大負載縱彎諧振變幅器諧振特性的研究與試驗

吳 霄 ，秦慧斌 ，，付俊帆 ，呂 明

（1.中北大學 先進制造技術山西省重點實驗室，山西 太原 030051；2.太原理工大學 精密加工山西省重點實驗室，山西 太原 030024）

1 引言

對于硬脆難加工材料，超聲加工能顯著降低切削力，改善工件表面質(zhì)量，提高加工效率和刀具壽命，在陶瓷、玻璃、鈦合金、淬火鋼等硬脆材料的車、銑、磨、鉆削加工方面應用廣泛[1]。諧振系統(tǒng)是超聲加工工藝系統(tǒng)的核心，其性能直接影響著加工質(zhì)量。超聲振動系統(tǒng)一般由超聲波發(fā)生器、換能器、傳振桿、變幅桿和加工工具或工件等組成。通過調(diào)節(jié)超聲波發(fā)生器的頻率使振動系統(tǒng)諧振于設計頻率，獲得良好的加工工藝效果。功率超聲縱彎諧振變幅器是一種典型的復合振動模式的變幅器，換能器和變幅桿縱向振動激勵環(huán)盤負載作節(jié)圓型橫向彎曲振動，完成兩種不同振動類型的耦合。縱彎諧振變幅器具有優(yōu)良的特性，在旋轉超聲加工、超聲清洗、金屬疲勞檢測等領域應用廣泛[2-4]。

文獻[5]最早提出了由變幅桿與大負載環(huán)盤組成的縱彎諧振變幅器。文獻[6]對彎曲振動圓盤振動特性進行了試驗研究。文獻[7]

來稿日期：2018-02-06

基金項目：先進制造技術山西省重點實驗室開放基金項目（XJZZ201603）；精密加工山西省重點實驗室開放基金（201601）；中北大學研究生科技基金（20161311）

作者簡介：吳 霄，（1993-）男，山西長治人，碩士研究生，主要研究方向：超聲振動精密加工技術；

秦慧斌，（1978-）男，山西長治人，博士研究生，副教授，主要研究方向：齒輪超聲振動精密加工技術設計了一種縱彎諧振水聲換能器，擴大了換能器帶寬。文獻[8]提出了階梯齒輪變幅器縱彎諧振的統(tǒng)一求解模型。文獻[9]利用有限元法，研究了縱振激勵頻率對圓盤彎曲振動特性的影響。文獻[10]提出了一種新型縱彎轉換超聲振動霧化系統(tǒng)，研究了由換能器、變幅桿與工具組成的振動系統(tǒng)的各種諧振狀態(tài)特性。上述文獻都是對均質(zhì)材料縱彎諧振變幅器進行研究，且負載較小，很少對大負載多材料縱彎諧振變幅器進行研究。

以三環(huán)盤與變幅桿組成的變幅器為例，基于Mindlin中厚板理論，建立縱彎諧振變幅器的振動模型，推導出頻率方程與振型解析表達式，通過阻抗分析試驗和超聲諧振試驗對變幅器的諧振特性進行了對比研究，為超聲諧振系統(tǒng)的設計與應用提供了技術參考。

2 縱彎諧振超聲變幅器理論模型

功率超聲縱彎諧振變幅器由變幅桿和大負載環(huán)盤組成，實驗所用變幅器結構，如圖1所示。大負載環(huán)盤由不同材料的環(huán)盤1、2、3組成，中性面為同一平面。環(huán)盤中心孔與圓錐變幅桿芯軸通過緊固螺母剛性連接。緊固螺母與變幅桿芯軸的尺寸相對變幅器較小，在理論分析中可以忽略。

以變幅桿大端中心點為原點，以變幅桿中心軸線為z軸，建立圖 1 所示的（r，θ，z）圓柱坐標系。R1、R2分別表示圓錐變幅桿大端、小端半徑，L 表示變幅桿長度。R3、R4、R5分別表示環(huán)盤 1、2、3的內(nèi)徑，R6表示環(huán)盤 3 的外徑。t1、t2、t3分別表示環(huán)盤 1、2、3 的厚度。由于變幅桿和各個環(huán)盤的材料不同，故分別以ρ1、ρ2、ρ3和ρ4表示環(huán)盤 1、2、3 和變幅桿的密度，E1、E2、E3和 E4表示環(huán)盤 1、2、3和變幅桿的彈性模量，μ1、μ2、μ3表示環(huán)盤 1、2、3 的泊松比。

圖1 縱彎諧振變幅器結構示意圖Fig．1 Structure of Longitudinal-Flexural Resonance Transducer

當變幅器作縱彎諧振時，變幅桿縱向振動，其縱向位移ξ的解析表達式為：

式中：圓波數(shù)k=ω/c，圓頻率ω=2πf，變幅桿的縱波波速c=（E4/ρ4）1/2；C1、C2—待定常數(shù)。

基于Mindlin理論，單個環(huán)盤的徑向彎矩分量Mri和徑向剪力分量Qri的解析表達式為：

式中：Aji、Bji（j=1，2；i=1，2，3）為待定常數(shù)；Jn（·）、Yn（·）—第一類、第二類貝塞爾函數(shù)。當環(huán)盤負載作節(jié)圓型橫向彎曲振動時，節(jié)徑數(shù)為零（即n=0）。

將式（3）帶入式（2），可得徑向彎矩分量Mri和徑向剪力分量Qri的表達式為：

當變幅器作縱彎諧振時，變幅桿大端縱向振動，應力為零，故有自由邊界條件

變幅桿小端與環(huán)盤接觸面上存在有沿z軸方向的力與位移的連續(xù)條件；由于環(huán)盤無徑向轉動，故在r=R3處，環(huán)盤1的徑向轉角 βr1為 0，即：

環(huán)盤2分別與環(huán)盤1在r=R4處，和環(huán)盤3在r=R5處滿足橫向位移wi、徑向轉角βri、徑向彎矩分量Mri和徑向剪力分量Qri的連續(xù)條件：

將式（1）和式（4）～式（5）帶入式（6）～式（8）并整理，可得齊次方程組：Δ14×14ξ14×1=014×1，當待定常數(shù)不全為 0 時，其充要條件：

式（9）即為縱彎諧振變幅器的頻率方程。

變幅桿大端振幅與換能器的輸出振幅ξ0相等，即有縱向位移的邊界條件聯(lián)立此邊界條件與齊次方程組可得一個超靜定方程組。通過求解該超靜定方程，可求得ζ14×1的一組特解。將該特解帶入式（4），可得：

式（10）即為縱彎諧振變幅器的振型解析表達式。

3 縱彎諧振變幅器阻抗分析試驗

根據(jù)縱彎諧振變幅器頻率方程，設計了兩個縱彎諧振變幅器。變幅器1由45鋼變幅桿與黃銅H62階梯環(huán)盤組成，設計頻率為20kHz；變幅器2由45鋼變幅桿和灰鑄鐵HT200階梯環(huán)盤組成，設計頻率為20kHz。變幅桿和三環(huán)盤的材料性能參數(shù)，如表1所示。變幅桿桿長L為未知尺寸，變幅器其他尺寸由加工工藝和設備決定，如表2所示。采用Matlab進行編程求解，結果為L1=114.6mm，L2=189.4mm。

表1 材料性能參數(shù)Tab.1 Material Mechanical Properties

表2 縱彎諧振變幅器尺寸參數(shù)與設計頻率Tab.2 Parameters and Design Frequencies of Longitudinal-Flexural Resonance Transducers

變幅桿大端與YP-5520-4Z柱型換能器相連，換能器最大振幅為6μm，因此變幅桿大端振幅ξ0=6μm。將其帶入式（10）并求解，可得 ζ10×1的解，將其代入式（3），求解可得三環(huán)盤的振幅：黃銅H62階梯環(huán)盤在半徑r=28.58mm、r=54.18mm和r=74.64mm處為零振幅，灰鑄鐵HT200的階梯環(huán)盤在半徑r=48.86mm和r=72.96mm處為零振幅，即此處為三環(huán)盤的振動節(jié)圓位置。

將變幅器和換能器分別與傳振桿的上下端相連，并在連接面上涂抹凡士林填充兩者之間的微小間隙，減小超聲波在連接面的反射損失。用導線將阻抗分析儀PV70A與超聲換能器相連接，如圖2所示。利用相應軟件測量變幅器的縱彎諧振頻率，測量結果如表3中fE行所示。

圖2 變幅器阻抗分析試驗Fig.2 Impedance Analysis Experiment of Transducers

表3 不同方法求得的縱彎諧振頻率的比較Tab.3 Comparison of Longitudinal-Flexural Resonance Frequency Obtained by Different Means

由表3可知，試驗頻率的最大誤差為2.75%。因此阻抗分析試驗得到的縱彎諧振頻率結果與設計頻率基本一致，證明了上述的縱彎諧振變幅器設計方法對工程設計具有一定的參考意義。

4 縱彎諧振變幅器諧振試驗

將變幅器與換能器安裝在試驗臺上，換能器與ZJS-2000型超聲波發(fā)生器相連，組成超聲諧振試驗裝置，如圖3所示。在環(huán)盤表面上撒上碳化硅顆粒，打開超聲發(fā)生器并調(diào)節(jié)調(diào)頻螺母，當超聲發(fā)生器的頻率分別為20990Hz和20640Hz時，碳化硅顆粒聚集為圓環(huán)，如圖4所示。表明三環(huán)盤在變幅桿縱向振動的激勵下作節(jié)圓型橫向彎曲振動，即變幅器作縱彎諧振。變幅器1與變幅器2諧振頻率與設計頻率之間的誤差分別為4.95%和3.20%。

圖3 超聲諧振試驗裝置Fig.3 Experiment Equipment of Ultrasonic Resonance

圖4 變幅器縱彎諧振試驗結果Fig.4 Test Results of Longitudinal-Flexural Resonance of Transducers

利用PDV100型激光測振儀對環(huán)盤振幅進行測量，得到三環(huán)盤端面振幅曲線，如圖5所示。理論計算和試驗得到兩種環(huán)盤振幅曲線的對比，如圖6所示。兩種方法得到的三環(huán)盤振幅曲線的整體形態(tài)基本一致。對于振幅曲線的零振幅位置，黃銅H62階梯環(huán)盤實驗振幅曲線與理論計算最大偏差為6.51%，灰鑄鐵HT200階梯環(huán)盤實驗振幅曲線與理論計算最大偏差為3.56%。

圖5 試驗測量的三環(huán)盤振幅曲線Fig.5 Amplitude Curves of 3-Annular Plate of Experimental Measurements

圖6 三環(huán)盤端面振幅曲線對比Fig.6 Comparison of Amplitude Curve of Head Face of 3-Annular Plate

理論計算、有限元仿真和諧振試驗之間的誤差產(chǎn)生的因素可能有以下幾點：

（1）試驗時螺母對變幅器的剛度與質(zhì)量具有影響，另外，螺母預緊力可能不足，從而產(chǎn)生誤差；

（2）Matlab中對矩陣方程默認采用廣義逆矩陣求解，因而會導致一定的求解誤差；

（3）諧振試驗時，測振幅直線不完全過圓心、測量點間隔不完全相等會影響測量精度；

（4）諧振試驗中變幅器和試驗臺組成的整體發(fā)生諧振，從而產(chǎn)生誤差。

5 結論

（1）基于Mindlin理論，建立了由變幅桿和階梯環(huán)盤組成的縱彎諧振變幅器的頻率方程，并求出了相應的三環(huán)盤振型解析表達，設計了大負載功率超聲縱彎諧振變幅器。

（2）完成了縱彎諧振變幅器阻抗分析試驗和諧振試驗，變幅器的設計頻率與阻抗分析結果和諧振試驗結果相比最大誤差為4.95%，理論計算與諧振試驗得到的三環(huán)盤振幅曲線的整體形態(tài)基本一致，零振幅位置最大偏差為6.51%。

（3）為大負載功率超聲縱彎諧振變幅器的應用奠定了理論基礎，下一步將基于縱彎諧振變幅器設計旋轉超聲加工工具，為進一步開展大負載功率超聲加工研究奠定實驗基礎。