yù)估自動線各個單體動作的時間，而后依靠經(jīng)驗(yàn)來預(yù)想一個大致流程。這樣的方法一方面在處理高度復(fù)雜的自動線時顯得力不從心，另一方面需要在自動線組裝完成后，消耗大量時間進(jìn)行調(diào)試。

Petri[6]網(wǎng)是一種對離散并行系統(tǒng)的數(shù)學(xué)表示，該理論在工作流，特別是半導(dǎo)體晶元加工系統(tǒng)的設(shè)計中得到了廣泛的應(yīng)用[7-9]。本文結(jié)合某實(shí)際自動線設(shè)計制造項(xiàng)目，通過事先精準(zhǔn)預(yù)估各個單體動作時間，依靠時序Petri網(wǎng)理論對自動線進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，而后再根據(jù)混合整數(shù)規(guī)劃理論，提出了一種針對包含機(jī)器人的并行自動生產(chǎn)線的最優(yōu)流程設(shè)計與分析方法，取得了很好的實(shí)踐應(yīng)用效果。

1 含機(jī)器人自動線的組成與關(guān)鍵動作

1.1 含機(jī)器人自動線的組成及功能描述

含機(jī)器人自動生產(chǎn)線的組成大致如圖1所示，其由上料滾道、下料滾道、四臺相同功能的機(jī)床單機(jī)、兩個料架、以及一臺機(jī)器人組成。將四臺相同功能的機(jī)床單機(jī)集成到一條生產(chǎn)線中，目的是通過并行加工，加快工件的生產(chǎn)節(jié)拍。機(jī)器人將從上料滾道末端取下待加工坯料，而后放置到一臺空閑機(jī)床中進(jìn)行加工。待一件工件加工完成后，機(jī)器人將其從所在機(jī)床中取下，而后放置到下料滾道。

圖1 含機(jī)器人自動線的組成示意圖

特別地，為了減少機(jī)器人的空載移動，提高機(jī)器人調(diào)度四臺機(jī)床單機(jī)協(xié)同加工的效率，設(shè)置了兩個料架，每個料架設(shè)置有兩個工位，用于臨時放置待加工的坯料或者加工完成的工件。也正是由于這兩個緩沖料架的存在，使得整條自動線，特別是機(jī)器人的動作流程設(shè)計變得復(fù)雜。另一方面，由于在加工過程中，坯料或工件會被臨時放置在料架上，從而增加了其被機(jī)器人抓起或放下的次數(shù)，因此，料架在該自動線中的存在是否合理同樣是需要分析與探討的問題。

1.2 含機(jī)器人自動線的關(guān)鍵動作及動作時長

為了能夠?qū)υ撟詣泳€進(jìn)行準(zhǔn)確建模和正確分析，首先確定該自動線的一些關(guān)鍵動作，并且較為精準(zhǔn)地預(yù)估完成這些單體動作所需要的時間。

含機(jī)器人自動線的關(guān)鍵動作主要有：機(jī)器人上夾具對坯料或工件的抓取或放下、機(jī)器人在上料滾道或下料滾道與料架之間的移動、機(jī)器人在料架與機(jī)床加工工位之間的移動、機(jī)器人在上料滾道或下料滾道與機(jī)床加工工位之間的移動、以及機(jī)床對坯料進(jìn)行加工。上述關(guān)鍵動作的符號、定義及估測時間如表1所示。

表1 含機(jī)器人自動線關(guān)鍵動作定義及動作時長

2 含機(jī)器人自動線的模型構(gòu)建方法

在分析得到含機(jī)器人并行自動生產(chǎn)線的關(guān)鍵動作，并精準(zhǔn)估測了各關(guān)鍵動作的時長后，嘗試?yán)脮r序Petri網(wǎng)[10]對該并行自動生產(chǎn)線進(jìn)行數(shù)學(xué)建模。時序Petri網(wǎng)模型能夠有效表征實(shí)際系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)和工作邏輯，便于進(jìn)行深入的理論分析。

2.1 模型定義

(1)P={p1,p2,…,pm}是所有庫所的有限集合；

(2)T={t1,t2,…,tn}是所有變遷的有限集合；

(3)I:(P×T)是輸入函數(shù)，在圖模型中由從庫所指向變遷的弧邊表示；

(4)O:(T×P)是輸出函數(shù)，在圖模型中由從變遷指向庫所的弧邊表示；

(5)K0=[k1,0,k2,0,…,km,0]表示各個庫所初始狀態(tài)時的令牌數(shù)量；

(6)H=[h1,h2,…,hm] 表示各個庫所的時間延遲。

此外，庫所中包含令牌，表示與該庫相關(guān)聯(lián)的資源是可使用的，令牌的數(shù)量表示可使用資源的數(shù)量，當(dāng)一個資源被占用時，庫所將失去一個令牌。當(dāng)一個變遷的每個輸入庫所都擁有令牌時，該變遷才允許發(fā)生。若該變遷發(fā)生，輸入庫所的令牌被消耗，同時為輸出庫所產(chǎn)生令牌。

圖2 含機(jī)器人自動線Petri網(wǎng)模型

2.2 Petri網(wǎng)模型

圖2所示的含機(jī)器人自動線的Petri網(wǎng)模型，共有8個變遷，10個庫所。表2詳細(xì)說明了各個變遷或庫所的具體含義，以及相對應(yīng)的時間延遲。

表2 變遷與庫所的具體說明

其中，庫所p5代表機(jī)床可用工位，因該自動線包含4臺相同功能機(jī)床，每臺機(jī)床一個工位，故p5的初始令牌數(shù)k5,0=4。庫所p9代表機(jī)器人可用工位，該自動線包含的機(jī)器人僅有一個工位，因此p9的初始令牌數(shù)k9,0=1。庫所p10代表料架可用工位，如1.1節(jié)所說，該自動線包含兩個料架共四個工位，因此p10的初始令牌數(shù)k10,0=4。各變遷無時間延遲，各庫所的時間延遲由加床加工時間、機(jī)器人夾具夾緊或松開時間、以及機(jī)器人位移運(yùn)動時間構(gòu)成，具體的時間如表1所示。至此，得到了含機(jī)器人自動生產(chǎn)線的完整時序Petri網(wǎng)模型。

3 含機(jī)器人自動線流程設(shè)計優(yōu)化方法

在數(shù)學(xué)建?；A(chǔ)上，通過理論分析與混合整數(shù)規(guī)劃的方法，完成含機(jī)器人自動線的動作流程設(shè)計優(yōu)化。

3.1 理論分析計算

自動生產(chǎn)線的動作流程是按周期循環(huán)的，設(shè)含機(jī)器人自動線的最小周期為λ，現(xiàn)計算λ的理論下界。為了方便，簡化模型，機(jī)器人位移運(yùn)動的時間均取值表1中的最長位移時間，3s。

從機(jī)器人的動作角度考慮，因?yàn)榇嬖诹霞艿脑O(shè)計，一件坯料經(jīng)過加工到最終成為工件完成下料動作，所以至少需要經(jīng)過8次抓起或放下加8次移動，共計8×(4+3)=56s。這一時間也就是有機(jī)器人運(yùn)動確定的另一個λ的下界。

綜上分析，通過理論計算，取兩種理論下界較大值，含機(jī)器人自動線的理論最短動作周期為58.75s。下面將通過對目標(biāo)函數(shù)及約束條件的構(gòu)建，通過混合整數(shù)規(guī)劃的方法，得到一套該型自動線的動作時序方案，盡可能實(shí)現(xiàn)接近理論值的運(yùn)行周期。

3.2 混合整數(shù)規(guī)劃方法

非常直接地，試圖得到最短的自動線動作周期，那么目標(biāo)函數(shù)就設(shè)為：minλ。

下面，將從時序Petri網(wǎng)模型中提取上述優(yōu)化問題的約束條件。首先，設(shè)xi∈X為變遷ti發(fā)生的時刻，設(shè)sj∈S為第j個發(fā)生的變遷的發(fā)生時刻。定義8×8矩陣Z，其中zi,j=1代表變遷ti是在一個周期內(nèi)第j個發(fā)生的變遷。Zj為矩陣Z的第j列。定義8×10矩陣A，表示時序Petri網(wǎng)模型的令牌轉(zhuǎn)移矩陣，aij表示當(dāng)變遷tj發(fā)生時，庫所pi的令牌變化，1表示增加一個令牌，-1表示減少一個令牌。最后，定義10×8矩陣K作為模型中各庫所的狀態(tài)矩陣，ki,j代表一個周期內(nèi)，觸發(fā)j次變遷后，庫所pi的令牌數(shù)量。Kj為矩陣K的第j列，K0即表示初始令牌狀態(tài)。其中，ti是庫所pl的前序變遷，tj是庫所pl的后序變遷。

約束1：對于模型中的p1,p2,p3,p4,p5,p6p7,p8,這8個庫所的前序及后序變遷都是固定的。因此，

xj-xi≥hl-kl,0λl=1,2,3,4,5,6,7,8

約束2：狀態(tài)轉(zhuǎn)移約束。在本文討論的問題中，令牌轉(zhuǎn)移矩陣具體為：

故有狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：

Kj=Kj-1+ATZj,j=1,2,…,8

約束3：一個周期內(nèi)，每個變遷只能被觸發(fā)一次，且同一時刻僅能觸發(fā)一個變遷。因此，本優(yōu)化問題具有以下約束：

約束4：因?yàn)閟j表示第j個發(fā)生的變遷的發(fā)生時刻，且任意相鄰兩次變遷之間均間隔一次抓取或放下，外加一次機(jī)器人位移運(yùn)動。同樣，為了方便計算，簡化模型，將位移運(yùn)動的時間統(tǒng)一為最長時間v=3s，因此應(yīng)滿足約束：

sj-sj+1≤-(w+v),j=1,2,…,7
s8-(s1+λ)≤-(w+v)

約束5：xi與sj之間將通過zij關(guān)聯(lián)起來，具體如下所示：

sj-xi≤(1-zij)B
sj-xi≥(zij-1)B

這樣，若zij=1，則有sj=xi，表示變遷ti是在一個周期內(nèi)第j個被觸發(fā)的。

約束6：初始令牌狀態(tài)約束。同一個令牌，僅能按照模型的結(jié)構(gòu)，在一個Petri網(wǎng)的部分庫所中轉(zhuǎn)移。具體的，在本問題中，令牌的初始狀態(tài)應(yīng)滿足約束：

k1,0+k3,0+k6,0+k8,0+k9,0=1
k4,0+k5,0=4
k2,0+k7,0+k10,0=4

接下來，就應(yīng)當(dāng)在滿足上述6個約束條件的同時，優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)。由于該優(yōu)化問題中的變量，部分是整數(shù)變量，有些是0-1變量，還有些是實(shí)數(shù)變量，因此，該優(yōu)化問題是典型的混合整數(shù)規(guī)劃問題。

如果能得到最優(yōu)值λ*及最優(yōu)解中的Z*與S*，也就得到了該自動線動作流程的最短周期與各單體動作時序，也就完成了最優(yōu)流程的設(shè)計。

4 問題求解

按照上一節(jié)詳細(xì)描述的優(yōu)化目標(biāo)和約束條件，以LINGO 11.0為開發(fā)工具，在Windows系統(tǒng)環(huán)境下，編寫代碼對該混合整數(shù)規(guī)劃問題進(jìn)行求解。最終，得到的目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值如下所示：

λ*=58.75

這與3.1節(jié)中分析計算得到的該自動線動作周期的理論最小值相吻合，兩相印證，證明了3.1節(jié)理論計算的合理性，同時證明了優(yōu)化結(jié)果的準(zhǔn)確性。

此外，該最優(yōu)值所對應(yīng)的最優(yōu)解不是唯一的，其中一組典型的最優(yōu)解如下所示：

進(jìn)一步地，將上述最優(yōu)解所表示的含機(jī)器人自動線的一組最優(yōu)動作流程及時序，以表3的形式詳細(xì)地說明。

表3 含機(jī)器人自動線的最優(yōu)動作流程

通過觀察其它最優(yōu)解所表示的最優(yōu)動作流程，發(fā)現(xiàn)雖然它們之間各有不同，但是變遷5、6、3、4的前后相鄰組合總是不變的。分析這四個變遷的實(shí)際意義可以發(fā)現(xiàn)，這樣的前后相鄰組合可以保證機(jī)床空閑的時間最短，從而實(shí)現(xiàn)自動線最高效率的生產(chǎn)。下面一節(jié)將對所求結(jié)果進(jìn)一步深入分析。

5 料架設(shè)計與最優(yōu)解的合理性分析

之前的研究，在自動線設(shè)計中存在兩個料架的前提條件下，得到了其最優(yōu)動作流程。然而，前提條件的合理性同樣值得研討。

料架的設(shè)計能夠使得機(jī)器人在生產(chǎn)線上位移運(yùn)動的最長時間v減半。按照3.1節(jié)的理論分析，設(shè)計中存在料架時，自動線運(yùn)行周期的下界λ1為：

當(dāng)設(shè)計中不存在料架時，由加工工序確定的周期下界中，每次位移運(yùn)動的時長變?yōu)榇嬖诹霞軙r的兩倍。另一方面，由機(jī)器人運(yùn)動確定的周期下界中，運(yùn)動次數(shù)由八次減為四次，每次的位移運(yùn)動的時長同樣變?yōu)榇嬖诹霞軙r的兩倍。因此，不存在料架設(shè)計的自動線運(yùn)行周期的下界λ2如下所示：

若在自動線中設(shè)置兩個料架為合理設(shè)計，那么就必須滿足以下條件：

λ1<λ2

求解這一不等式，可以得到邊界條件：

v<3.76

即只有機(jī)器人在上料或下料滾道移動與料架之間運(yùn)動的所需時間少于3.76s的條件下，在自動線中設(shè)置兩個料架才是合理的設(shè)計。因?yàn)樵诒疚乃懻摰淖詣泳€中，這一時間可以控制在3s，所以含機(jī)器人自動線中的料架設(shè)計是合理的，本文之前得到的其最優(yōu)動作流程設(shè)計也是合理的。

6 總結(jié)

以含機(jī)器人自動生產(chǎn)線為研究對象，依照時序Petri網(wǎng)理論對其完成了數(shù)學(xué)建模。按照所得Petri網(wǎng)模型的結(jié)構(gòu)和約束關(guān)系，一方面通過理論分析計算，得到了自動線運(yùn)行周期的理論下界；另一方面，完成了目標(biāo)函數(shù)的確立與約束條件的提取，將一個自動生產(chǎn)線的流程設(shè)計問題成功轉(zhuǎn)化為一個混合整數(shù)規(guī)劃的數(shù)學(xué)優(yōu)化問題。借助數(shù)學(xué)優(yōu)化工具，成功求解了所提優(yōu)化問題，得到了與理論計算相同的最優(yōu)值，且在獲取最優(yōu)解的同時，得到了該自動線的最優(yōu)動作流程。

進(jìn)一步的理論分析展現(xiàn)了上述方法不僅能高效求解已知結(jié)構(gòu)下的最優(yōu)動作流程，還能夠嚴(yán)謹(jǐn)?shù)貦z驗(yàn)自動線結(jié)構(gòu)設(shè)計的合理性，從而避免在自動線結(jié)構(gòu)不合理的基礎(chǔ)上盲目而徒勞地設(shè)計動作流程。

綜上，通過研究，本文提出并實(shí)踐了一種依靠數(shù)學(xué)理論，設(shè)計自動生產(chǎn)線動作流程的高效方法，取得了很好的實(shí)際效果，對企業(yè)實(shí)際設(shè)計工作具有重要的指導(dǎo)意義。

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