基于剛?cè)狁詈辖５?R機(jī)器人位置誤差分析

侯小雨，朱華炳，江 磊

(合肥工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，合肥 230009)

0 引言

隨著工業(yè)技術(shù)的飛速發(fā)展，6自由度串聯(lián)機(jī)器人已被廣泛應(yīng)用于各種工業(yè)生產(chǎn)中，極大地提高了企業(yè)的生產(chǎn)效率。目前市場(chǎng)上的6自由度串聯(lián)機(jī)器人的重復(fù)定位精度基本可以保證在0.1mm以?xún)?nèi)，但是絕對(duì)定位精度一般都比較低[1]，這樣的絕對(duì)定位精度水平已經(jīng)不能滿足一些高精度操作作業(yè)場(chǎng)合的需要。國(guó)內(nèi)外從20世紀(jì)80年代就開(kāi)始了這方面的研究工作，形成了多種誤差分析和補(bǔ)償方法，多數(shù)是通過(guò)標(biāo)定的方法提高機(jī)器人絕對(duì)定位精度[2-4]，可以很大程度降低由制造和安裝產(chǎn)生的誤差；研究機(jī)械臂自重和負(fù)載變化引起機(jī)器人末端執(zhí)行器的位置誤差[5-7]。

本文針對(duì)機(jī)器人在不同工況下運(yùn)行軌跡、速度和加速度以及末端負(fù)載的不同，綜合考慮機(jī)器人的連桿和關(guān)節(jié)的柔性，通過(guò)分析上述各動(dòng)態(tài)因素對(duì)機(jī)器人精度造成的影響，達(dá)到對(duì)誤差進(jìn)行預(yù)測(cè)的目的，為機(jī)器人誤差補(bǔ)償提供參考。

1 機(jī)器人誤差分析與軌跡規(guī)劃

1.1 FANUC M-6iB機(jī)器人誤差建模及分析

FANUC M-6iB機(jī)器人是一種6自由度串聯(lián)機(jī)器人，具有6個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)。FANUC M-6iB機(jī)器人本體是由基座、機(jī)身、大臂、小臂、腕部及末端執(zhí)行器組成，最大負(fù)載為6kg，重復(fù)定位精度為0.08mm,本體質(zhì)量為138kg。利用DH法則建立FANUC M-6iB機(jī)器人連桿坐標(biāo)系，如圖1所示，得到對(duì)應(yīng)的DH參數(shù)，見(jiàn)表1所列。

DH參數(shù)是對(duì)機(jī)器人本體結(jié)構(gòu)和位姿的一種簡(jiǎn)單描述，因此在研究各因素對(duì)機(jī)器人末端位姿精度的影響時(shí)可先轉(zhuǎn)化成對(duì)機(jī)器人本體結(jié)構(gòu)的影響即DH參數(shù)的誤差情況，再通過(guò)誤差模型計(jì)算出機(jī)器人末端位姿誤差。

圖1 FANUC M-6iB機(jī)器人DH連桿坐標(biāo)系

關(guān)節(jié)iαi(°)ai(mm)θi(°)di(mm)1-9015090+θ14502180600-90+θ203-90200θ304900θ4-6405-900-90+θ50600θ6-100

本論文中的誤差模型主要是基于微分運(yùn)動(dòng)的思想建立DH參數(shù)微小變化量與機(jī)器人末端位姿誤差之間的關(guān)系。各關(guān)節(jié)坐標(biāo)系位姿誤差到末端工具坐標(biāo)系位姿誤差的微分變換矩陣，具體表示如下：

將上式中各關(guān)節(jié)坐標(biāo)系位姿誤差轉(zhuǎn)化為各關(guān)節(jié)DH參數(shù)變化量，建立機(jī)器人微分運(yùn)動(dòng)與坐標(biāo)系微分運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系。

式中，n、o、a、p為i號(hào)坐標(biāo)系到工具坐標(biāo)系變換矩陣iT6中的向量。

此時(shí)微分運(yùn)動(dòng)[TdxTdyTdzTδxTδyTδz]T是相對(duì)于工具坐標(biāo)系的，通過(guò)左乘iT6的三階順序主子式將其轉(zhuǎn)換為相對(duì)基坐標(biāo)系的微分運(yùn)動(dòng)。

為了快速準(zhǔn)確分析出機(jī)器人處于不同位置和姿態(tài)時(shí)DH參數(shù)微小偏差對(duì)末端定位精度的影響，采取在MATLAB中編程的方式并進(jìn)行實(shí)例計(jì)算。假設(shè)α和θ的微小偏差量為0.001rad，a和d的微小偏差量為0.001mm，機(jī)器人處于初始位姿狀態(tài)。即可得出各關(guān)節(jié)DH參數(shù)發(fā)生微小變化時(shí)機(jī)器人末端位置的變化情況，具體數(shù)值見(jiàn)表2所列。

表2 DH參數(shù)誤差影響下機(jī)器人末端位置誤差值

由表2可得出以下結(jié)論：DH參數(shù)誤差量Δθ和Δα大小相同的情況下，Δθ的影響程度略大于Δα；Δa和Δd的影響程度相近只是誤差變化方向不同；遠(yuǎn)離機(jī)器人末端的關(guān)節(jié)DH參數(shù)發(fā)生微小偏差對(duì)末端定位精度影響較大。

1.2 FANUC M-6iB機(jī)器人軌跡規(guī)劃

由于后續(xù)的動(dòng)力學(xué)仿真需要通過(guò)控制6個(gè)關(guān)節(jié)的角位移使機(jī)器人末端運(yùn)行軌跡為一條直線，故在MATLAB中利用Robotics Toolbox對(duì)目標(biāo)機(jī)器人進(jìn)行數(shù)值建模[8]，然后在笛卡爾空間內(nèi)進(jìn)行軌跡規(guī)劃。

為了與后續(xù)的誤差測(cè)量試驗(yàn)形成對(duì)照，故需要設(shè)定與試驗(yàn)相同的運(yùn)動(dòng)軌跡和速度。數(shù)值仿真模型在初始位置時(shí)末端坐標(biāo)為(0,790,1150)，起點(diǎn)坐標(biāo)為(-102,716,500)，終點(diǎn)坐標(biāo)為(-375,1160,155)；速度通過(guò)位移和仿真時(shí)間確定。得到機(jī)器人各關(guān)節(jié)角位移隨時(shí)間變化曲線，如圖2所示。

圖2 各關(guān)節(jié)角位移隨時(shí)間變化曲線

2 剛?cè)狁詈夏Ｐ蛣?dòng)力學(xué)仿真分析

2.1 模型創(chuàng)建

機(jī)器人的連桿和關(guān)節(jié)都具有一定程度的柔性，在本體自重、慣性力和末端載荷等因素作用下會(huì)產(chǎn)生彈性變形，屬于一種典型的剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)[9]。

(1)建立柔性連桿。機(jī)器人連桿變形主要是由于連桿細(xì)長(zhǎng)結(jié)構(gòu)所引起的，因此2、4連桿由于其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)在自重和末端載荷作用下對(duì)末端執(zhí)行器誤差影響較大，因此僅將2、4連桿考慮成柔性體[10]。首先利用ANSYS軟件建立連桿柔性體，得到含有柔性連桿的機(jī)器人虛擬樣機(jī)模型，如圖3所示。

圖3 柔性連桿機(jī)器人虛擬樣機(jī)模型

(2)建立柔性關(guān)節(jié)。機(jī)器人關(guān)節(jié)形變主要是減速器、齒輪箱等傳動(dòng)機(jī)構(gòu)剛性不足所造成的，可以將關(guān)節(jié)的柔性簡(jiǎn)化成用扭轉(zhuǎn)彈簧來(lái)表示[11]，通過(guò)定義關(guān)節(jié)力矩函數(shù)實(shí)現(xiàn)。以關(guān)節(jié)2為例，在連桿1和減速器之間添加旋轉(zhuǎn)副和旋轉(zhuǎn)驅(qū)動(dòng)，在減速器和連桿2之間添加旋轉(zhuǎn)副和關(guān)節(jié)力矩, 關(guān)節(jié)力矩函數(shù)為3.29e9·AZ(MARKER_7, MARKER_6)，其中的3.29e9是指關(guān)節(jié)2處RV減速器的剛度為3.29×109N·mm/deg；AZ(MARKER_7, MARKER_6)是指連桿1和連桿2在Z方向的相對(duì)轉(zhuǎn)角。得到的機(jī)器人柔性關(guān)節(jié)2模型如圖4所示。

圖4 機(jī)器人柔性關(guān)節(jié)2模型示意圖

(3)機(jī)器人各個(gè)關(guān)節(jié)在實(shí)際運(yùn)動(dòng)中都存在摩擦現(xiàn)象，為使仿真更加貼合實(shí)際情況，采用在關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)副上添加摩擦系數(shù)的方法模擬[12]，設(shè)定各關(guān)節(jié)最大靜摩擦系數(shù)為0.5，動(dòng)摩擦系數(shù)為0.08。

剛?cè)狁詈夏Ｐ偷尿?qū)動(dòng)采用樣條曲線方式，利用前一章中Robotics Toolbox軌跡規(guī)劃得到的各關(guān)節(jié)角位移，在ADAMS中通過(guò)Data Elements功能建立各關(guān)節(jié)樣條曲線SPLINE，對(duì)應(yīng)的驅(qū)動(dòng)函數(shù)為CUBSPL (time,0,SPLINE_1,0)。

2.2 運(yùn)行速度和加速度變化動(dòng)力學(xué)仿真

為保證機(jī)器人末端運(yùn)行軌跡始終為直線，在研究運(yùn)行速度和加速度變化對(duì)末端精度造成的影響時(shí)，采用控制運(yùn)行時(shí)間的方式間接控制機(jī)器人末端運(yùn)行速度，例如當(dāng)運(yùn)行速度為200mm/s時(shí)對(duì)應(yīng)的運(yùn)行時(shí)間為6.4s，不單獨(dú)考慮升降速階段所需的時(shí)間，仿真過(guò)程中末端速度變化如圖5所示。

圖5 仿真時(shí)間為6.4s時(shí)末端速度變化曲線圖

以運(yùn)行速度為40mm/s時(shí)對(duì)應(yīng)的位置坐標(biāo)為基準(zhǔn)，計(jì)算得到不同運(yùn)行速度對(duì)應(yīng)的末端X、Y、Z三個(gè)方向的位置誤差值，見(jiàn)表3所列。

表3 不同運(yùn)行速度對(duì)應(yīng)的仿真誤差值

2.3 末端載荷變化動(dòng)力學(xué)仿真

為與后續(xù)的試驗(yàn)形成對(duì)照，仿真時(shí)末端載荷力的設(shè)置須與試驗(yàn)中負(fù)載重量一致，以末端載荷力為0N時(shí)對(duì)應(yīng)的位置坐標(biāo)為基準(zhǔn)，得到不同末端載荷對(duì)應(yīng)的末端X、Y、Z三個(gè)方向的位置誤差值，見(jiàn)表4所列。

表4 不同末端載荷力對(duì)應(yīng)仿真誤差值

3 位置誤差測(cè)量試驗(yàn)

3.1 試驗(yàn)方案設(shè)計(jì)

本試驗(yàn)通過(guò)自主設(shè)計(jì)的測(cè)量裝置及變載荷方盒，以FANUC M-6iB機(jī)器人為研究對(duì)象進(jìn)行試驗(yàn)研究。其中測(cè)量裝置是由3個(gè)SGC-W10微位移光柵傳感器和1個(gè)測(cè)量臺(tái)架組成的，3個(gè)傳感器分別測(cè)量X、Y和Z方向的位移偏差；方盒內(nèi)部可按需要裝入0至5枚砝碼，以此來(lái)調(diào)節(jié)末端載荷的質(zhì)量，如圖6所示。

圖6 傳感器和末端負(fù)載安裝實(shí)物圖

本試驗(yàn)采用的傳感器分辨率為1μm，F(xiàn)ANUC M-6iB機(jī)器人重復(fù)定位精度為±0.08mm，因此選擇此位移傳感器測(cè)量機(jī)器人定位精度是滿足要求的。測(cè)量結(jié)果通過(guò)數(shù)顯表顯示，因需要進(jìn)行多次重復(fù)試驗(yàn)，為簡(jiǎn)化記錄過(guò)程采用RS235串口與計(jì)算機(jī)通訊，最后通過(guò)電腦上的串口通訊助手軟件接收傳感器的測(cè)量數(shù)據(jù)。

為了確保以上實(shí)驗(yàn)裝置的有效性，在試驗(yàn)前需要對(duì)整個(gè)試驗(yàn)裝置進(jìn)行調(diào)試。手動(dòng)控制機(jī)器人使其末端方盒與三個(gè)傳感器接觸，然后旋轉(zhuǎn)機(jī)器人第六關(guān)節(jié)使方盒表面與X、Y和Z方向傳感器測(cè)量頭垂直，記錄此時(shí)的末端姿態(tài)為wd=-180°、pd=0°和rd=24°，試驗(yàn)過(guò)程中使機(jī)器人末端保持這個(gè)姿態(tài)不發(fā)生改變，這樣就無(wú)需考慮旋轉(zhuǎn)角度的影響[13]。

3.2 運(yùn)行速度變化的末端誤差測(cè)量試驗(yàn)

通過(guò)現(xiàn)場(chǎng)對(duì)機(jī)器人進(jìn)行示教選擇直線運(yùn)動(dòng)類(lèi)型，最高運(yùn)行速度為400mm/s。實(shí)驗(yàn)過(guò)程中通過(guò)示教盒上的速度倍率按鍵控制機(jī)器人的實(shí)際運(yùn)行速度，速度倍率分別為10%、20%、…100%，即10組實(shí)驗(yàn)對(duì)應(yīng)的運(yùn)行速度分別為40、80、…400mm/s。方盒內(nèi)不放置砝碼，每組試驗(yàn)循環(huán)進(jìn)行50次，對(duì)三個(gè)傳感器的數(shù)值分別求其算術(shù)平均值，結(jié)果見(jiàn)表5所列。

表5 不同運(yùn)行速度對(duì)應(yīng)的傳感器數(shù)值

隨著運(yùn)行速度的增大，速度對(duì)機(jī)器人末端定位精度的影響也越來(lái)越大，為研究它們之間的定量關(guān)系，此處以40mm/s的運(yùn)行速度為基準(zhǔn)，因?yàn)闄C(jī)器人在低速運(yùn)動(dòng)時(shí)末端位姿誤差量較小，故默認(rèn)當(dāng)運(yùn)行速度低于40mm/s時(shí)速度不對(duì)機(jī)器人末端定位精度產(chǎn)生影響，誤差為0。計(jì)算得到不同運(yùn)行速度對(duì)應(yīng)的相對(duì)誤差值，變化趨勢(shì)如圖7所示。

圖7 不同運(yùn)行速度對(duì)應(yīng)的實(shí)驗(yàn)誤差曲線

由圖可知：X、Y、Z三個(gè)方向的誤差均隨著運(yùn)行速度的增大而增大，且誤差變化的趨勢(shì)是沿著運(yùn)動(dòng)的方向。

將該實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與表3的數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，X、Y、Z三個(gè)方向?qū)嶒?yàn)與仿真誤差之間的最大偏差分別為0.055mm、0.067mm、0.091mm，二者產(chǎn)生偏差的原因主要是仿真過(guò)程中機(jī)器人末端在停止前的降速過(guò)程趨于線性且存在波動(dòng)，而實(shí)驗(yàn)中FANUC M-6iB機(jī)器人降速過(guò)程類(lèi)似S型曲線更加平緩。在誤差允許的范圍內(nèi)可以證明剛?cè)狁詈夏Ｐ蛣?dòng)力學(xué)仿真是比較準(zhǔn)確的。

3.3 末端負(fù)載變化的末端誤差測(cè)量試驗(yàn)

試驗(yàn)中通過(guò)在機(jī)器人末端的鋁制方盒內(nèi)添加一定數(shù)量的砝碼來(lái)調(diào)節(jié)負(fù)載的質(zhì)量，鋁制方盒的質(zhì)量為1.678kg，其余4個(gè)砝碼的質(zhì)量分別為0.909kg、0.791kg、0.790kg和0.786kg。測(cè)量得到不同末端負(fù)載條件下三個(gè)傳感器的數(shù)據(jù)，其中負(fù)載為0kg時(shí)的試驗(yàn)是利用機(jī)器人末端法蘭盤(pán)分別與三個(gè)微位移傳感器接觸，然后結(jié)合方盒尺寸及安裝位置計(jì)算而得，結(jié)果見(jiàn)表6所列。

表6 不同運(yùn)行速度對(duì)應(yīng)的傳感器數(shù)值

為排除其他因素如機(jī)械臂自重和傳動(dòng)誤差等對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果影響, 單獨(dú)研究末端負(fù)載與機(jī)器人定位精度的關(guān)系，故采取默認(rèn)末端負(fù)載為0kg時(shí)機(jī)器人末端位置誤差為0mm，并以此時(shí)傳感器的數(shù)值為基準(zhǔn)的方法計(jì)算不同末端負(fù)載對(duì)應(yīng)的位置誤差，結(jié)果見(jiàn)表7所列。

表7 不同末端負(fù)載對(duì)應(yīng)的實(shí)驗(yàn)誤差值

分析表7中實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可知：X、Y、Z三個(gè)方向的誤差均隨著末端負(fù)載增大而增大，其中X和Y方向誤差變化的趨勢(shì)是沿著運(yùn)動(dòng)的反方向，而Z方向誤差變化的趨勢(shì)是沿著運(yùn)動(dòng)的方向，且Z方向定位精度受末端負(fù)載的影響程度較其它兩個(gè)方向更大。

將該表中數(shù)據(jù)與表4的數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，X、Y、Z三個(gè)方向?qū)嶒?yàn)與仿真數(shù)據(jù)之間的最大偏差分別為0.044mm、0.040mm、0.028mm，由此可以證明剛?cè)狁詈夏Ｐ蛣?dòng)力學(xué)仿真是比較準(zhǔn)確的。

4 誤差綜合分析

4.1 離散誤差數(shù)據(jù)擬合

MATLAB中的curve fitting toolbox提供了用于擬合曲線和曲面數(shù)據(jù)的應(yīng)用程序和函數(shù)，使用該工具箱可以完成探索性數(shù)據(jù)分析。使用該工具箱中的Polynomial、Fourier等多種函數(shù)對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，以對(duì)X方向數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合為例：Polynomial的擬合效果：SSE=1.3e-4，R=0.988；Fourier的擬合效果：SSE=4.8e-5，R=0.996，因此Fourier函數(shù)的擬合效果更優(yōu)。末端運(yùn)行速度的擬合區(qū)間為(40,400)mm/s，末端負(fù)載的擬合區(qū)間為(0,6)kg。

(1)末端運(yùn)行速度與末端三個(gè)方向誤差值的擬合方程如下：

fX(x)=0.0514-0.0564cos(0.0062x)+0.0195sin(0.0062x)
fY(x)=0.0609-0.0635cos(0.0072x)-0.0006sin(0.0072x)
fZ(x)=0.0459-0.0544cos(0.0053x)+0.0377sin(0.0053x)

(2)末端負(fù)載與末端三個(gè)方向誤差值的擬合方程如下：

fX(y)=0.1324-0.1323cos(0.1717y)+0.1862sin(0.1717y)
fY(y)=0.1054-0.1054cos(0.3604y)+0.0609sin(0.3604y)
fZ(y)=147.3460-147.3460cos(0.0061y)+9.8840sin(0.0061y)

4.2 誤差綜合

由連桿和關(guān)節(jié)柔性引起的誤差可以進(jìn)行線性疊加，而機(jī)器人運(yùn)行速度和末端負(fù)載變化很大程度上影響的是連桿和關(guān)節(jié)的形變，故采用線性疊加的方法對(duì)運(yùn)行速度和末端負(fù)載變化產(chǎn)生的誤差進(jìn)行綜合。由此分別得到機(jī)器人末端X、Y、Z三個(gè)方向的綜合誤差計(jì)算公式為：

fX(x,y)=-0.0809-0.0564cos(0.0062x)+
0.0195sin(0.0062x)+0.1323cos(0.1717y)-0.1862sin(0.1717y)

fY(x,y)=-0.0443-0.0635cos(0.0072x)-
0.0006sin(0.0072x)+0.1054cos(0.3604y)-0.0609sin(0.3604y)

fZ(x,y)=147.3460-0.0544cos(0.0053x)+
0.0377sin(0.0053x)-147.3460cos(0.0061y)+9.8840sin(0.0061y)

4.3 實(shí)例驗(yàn)證

為驗(yàn)證綜合計(jì)算公式的正確性，下面將利用實(shí)例進(jìn)行驗(yàn)證：

(1)實(shí)驗(yàn)測(cè)量機(jī)器人運(yùn)行速度為40mm/s，末端負(fù)載為0kg時(shí)X、Y和Z三個(gè)方向傳感器數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值為2.569mm、1.959mm和5.391mm。

(2)機(jī)器人運(yùn)行速度為180mm/s，末端負(fù)載為5kg時(shí)X、Y和Z三個(gè)方向傳感器數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值為2.417mm、1.802mm和5.776mm。

(3)以(1)中測(cè)量數(shù)據(jù)為基準(zhǔn)，計(jì)算由180mm/s速度和5kg負(fù)載引起的三個(gè)方向的誤差值分別為-0.152mm、-0.157mm和0.385mm。

(4)利用綜合誤差公式計(jì)算可知此時(shí)機(jī)器人末端X、Y和Z三個(gè)方向位置誤差分別為-0.143mm、-0.145mm和0.369mm。

對(duì)比由實(shí)驗(yàn)結(jié)果計(jì)算得出的誤差值和綜合誤差計(jì)算公式得出的誤差值，二者在X、Y和Z三個(gè)方向上的偏差分別為0.009mm、0.012mm和0.016mm，因此文中推導(dǎo)的綜合誤差計(jì)算公式是比較準(zhǔn)確的。

5 結(jié)論

文章同時(shí)考慮機(jī)器人關(guān)節(jié)和連桿柔性，建立了基于剛?cè)狁詈系膭?dòng)力學(xué)模型，通過(guò)仿真得到了不同的運(yùn)行速度和末端負(fù)載對(duì)應(yīng)的仿真誤差值；通過(guò)搭建的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)進(jìn)行試驗(yàn)誤差測(cè)量。對(duì)比仿真和試驗(yàn)數(shù)據(jù)可以驗(yàn)證剛?cè)狁詈夏Ｐ蛣?dòng)力學(xué)仿真的準(zhǔn)確性，為誤差預(yù)測(cè)提供理論依據(jù)；對(duì)試驗(yàn)測(cè)得的離散數(shù)據(jù)進(jìn)行傅立葉擬合得到速度和負(fù)載與機(jī)器人末端位置誤差之間的擬合方程式，通過(guò)對(duì)各因素的誤差結(jié)果進(jìn)行綜合以得到更加符合實(shí)際的機(jī)器人末端綜合誤差變化情況，為后續(xù)的誤差補(bǔ)償提供可靠依據(jù)。

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