讓“附加值”成為智慧的增長(zhǎng)點(diǎn)

葉杰平

【摘要】 本文探究了軸對(duì)稱圖形旋轉(zhuǎn)的特點(diǎn)，而且還有“意外的收獲”——發(fā)現(xiàn)了旋轉(zhuǎn)角度與圖形對(duì)稱軸條數(shù)之間的本質(zhì)聯(lián)系。

【關(guān)鍵詞】 探究 軸對(duì)稱 公式特點(diǎn)

【中圖分類號(hào)】 G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】 A 【文章編號(hào)】 1992-7711（2018）11-196-01

人教版五年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第10頁(yè)的第6題，原題為：長(zhǎng)方形的兩條對(duì)稱軸相交于點(diǎn)O，繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)長(zhǎng)方形。

你發(fā)現(xiàn)它轉(zhuǎn)過(guò)多少度后與原來(lái)的圖形重合？

按上面的方法試一試，你會(huì)發(fā)現(xiàn)下面的圖形有什么特點(diǎn)。

此題研究的是特殊圖形——軸對(duì)稱圖形的旋轉(zhuǎn)。與前面學(xué)過(guò)的旋轉(zhuǎn)相比，其旋轉(zhuǎn)方式和結(jié)果都明顯不同，有更大的“開發(fā)價(jià)值”。于是便有了如下的教學(xué)嘗試：

一、操作實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)圖形特點(diǎn)

教學(xué)前布置學(xué)生準(zhǔn)備幾套圖形卡片，每套一張底卡（印有這些圖形的硬紙卡）和一張能與之重合的圖形。

（一）研究長(zhǎng)方形

師：同學(xué)們，我們一起研究一些特殊圖形的旋轉(zhuǎn)（出示長(zhǎng)方形、正三角形、正方形、正六邊形、圓），為什么說(shuō)這些圖形是特殊圖形呢？

生：它們是軸對(duì)稱圖形。

師：對(duì)，今天我們研究的就是軸對(duì)稱圖形的旋轉(zhuǎn)。這是一個(gè)長(zhǎng)方形，以這個(gè)長(zhǎng)方形的對(duì)稱軸的交點(diǎn)為中心，旋轉(zhuǎn)多少度后與原來(lái)的長(zhǎng)方形重合？（學(xué)生猜想）

師：請(qǐng)同學(xué)們拿出長(zhǎng)方形紙片，先畫出它的對(duì)稱軸，對(duì)稱軸的交點(diǎn)就是這個(gè)長(zhǎng)方形的中心。再用大頭針穿過(guò)這個(gè)長(zhǎng)方形和底卡長(zhǎng)方形的中心，拿起來(lái)試著旋轉(zhuǎn)一下，看看你們剛才的猜想對(duì)不對(duì)？（學(xué)生動(dòng)手操作）

師：都是旋轉(zhuǎn)90度，旋轉(zhuǎn)方向是怎樣的？

生：順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度都可以與原來(lái)的長(zhǎng)方形重合。

師：可見與旋轉(zhuǎn)方向沒(méi)有關(guān)系，旋轉(zhuǎn)時(shí)為什么要用兩個(gè)長(zhǎng)方形？

生：為了清楚看到長(zhǎng)方形到底旋轉(zhuǎn)多少度與原來(lái)的長(zhǎng)方形重合，為了更好地進(jìn)行對(duì)比。

師：對(duì)，旋轉(zhuǎn)時(shí)要有一個(gè)參照物，才能清楚看到旋轉(zhuǎn)的過(guò)程和結(jié)果。

（二）類推研究其它圖形

師：請(qǐng)同學(xué)們畫出正六邊形、正三角形、圓和正方形的對(duì)稱軸，然后用同樣的方法，看看它們分別旋轉(zhuǎn)多少度就能與原來(lái)的圖形重合？

學(xué)生交流后，板書：

師：你們有什么發(fā)現(xiàn)？

生：繞它們中心旋轉(zhuǎn)一定的角度后，還與原來(lái)的圖形重合。

師：我們得到一個(gè)結(jié)論：軸對(duì)稱圖形繞它們中心旋轉(zhuǎn)一定的角度后，還與原來(lái)的圖形重合。

二、探究提升，揭示一般規(guī)律

（一）探究發(fā)現(xiàn)規(guī)律

師：同是軸對(duì)稱圖形，它們繞中心旋轉(zhuǎn)到與原來(lái)的圖形重合，為什么旋轉(zhuǎn)角度或大或小，到底是什么在影響或決定這個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)角度呢？

生：是邊數(shù)，邊數(shù)越多，角度越小。

生：不對(duì)，長(zhǎng)方形4條邊，正三角形3條邊，怎么長(zhǎng)方形要旋轉(zhuǎn)180度，而正三角形卻只需旋轉(zhuǎn)120度呢？

生：是圖形對(duì)稱軸的條數(shù)！你看長(zhǎng)方形有2條對(duì)稱軸，正三角形有3條對(duì)稱軸，正方形有4條對(duì)稱軸，正六邊形有6條對(duì)稱軸。

（師在相應(yīng)圖形下寫出各圖對(duì)稱軸的條數(shù)）

師：把你們的發(fā)現(xiàn)用自己的話說(shuō)一說(shuō)？

生：圖形的對(duì)稱軸的條數(shù)越多，旋轉(zhuǎn)角度越小。反過(guò)來(lái)，圖形對(duì)稱軸的條數(shù)越少，旋轉(zhuǎn)角度越大。（板書完整表格以下）

師：請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真觀察上面的表格，對(duì)稱軸的條數(shù)與圖形旋轉(zhuǎn)的角度之間有怎樣的關(guān)系？

生：對(duì)稱軸的條數(shù)×旋轉(zhuǎn)度數(shù)=360（板書）

師：通過(guò)觀察圖形對(duì)稱軸的條數(shù)和旋轉(zhuǎn)角度之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)了圖形中對(duì)稱軸的條數(shù)與旋轉(zhuǎn)角度的積等于360度。這個(gè)關(guān)系式有什么作用？

生：不用旋轉(zhuǎn)，直接用360除以對(duì)稱軸條數(shù)算出一個(gè)軸對(duì)稱圖形旋轉(zhuǎn)多少度就能與原來(lái)的圖形重合。

（二）揭示規(guī)律本質(zhì)

師：為什么圖形旋轉(zhuǎn)的角度會(huì)與它對(duì)稱軸的條數(shù)有關(guān)聯(lián)，你明白這其中的道理嗎？（引導(dǎo)學(xué)生操作、觀察、思考：原來(lái)以圖形的中心旋轉(zhuǎn)到重合實(shí)際上就是一條對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)到另一條對(duì)稱軸的位置，其間夾角的度數(shù)就是要旋轉(zhuǎn)的度數(shù)，圖形有幾條對(duì)稱軸就有幾個(gè)夾角。所以，360除以對(duì)稱軸數(shù)量等于旋轉(zhuǎn)角度）

師：是不是只有旋轉(zhuǎn)這個(gè)角度才可以與原來(lái)的圖形重合？

（引導(dǎo)學(xué)生得出：圖形旋轉(zhuǎn)一周有幾次重合的機(jī)會(huì)，這里“一定的角度”是至少要旋轉(zhuǎn)的角度）

三、應(yīng)用規(guī)律，研究特例

師：前面我們研究的軸對(duì)稱圖形對(duì)稱軸的條數(shù)都是兩條或兩條以上，有沒(méi)有圖形只有一條對(duì)稱軸的？這樣的圖形旋轉(zhuǎn)，情形又會(huì)怎樣呢？

生：比如等腰三角形，它只有一條對(duì)稱軸，旋轉(zhuǎn)360度就能與原來(lái)的等腰三角形重合，也是符合這個(gè)規(guī)律的，只是等腰三角形沒(méi)有旋轉(zhuǎn)——

師：因?yàn)橹挥幸粭l對(duì)稱軸，所以沒(méi)有中心，以對(duì)稱軸上任意一點(diǎn)為中心旋轉(zhuǎn)都可以，當(dāng)然以對(duì)稱軸在圖中線段的中點(diǎn)為中心更省事一些。

師：圓的旋轉(zhuǎn)也符合這個(gè)規(guī)律嗎？

引導(dǎo)學(xué)生得出：1.圓有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸，360除以一個(gè)無(wú)限大的數(shù)，結(jié)果接近于0，旋轉(zhuǎn)時(shí)稍微動(dòng)一下，總能與原來(lái)的圓重合。2.因?yàn)閳A有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸，相鄰兩條對(duì)稱軸之間夾角很小，小到接近于0，隨便動(dòng)一下，這兩條對(duì)稱軸也會(huì)重合。所以，圓旋轉(zhuǎn)任意角度都與原來(lái)的圓重合。

探究至此，我們不僅發(fā)現(xiàn)了軸對(duì)稱圖形旋轉(zhuǎn)的特點(diǎn)，而且還有“意外的收獲”——發(fā)現(xiàn)了旋轉(zhuǎn)角度與圖形對(duì)稱軸條數(shù)之間的本質(zhì)聯(lián)系。在發(fā)現(xiàn)、推導(dǎo)、概括這個(gè)公式的過(guò)程中，學(xué)生所經(jīng)歷的從現(xiàn)象到本質(zhì)，從定性思考到定量分析，從特殊到一般，從一般到特殊的思維體驗(yàn)和歷練似乎更有意義。特別地，在探索過(guò)程中，對(duì)應(yīng)、函數(shù)（反比例）、極限等數(shù)學(xué)思想的滲透對(duì)學(xué)生產(chǎn)生的深遠(yuǎn)影響，尤其彌足珍貴！更能讓這個(gè)“附加值”成為智慧的增長(zhǎng)點(diǎn)。