基于多體理論的砂輪修整系統(tǒng)幾何誤差建模*

唐 凱，洪榮晶,1b，方成剛,1b，張 虎

(1.南京工業(yè)大學 a.機械與動力工程學院；b.江蘇省工業(yè)裝備數(shù)字制造及控制技術重點實驗室，南京 210009；2.南京工大數(shù)控科技有限公司，南京 210009)

0 引言

數(shù)控成形磨齒機作為齒輪磨削的關鍵設備，其加工精度主要由兩個方面決定: 修整過程中砂輪的修整精度和磨齒過程中砂輪相對齒輪的位置精度[1]。其中，砂輪修整精度是決定成形磨齒加工精度的重要因素。在修整砂輪時，由制造誤差和裝配誤差引起的幾何誤差始終影響著系統(tǒng)的定位精度。為了提高磨齒精度，必須對砂輪修整系統(tǒng)的幾何誤差進行建模分析，找出主要誤差來源并進行補償。

近年來，多體系統(tǒng)運動學理論的提出為解決復雜多軸數(shù)控機床的運動幾何誤差提供了途徑[2]。多體系統(tǒng)誤差運動分析的基本原理是采用低序體陣列的方法描述多體系統(tǒng)拓撲結構的關系，用4×4階齊次方陣描述點和矢量在廣義坐標系中的變換關系，讓多體系統(tǒng)的運動誤差分析變得簡單、直接[3-6]。

在國內(nèi)，劉又午等[7]提出了基于多體系統(tǒng)理論的數(shù)控機床誤差模型、參數(shù)辨識及補償技術研究。韓江等[8]利用齊次坐標變換建立了砂輪磨齒機空間誤差模型，并對幾何誤差進行了預測和實時補償。上海交通大學任永強等[9]在幾何誤差模型建立過程中考慮了熱誤差的影響，得到了很好的補償效果。而針對成形磨齒機砂輪修整系統(tǒng)的幾何誤差，目前很少有學者進行探究。

本文根據(jù)修整系統(tǒng)金剛滾輪與砂輪之間傳動鏈的封閉性，以相鄰體間典型運動變換矩陣為基礎，推導出考慮誤差時的相鄰體變換矩陣。建立砂輪修整系統(tǒng)的幾何誤差模型，并給出綜合誤差補償?shù)姆桨福ㄟ^磨削試驗驗證了誤差數(shù)學模型的正確性及誤差補償?shù)挠行浴?/p>

1 SKMC-3000W/20數(shù)控成形磨齒機

普及型成形磨齒機的構成組件包括床身、工作轉臺、立柱、托板、刀具和多個回轉軸等，是一個復雜的機械運動系統(tǒng)[10]。

圖1為SKMC-3000W/20數(shù)控成形磨齒機，該機床共有6個數(shù)控軸和2個主軸。6個數(shù)控軸包括X、Y、Z、W四個直線軸和A、C兩個旋轉軸，2個主軸為砂輪旋轉主軸S1和金剛輪旋轉主軸S2。

圖1 SKMC-3000/20成形磨齒機

1.1 成形砂輪修整原理

如圖2所示，砂輪修整系統(tǒng)由Y軸、W軸、金剛石滾輪主軸、砂輪主軸組成。其中金剛石滾輪作為刀具，砂輪為加工件。在用砂輪磨齒之前，依據(jù)輸入的參數(shù)，系統(tǒng)先計算出砂輪的理論軸向廓形，之后Y軸和W軸同時動作，金剛石滾輪通過運行軌跡將砂輪修整成既定形狀。

在修整過程中金剛石滾輪和砂輪都保持高速旋轉，其余軸不動作。最后把修整好的砂輪定位到待磨削齒輪槽中間就可以實現(xiàn)一個齒槽的加工。

修整砂輪會產(chǎn)生誤差，過程中將復映到加工齒輪上，決定了齒形誤差大小。為研究齒輪加工誤差，應首先建立砂輪修整誤差模型。

圖2 砂輪修整系統(tǒng)及其拓撲圖

1.2 修整系統(tǒng)拓撲結構及運動分析

砂輪修整系統(tǒng)的運動件包含B0、B1、B2、B3、B4、B5、B6體，可將此運動系統(tǒng)分為兩個分支。

分支一：磨頭架、砂輪電主軸、砂輪

分支二：磨頭架、Y軸、W軸、金剛石滾輪主軸、金剛石滾輪

顯然，砂輪B2和金剛石滾輪B6分別為分支一和分支二的末端體。

依照圖2的砂輪修整系統(tǒng)的拓撲結構示意圖和相應描述，可以得出如表1所示的砂輪修整系統(tǒng)低序體陣列。

表1 砂輪修整系統(tǒng)低序體陣列

固定連接的兩相鄰體，如0(磨頭架)和1(砂輪主軸)通常誤差只有兩種：理想固定聯(lián)接位姿(位置和姿態(tài))誤差和靜止位姿誤差；而作相對運動的兩相鄰體之間，如3(Y軸)和4 (W軸) ，除了具備上述兩種誤差外，因為其存在運動初始時的相對靜止和此后的相對運動兩種狀態(tài)，所以還有理想運動位姿以及運動誤差引起的運動位姿誤差[11]。這就說明兩個相鄰體的運動關系可以用4×4個特征矩陣描述，靜止位姿矩陣Tijp、靜止位姿誤差矩陣ΔTijp、運動位姿矩陣Tijs和運動位姿誤差矩陣ΔTijs。

2 砂輪修整系統(tǒng)誤差模型建立

分別對系統(tǒng)分支一和分支二相鄰體的變換矩陣進行分析：

砂輪主軸S1與磨頭架B0之間的靜止位姿矩陣、靜止位姿誤差矩陣、運動位姿矩陣、運動位姿誤差矩陣為：

(1)

(2)

(3)

(4)

式中的θ1px、θ1py、θ1pz和τ1px、τ1py、τ1pz分別表示相鄰體相對位姿的三個角誤差和三個線誤差；φ1表示砂輪主軸體坐標系繞Y軸的旋轉角度。

砂輪主軸S1與刀具(砂輪)B2之間的靜止位姿矩陣、靜止位姿誤差矩陣、運動位姿矩陣、運動位姿誤差矩陣為：

(5)

ΔT12P=I4×4T12S=I4×4ΔT12S=I4×4

(6)

Y軸B3與磨頭架B0之間的靜止位姿矩陣、靜止位姿誤差矩陣、運動位姿矩陣、運動位姿誤差矩陣為：

T03P=I4×4ΔT03P=I4×4

(7)

(8)

(9)

式中的θ3sx、θ3sy、θ3sz和τ3sx、τ3sy、τ3sz分別表示相鄰體相對位姿的三個角誤差和三個線誤差；

W軸B4與Y軸B3之間的靜止位姿矩陣、靜止位姿誤差矩陣、運動位姿矩陣、運動位姿誤差矩陣為：

T34P=I4×4

(10)

(11)

(12)

(13)

金剛石滾輪主軸S2與W軸B4之間的靜止位姿矩陣、靜止位姿誤差矩陣、運動位姿矩陣、運動位姿誤差矩陣為：

(14)

T45P=I4×4

(15)

(16)

(17)

金剛石滾輪B6與金剛石滾輪主軸S2之間的靜止位姿矩陣、靜止位姿誤差矩陣、運動位姿矩陣、運動位姿誤差矩陣為：

(18)

ΔT56P=I4×4T56S=I4×4ΔT56S=I4×4

(19)

假設金剛滾輪磨削點在金剛滾輪體坐標系內(nèi)的坐標為Pr=[PrxPryPrz1]T，砂輪磨削點在刀具體坐標系內(nèi)的坐標為Pw=[PwxPwyPwz1]T。

因為在砂輪修整過程中，金剛滾輪和砂輪始終嚙合，理想狀態(tài)，兩個磨削點在機床坐標系下的位置重合，則有:

T01pT01sT12pT12sPw=T03pT03sT34pT34sT45pT45sT56pT56sPr

(20)

在砂輪修整運動中，金剛滾輪磨削點的實際位置會偏離理想位置，產(chǎn)生空間位置誤差和姿態(tài)偏差。金剛滾輪磨削點的綜合空間誤差為：

E=TwPw-TrPr

(21)

其中：

Tw=T01pT01sΔT01pΔT01sT12pT12sΔT12pΔT12s

Tr=T03pT03sΔT03pΔT03sT34pT34sΔT34pΔT34s·
T45pT45sΔT45pΔT45sT56pT56sΔT56pΔT56s

由此表明，砂輪坐標系中的砂輪磨削點可通過相應的金剛滾輪上的任意磨削點求得，如果求解出系列砂輪磨削點，根據(jù)包絡理論，可得到修整后砂輪的齒面形狀。與理想情況下齒廓形狀對比，便可計算出磨齒機的砂輪修整誤差。

將類似的誤差建模過程應用于齒輪磨削系統(tǒng)中，便可完成對整個磨齒機整機的幾何誤差建模，為后續(xù)的幾何誤差補償做準備。

3 誤差補償方案

在進行幾何誤差補償前，首先采用激光干涉儀進行單項幾何誤差測量，計算出數(shù)控磨齒機各個軸的基礎誤差項，再將所有軸的基礎誤差帶入前面給出的相應系統(tǒng)的幾何誤差表達式中，就能計算出誤差量。

SKMC-3000/20成形磨齒機使用的是西門子數(shù)控系統(tǒng)，在磨齒機上可通過修正NC程序來實現(xiàn)幾何誤差補償功能。

修正NC程序補償方案是在既有的NC程序中各軸的位置命令上附加一個補償指令，使其在原有坐標位置的基礎上移動一個補償量，到達符合精度要求的實際位置，從而優(yōu)化齒輪磨削的廓形精度。該補償方法原理如圖3所示。

圖3 砂輪修整系統(tǒng)誤差補償方案

4 磨削試驗

對于建立的誤差模型及補償方法需要進行試驗驗證，圖4為磨削加工的試驗現(xiàn)場，選取如表2所示的齒輪進行磨削試驗。磨削完成之后，取齒圈均布的四個位置在三坐標測量儀上進行左右齒面齒廓精度檢測，得到初始齒廓精度如圖5所示。之后將修改后的NC程序導入磨齒機數(shù)控系統(tǒng)中，運行加工程序，圖6為補償后的齒廓檢測報告。結果顯示：齒廓補償前該磨齒機的設計精度為6級，補償后，齒廓的總體精度提高到3級。

表2 齒輪的基本參數(shù)

圖4 磨削加工實驗現(xiàn)場

圖5 補償前齒廓精度

圖6 補償后齒廓精度

5 結論

本文分析了砂輪修整過程中的誤差傳遞關系，基于多體運動學理論建立了SKMC-3000/20型數(shù)控成形磨齒機砂輪修整系統(tǒng)的幾何誤差模型。提出一種綜合誤差補償方案，最后通過磨削試驗驗證了模型的正確性和補償方案的可行性，為成形磨齒機的設計制造和誤差修正提供了借鑒。

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