潤(rùn)澤 鑄就 提升
——兼評(píng)許吳山執(zhí)教的“一元二次方程”一課

/卜以樓

我有幸成為“第十三屆江蘇省‘杏壇杯’蘇派青年教師課堂教學(xué)展評(píng)”（南通賽區(qū)）的評(píng)委，觀摩了初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)活動(dòng)。下面就江蘇南京許吳山老師的“一元二次方程”（第一課時(shí)）的教學(xué)展示，與大家分享學(xué)習(xí)體會(huì)，并就這次活動(dòng)“涵養(yǎng)基本素質(zhì)，提升課堂品質(zhì)”這一主題，談?wù)劷處熃虒W(xué)素養(yǎng)的問(wèn)題。

一、用生長(zhǎng)過(guò)程來(lái)潤(rùn)澤學(xué)生的數(shù)學(xué)思維

“一元二次方程”這一內(nèi)容是在“一元一次方程”“二元一次方程組”“分式方程”的基礎(chǔ)上，為滿足解決某些實(shí)際問(wèn)題和進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的需要提出的，是體會(huì)“方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界相等關(guān)系的一個(gè)有效的數(shù)學(xué)模型”這一數(shù)學(xué)觀念的延續(xù)。為此，讓學(xué)生學(xué)習(xí)好這部分內(nèi)容，對(duì)于深刻理解方程的意義，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值具有重要意義。我想，這次展示活動(dòng)選擇這一課題，其目的也在于此。許吳山老師的教學(xué)設(shè)計(jì)，準(zhǔn)確地演繹、展現(xiàn)這一教學(xué)意圖。許老師構(gòu)建本節(jié)課的數(shù)學(xué)活動(dòng)可以用下列三個(gè)“精準(zhǔn)”來(lái)概括。

1.思維的生長(zhǎng)點(diǎn)精準(zhǔn)。

建構(gòu)問(wèn)題情境，展開課堂學(xué)習(xí)，是新課程下數(shù)學(xué)教學(xué)的普遍做法。而許老師這節(jié)課教學(xué)情境并不普通。他把這節(jié)課的情境設(shè)計(jì)成“生活中處處有數(shù)學(xué)，學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行了一天的觀察和記錄，老師節(jié)選了其中一段……”這樣的設(shè)計(jì)新穎而又別致，具有較強(qiáng)的親切感，凸顯了以人為本的教學(xué)理念，讓數(shù)學(xué)課中有人、有事、有靈性、有生命，在此基礎(chǔ)上，通過(guò)后續(xù)的數(shù)學(xué)活動(dòng)，緊扣立德樹人的教育終極目標(biāo)。

具體地說(shuō)，許老師將發(fā)生在學(xué)生身邊的數(shù)學(xué)事實(shí)，讓學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)抽象，建立方程（組）模型，作為本節(jié)課的基點(diǎn)，并在此基點(diǎn)上讓學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，逐漸生長(zhǎng)，讓活動(dòng)、思維、知識(shí)，由小變大、由薄變厚、由弱變強(qiáng)，凸顯了知識(shí)生長(zhǎng)的理念，使學(xué)生感到知識(shí)不是從天而降、不是無(wú)源之水，而讓學(xué)生既見樹木，又見樹林。這為本節(jié)課開了一個(gè)好頭，也為本節(jié)課埋下了生長(zhǎng)的種子?？梢哉f(shuō)，思維的生長(zhǎng)點(diǎn)定位精準(zhǔn)，是許老師這節(jié)課呈現(xiàn)的第一道亮麗風(fēng)景。

2.思維的拔節(jié)點(diǎn)精準(zhǔn)。

緊接著，許老師通過(guò)“概念歸納（建構(gòu)活動(dòng)）、概念辨析（數(shù)學(xué)化認(rèn)識(shí)）”等教學(xué)環(huán)節(jié)，來(lái)設(shè)計(jì)思維的拔節(jié)點(diǎn)，讓學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)中形成一串串的生長(zhǎng)節(jié)，“讓學(xué)生體驗(yàn)生長(zhǎng)的過(guò)程，感悟生命成長(zhǎng)的真諦”［1］，這也成為本節(jié)課的第二道亮麗風(fēng)景。

首先，要求學(xué)生對(duì)列出的方程、方程組進(jìn)行分類，此時(shí)的分類，不是單純的運(yùn)用分類的思想對(duì)列出的方程作一個(gè)程序上的分類，而是通過(guò)分類活動(dòng)，讓學(xué)生巧妙而又自然地親歷一元二次方程概念的形成過(guò)程。學(xué)生在分類的過(guò)程中，由于對(duì)數(shù)學(xué)的理解程度各不相同，可能有不同的分類，但是許老師包容不同的方法，運(yùn)用交流、討論、辯論的方法，最終形成統(tǒng)一的共識(shí)。這種共識(shí)就是直逼一元二次方程的數(shù)學(xué)本質(zhì)，它既是數(shù)學(xué)知識(shí)生長(zhǎng)的自然訴求，也是教學(xué)活動(dòng)的價(jià)值定位。

其次，讓學(xué)生對(duì)分類出來(lái)的方程、方程組進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，直逼一元二次方程的一般形式的核心，以加深對(duì)一元二次方程等系列方程（組）概念的理解。這個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，許老師設(shè)計(jì)了以下三個(gè)教學(xué)活動(dòng)。一是讓學(xué)生說(shuō)出一元二次方程的基本概念。因?yàn)樗鼈兌贾缓幸粋€(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2，所以可以把只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫做一元二次方程。二是通過(guò)探究活動(dòng)，讓學(xué)生明白只有把方程整理化簡(jiǎn)，才能準(zhǔn)確判斷一個(gè)方程是不是一元二次方程。三是要求學(xué)生抽象出一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c＝0（a、b、c 為常數(shù)，a≠0）。其中ax2、bx、c 分別為二次項(xiàng)、一次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)，a，b分別為二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)，加深了對(duì)一元二次方程本質(zhì)的理解。

3.思維的歸宿點(diǎn)精準(zhǔn)。

本節(jié)課的歸宿點(diǎn)是什么？那就是用一元二次方程的概念模型去解決數(shù)學(xué)內(nèi)部的基本問(wèn)題。許老師通過(guò)“例題探究→課堂小結(jié)→拓展延伸”這些環(huán)節(jié)來(lái)實(shí)現(xiàn)上述教學(xué)目標(biāo)。為此，鎖定思維的歸宿點(diǎn)，自然成為本節(jié)課的第三道亮麗風(fēng)景。

一方面，許老師將學(xué)生的目光再次引入生活中，通過(guò)“矩形花圃”這一生活問(wèn)題，讓學(xué)生數(shù)學(xué)建模后，直接用一元二次方程的概念去解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，讓學(xué)生嘗到本節(jié)課學(xué)到的知識(shí)的重要性，體會(huì)學(xué)習(xí)的力量、知識(shí)的價(jià)值和魅力。

另一方面，許老師通過(guò)一道典型問(wèn)題的解決，再現(xiàn)本節(jié)課的核心知識(shí)與技能，教師規(guī)范書寫，并配合后測(cè)練習(xí)，鞏固新知。

最后，許老師通過(guò)設(shè)計(jì)問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生對(duì)探尋一元二次方程解法的思考。根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，把一元二次方程通過(guò)降次轉(zhuǎn)化為一元一次方程來(lái)求解，并適當(dāng)“留白”，引發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的思考與探索。

二、用數(shù)學(xué)思維來(lái)鑄就教學(xué)的課堂品質(zhì)

我們還可以從用數(shù)學(xué)思維打造數(shù)學(xué)課堂品質(zhì)這一角度，對(duì)這節(jié)課進(jìn)行分析研究，歸結(jié)起來(lái)主要有下列四點(diǎn)。

1.數(shù)學(xué)味濃。

這里說(shuō)的“數(shù)學(xué)味”，就是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)要充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科特色，充滿理性思維和品質(zhì)內(nèi)涵。數(shù)學(xué)教學(xué)品質(zhì)是數(shù)學(xué)本質(zhì)的呈現(xiàn)和把握，數(shù)學(xué)味越濃，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)品質(zhì)越高。數(shù)學(xué)教育家張奠宙先生認(rèn)為：“數(shù)學(xué)味”表現(xiàn)在數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)中如何體現(xiàn)“數(shù)學(xué)的本質(zhì)”“精中求簡(jiǎn)”“返璞歸真”，呈現(xiàn)數(shù)學(xué)特有的“教育形態(tài)”，讓學(xué)生高效率、高質(zhì)量地領(lǐng)會(huì)和體驗(yàn)數(shù)學(xué)的價(jià)值和魅力。

許老師設(shè)計(jì)的這節(jié)課數(shù)學(xué)味很純、很正、很明。提出的問(wèn)題是數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)小組的觀察記錄）、探究的方法是數(shù)學(xué)（將實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)建模）、運(yùn)用的思維是數(shù)學(xué)（用數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算等）、形成的結(jié)論是數(shù)學(xué)（用字母表示一元二次方程的形式）、結(jié)論的應(yīng)用是數(shù)學(xué)（對(duì)列出的方程進(jìn)行同解變形等），在此過(guò)程中累積下來(lái)的核心素養(yǎng)還是數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等）。為此，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)不僅要充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科特色，還要基于數(shù)學(xué)的教學(xué)價(jià)值，讓數(shù)學(xué)教學(xué)充滿理性思維和數(shù)學(xué)哲學(xué)的品質(zhì)內(nèi)涵，讓學(xué)生形成最基本的數(shù)學(xué)觀，并在此觀念下發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題、提出數(shù)學(xué)問(wèn)題、分析數(shù)學(xué)問(wèn)題、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。

2.思維力強(qiáng)。

數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)特性就是數(shù)學(xué)思維，數(shù)學(xué)課堂上所有的活動(dòng)必須凸顯訓(xùn)練思維的價(jià)值，只有這樣，數(shù)學(xué)才能成為啟迪學(xué)生智慧的一門學(xué)科，才能成為傳承人類文明的一門學(xué)科。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)必須弄清知識(shí)內(nèi)容、邏輯結(jié)構(gòu)；弄清知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系、學(xué)科思想；弄清引申意義、文化意蘊(yùn)。在知識(shí)內(nèi)涵中凸顯數(shù)學(xué)思維，在數(shù)學(xué)思維中彰顯數(shù)學(xué)本質(zhì)，在數(shù)學(xué)本質(zhì)中形成數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

許老師這節(jié)課運(yùn)用“問(wèn)題鏈”的方式，促使學(xué)生思考，必要時(shí)采取“追問(wèn)”的形式（根據(jù)思維的層次與深度，適時(shí)地設(shè)計(jì)追問(wèn)），逼學(xué)生不得不思考，凸顯了數(shù)學(xué)思維的主戰(zhàn)場(chǎng)。整節(jié)課學(xué)生在“算一算”“說(shuō)一說(shuō)”“想一想”“理一理”的思維平臺(tái)上馳騁飛揚(yáng)，學(xué)生的思維是靈動(dòng)的、精神是振奮的、斗志是激昂的、生命是鮮活的。

3.互動(dòng)性好。

互動(dòng)性是指教（師）與學(xué)（生）共處的一種生命狀態(tài)與精神境界，包括氛圍、關(guān)系（情態(tài)）、方式、節(jié)奏、感受等，它是師生同心、同向、同行的精神場(chǎng)所?；?dòng)性主要取決于學(xué)生的參與性、參與度，學(xué)生參與度越高，數(shù)學(xué)課堂的品位感就越高。

時(shí)下的課堂不缺學(xué)生的參與，但似乎表面熱鬧多了些，深度思維明顯不夠。表面熱鬧充其量只能算上個(gè)體積極參與，而深度思維、深度學(xué)習(xí)，才算得上是有效參與。理想的課堂應(yīng)該是積極參與和有效參與的辯證統(tǒng)一，缺一不可。

許老師設(shè)計(jì)的這節(jié)課一開始的問(wèn)題情境，是學(xué)生熟悉的生活情境，解決問(wèn)題的入口較寬，引發(fā)了學(xué)生積極參與。隨著學(xué)習(xí)內(nèi)容的逐漸深入，提出“你能列出上述問(wèn)題中的方程嗎”“你能對(duì)列出的方程進(jìn)行分類嗎”“你能給一元二次方程下個(gè)定義嗎”等問(wèn)題，這些問(wèn)題逐漸抬高了學(xué)生思維層次與深度的要求，必然地將學(xué)生的積極思維自覺地過(guò)渡到深度思維之中，有效地將積極參與漸變?yōu)橛行⑴c，巧妙地讓積極參與和有效參與形成辯證的統(tǒng)一。所以說(shuō)，數(shù)學(xué)課堂要營(yíng)造數(shù)學(xué)氛圍、引發(fā)數(shù)學(xué)思維、關(guān)注數(shù)學(xué)情感，做到簡(jiǎn)約而有序，即探究有效、講授有度、指導(dǎo)有力、活動(dòng)有序、創(chuàng)新有道。

4.效率值高。

高品質(zhì)的課堂除了要實(shí)現(xiàn)上述幾個(gè)特性外，還繞不開效率值高這個(gè)話題。因?yàn)榻虒W(xué)永遠(yuǎn)是要講究效率，效率值取決于探究的知識(shí)密度，落實(shí)的訓(xùn)練強(qiáng)度，達(dá)成的目標(biāo)廣度等，為此必須從以上幾個(gè)方面著力研究數(shù)學(xué)課堂教學(xué)。從上述分析可以看出，許老師這節(jié)課將上述幾個(gè)方面進(jìn)行了有效的融合，融為一體，較好地踐行了效率值高的品質(zhì)特性，在這就不再贅述了。當(dāng)然我們也要反對(duì)片面地追求教學(xué)效率，要堅(jiān)持把長(zhǎng)遠(yuǎn)效益放在首位，即教學(xué)中要把形成核心素養(yǎng)這個(gè)頭等的教學(xué)效益當(dāng)作第一要?jiǎng)?wù)來(lái)落實(shí)。

三、用課堂品質(zhì)來(lái)提升教師的教學(xué)素養(yǎng)

本次“杏壇杯”活動(dòng)的主題是“涵養(yǎng)基本素質(zhì)，提升課堂品質(zhì)”，其目的就是要用高超的教學(xué)技能來(lái)支撐高質(zhì)的數(shù)學(xué)課堂。有什么樣的教師就有什么樣的課堂，為此提升教師的基本素質(zhì)是實(shí)施高品質(zhì)課堂的堅(jiān)強(qiáng)保證，我們只有將數(shù)學(xué)教師的專業(yè)素質(zhì)提升到一個(gè)高位的水平，才能使數(shù)學(xué)課堂品質(zhì)行穩(wěn)致遠(yuǎn)。數(shù)學(xué)教師的基本素養(yǎng)除了教育學(xué)上公認(rèn)的幾項(xiàng)之外，我認(rèn)為還要在以下三個(gè)方面進(jìn)行加以發(fā)展和培養(yǎng)。

1.要用好數(shù)學(xué)元素。

數(shù)學(xué)之所以區(qū)別于其他學(xué)科，是由于有其特有的數(shù)學(xué)元素，這些元素通常包含數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)運(yùn)算等等。數(shù)學(xué)抽象其實(shí)質(zhì)就是將數(shù)學(xué)外部的世界轉(zhuǎn)化到數(shù)學(xué)內(nèi)部中來(lái)，它是一個(gè)由多變少的過(guò)程。正因?yàn)榇?，人們才能認(rèn)識(shí)自然、認(rèn)識(shí)生活。數(shù)學(xué)推理是在數(shù)學(xué)內(nèi)部中，根據(jù)數(shù)學(xué)本身的結(jié)構(gòu)、邏輯、體系，實(shí)現(xiàn)由少到多的裂變，于是可以通過(guò)數(shù)學(xué)推理得到很多的數(shù)學(xué)結(jié)論。正因?yàn)榇?，?shù)學(xué)才能不斷發(fā)展、壯大。數(shù)學(xué)模型只是讓數(shù)學(xué)從內(nèi)部走向數(shù)學(xué)外部，正因?yàn)榇?，人們才能用?shù)學(xué)去改造自然，征服自然，才會(huì)在改造自然的過(guò)程中認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的價(jià)值。而數(shù)學(xué)運(yùn)算，則是數(shù)學(xué)與生俱有的瑰寶，具有明顯的數(shù)學(xué)特質(zhì)。

數(shù)學(xué)教師要教好數(shù)學(xué)，首先就得利用好數(shù)學(xué)元素來(lái)玩數(shù)學(xué)。而有些數(shù)學(xué)課堂陳年乏味，缺少活力，數(shù)學(xué)元素的缺失不能不算是一個(gè)致命的硬傷。教師只有用好數(shù)學(xué)元素，其課堂才是數(shù)學(xué)課堂，其思維才是數(shù)學(xué)思維，其學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中積累的才能是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。否則皆是一紙空談。為此，用好數(shù)學(xué)元素是數(shù)學(xué)教師的一項(xiàng)基本素養(yǎng)。

2.要講好思維故事。

既然教師擁有并掌握了挖掘數(shù)學(xué)元素的技能，那么就得用數(shù)學(xué)元素“講好數(shù)學(xué)思維故事”［2］。一節(jié)數(shù)學(xué)課能否引人入勝，關(guān)鍵就看它的故事性強(qiáng)不強(qiáng)。數(shù)學(xué)課的思維故事與其他學(xué)科的故事又不盡相同。數(shù)學(xué)思維故事，就是在數(shù)學(xué)元素下，種下一粒種子，讓其在數(shù)學(xué)邏輯下不斷地長(zhǎng)大，直到開花、結(jié)果，再形成種子，再播種……這樣往復(fù)循環(huán)下去，最終形成故事林。

數(shù)學(xué)教師講數(shù)學(xué)思維故事的關(guān)鍵，要善于將“學(xué)術(shù)形態(tài)的數(shù)學(xué)”轉(zhuǎn)化成“教育形態(tài)的數(shù)學(xué)”。例如，一元二次方程的發(fā)現(xiàn)、求解與應(yīng)用的學(xué)術(shù)形態(tài)，一定是現(xiàn)在普遍認(rèn)為的先給一元二次方程下個(gè)定義，再用一些有效的方法求出它的解，最后再利用它去解決實(shí)際問(wèn)題。如果按這個(gè)學(xué)術(shù)形態(tài)去讓學(xué)生學(xué)習(xí)，學(xué)生可能感到乏味，因?yàn)閷W(xué)生不知道為什么讓他去做這樣一系列的事情，所以數(shù)學(xué)課極有可能失去吸引力。如果將之轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)，像許老師這樣，先通過(guò)數(shù)學(xué)課外興趣小組的一些記錄，用“主題式問(wèn)題情境”來(lái)調(diào)起學(xué)生胃口，激發(fā)興趣，然后對(duì)得到的方程進(jìn)行分析，自然想到要對(duì)之進(jìn)行分類，分類后發(fā)現(xiàn)有些方程對(duì)于學(xué)生是陌生的，所以就對(duì)這些陌生的方程產(chǎn)生興趣，于是就得對(duì)這些陌生的方程進(jìn)行仔細(xì)研究，隨之便會(huì)得到一元二次方程的一般形式。上述環(huán)環(huán)相扣的教育形態(tài)，將這思維故事推向了高潮。最后再運(yùn)用這個(gè)一般形式去解決一些純數(shù)學(xué)問(wèn)題，讓學(xué)生體驗(yàn)到學(xué)習(xí)的好處與價(jià)值，給這個(gè)故事寫上了一個(gè)完美的句號(hào)。

由此看來(lái)，將數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)，是教師的一份責(zé)任；用數(shù)學(xué)元素講好數(shù)學(xué)思維故事，是數(shù)學(xué)教師必備的另一項(xiàng)基本素質(zhì)。

3.要弘揚(yáng)理性價(jià)值。

理性價(jià)值是以知識(shí)和真理為中心，強(qiáng)調(diào)通過(guò)理性思維的方式發(fā)現(xiàn)真理，它是由人的思維構(gòu)造的理論體系。這種價(jià)值觀，不僅在自然學(xué)科中得到體現(xiàn)，而且已由自然科學(xué)深入到經(jīng)濟(jì)、政治以及社會(huì)科學(xué)的一切領(lǐng)域，它為人們提供了理性思維的范式。

我們?cè)诮虒W(xué)中，強(qiáng)調(diào)“良好的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)，應(yīng)突出數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，揭示數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的自然性與合理性，既講推理和結(jié)論，也講道理和緣由。基于感性發(fā)展理性，讓數(shù)學(xué)的理性價(jià)值在教學(xué)過(guò)程中鮮活地流淌，讓數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)閃耀理性、智慧的光芒”［3］，正是弘揚(yáng)理性價(jià)值的具體體現(xiàn)。因此，我們要深挖數(shù)學(xué)中的理性資源，讓弘揚(yáng)理性價(jià)值成為我們數(shù)學(xué)教師的一項(xiàng)基本技能。