運用SOLO分類評價理論指導圓的切線判定教學

鮑月平

【摘要】 圓的切線判定是初中教學中的重點和難點，也是中考的熱點，通過對學生的調查發(fā)現(xiàn)，學生對切線的判定認識大體分為五個層次，這是SOLO分類評價理論的體現(xiàn)。本文利用SOLO分類評價理論對圓的切線判定進行教學，將學生的思維引導上更高一層次的結構水平。

【關鍵詞】 SOLO分類評價理論 圓的切線判定

【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 1992-7711（2018）11-077-02

1. 問題的提出

圓的切線判定是人教版第24章內(nèi)容，是初中教學的重點和難點，也是中考的熱點，課本中給出了“和圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線”這一判定方法和切線定理“經(jīng)過半徑外端并且垂直于半徑的直線是圓的切線”。學生在做這一類題目時往往覺得無從下手，毫無思路。筆者在教完這一部分內(nèi)容后，針對“如何判定一條直線是圓的切線”這一主題對學生進行了調查，回答的結果可以總結為以下幾種情況：

（1）毫無頭緒。

（2）證明這條直線與半徑垂直；

（3）已知條件中直線與圓若有公共點，①存在連接公共點的半徑，可直接根據(jù)切線的判定定理證明；②條件中若給出了直線和圓的公共點，但沒有給出過這個點的半徑，則連接圓心和公共點，然后根據(jù)切線的判定定理來證明，簡稱為“連半徑，證垂直”

（4）在（3）的回答基礎之上補充，若這條直線與圓無交點，則先過圓心作這條直線的垂線段然后再證明這條垂線段等于半徑長，根據(jù)“圓心到直線的距離等于圓的半徑，該直線是圓的切線”證明，簡稱為“作垂直，證半徑”.

（5）在（4）的基礎上補充了如下內(nèi)容，在“連半徑，證垂直”的情況下，找已知條件中是否存在直角，若存在，找已知直角與要證明的直角之間有什么位置關系，若為同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角，可以考慮證兩直線平行，否則可以通過證明全等、相似等證兩角相等或通過角的等量代換，三角形內(nèi)角和等證明直角；若沒有直接的直角，看條件是否有直徑，等腰三角形（考慮三線合一），勾股定理逆定理等進行證明。

通過學生的回答發(fā)現(xiàn)，學生的對圓的切線判定的思維層次正好體現(xiàn)了SOLO分類評價理論的五個層次結構水平。

2. SOLO 分類評價理論的基本含義

SOLO 分類評價理論是由比格斯（J.B.Biggs）教授首倡，是一種以等級描述為基本特征的質性評價方法。 “SOLO”是英文“Structure of the Observed Learning Outcome”首字母的縮寫，即可觀察的學習成果結構。也就是說，學生在具體知識的學習過程中，都要經(jīng)歷一個從量變到質變的過程，每發(fā)生一次躍變，學生對于這一種認識的認知就進入更高一級的階段，可以根據(jù)學生回答問題時的表現(xiàn)來判斷他所處的思維發(fā)展階段，進而給予合理的評分。SOLO 分類評價理論學習成果劃分為5個層次，基本含義如下：

1）前結構層次：完全錯誤或不相關的答案，處于這一結構層次的學生基本上沒有所面對問題的簡單知識，找不出任何解決問題的辦法。

2）單點結構（unistructural）：只使用了所給問題涉及的某一個相關信息。學生關只能聯(lián)系單一事件，找到一個線索就立即跳到結論上去。

3）多點結構（multistructural）：學生抓住或者使用了回答問題所需要的所有方面或者其中的幾個方面的信息，甚至能夠在其中建立起兩兩之間的相互聯(lián)系，但是對于這些信息的使用仍然是孤立的但還沒有能將它們進行有機整合的能力。

4）關聯(lián)結構（relational）：學生能夠抓住并使用回答問題所需要的全部信息，并且能夠將這些方面進行綜合和概括，形成一個統(tǒng)一的整體。不會將問題置于更一般的、更廣闊的情境中進行考慮或者對問題提出質疑。

5）拓展抽象結構（extended abstract）：學生能夠在關聯(lián)的基礎上，聯(lián)系與問題相關的所有影響系統(tǒng)（包括問題中沒有直接提到，但是有影響的系統(tǒng)），將問題置于一個更為廣闊的情境中，對問題進行全面的思考以及更高水平的概括和歸納這代表一種更高層次的學習能力，這一層次的學生表現(xiàn)出更強的鉆研和創(chuàng)造意識。

3.運用SOLO分類理論指導切線判定教學

從SOLO分類理論的五個層次來看，學生對圓的切線判定的認識的思維層次可大概認為處于這五個層次。第（1）種回答的學生就處于前結構層次，大腦中沒有任何關于切線判定的知識。第（2）種回答的學生處于單點結構層次，只抓住垂直這一條件，忽略了其他條件。第（3）種回答的學生處于多點結構層次，可以解答直線與圓有公共點的這一類基礎的切線判定問題。第（4）種回答的學生處于關聯(lián)結構層次，對于先對容易的切線判定問題一般都可以解決，但由于缺乏深層次的思考，對于復雜一些的問題則無法解決。第（5）種回答體現(xiàn)了學生的抽象思維能力，能夠對如何證明切線進行深入的思考，探究，這一類學生有清晰的分析思路，可以將已知條件與要證明的結論之間產(chǎn)生聯(lián)系，可以解決復雜的切線判定問題。

基于上述分析，我們可以遵循SOLO分類理論組織教學，在教學中，我們應引導每個結構層次學生的思維能力向更高一級轉化，下面將通過具體的例子進行闡述。

例1.如圖1，AB是⊙O的直徑，∠ABT=45°，AT=AB，求證：AT是⊙O的切線。

解析：本題相對簡單，半徑OA已經(jīng)存在，只需根據(jù)等腰三角形等邊對等角的性質得到∠T=45°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠BAT=90°，及AT⊥AB，從而得到AT是⊙O的切線。對于單點結構層次的學生解決容易解決這道題。對于前結構層次學生，由于他們大腦中毫無切線判定的知識，先引導他們回顧課本，分析切線判定的條件，然后再解決這道題。

例2.如圖2，以等腰中的腰為直徑作⊙，交底邊于點。過點作，垂足為。求證：為⊙的切線；

解析：這道題由于半徑不存在，單一結構層次的學生不容易，則引導他們在半徑不存在的情況下先連接OD（如圖3），再證OD⊥DE，本題證明∠ODE=90°的方法較多。常用的兩種方法如下：方法一，利用等腰三角形等邊對等角的性質即等量代換得到∠C=∠ODB，從而得到AC∥OD，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，得到∠ODE=90°；方法二，得到∠C=∠ODB之后，由三角形內(nèi)角和定理得∠C+∠EDC=90°，根據(jù)等量代換得到∠ODB+∠EDC=90°，最后由平角的定義得∠ODE=90°。本題在證明過程中需要先添加輔助線，所涉及的知識點較多，多點結構層次學生一般可以完成，而單點結構層次學生在教師的引導下才可以解答。

例3.如圖4，點D是∠AOB的平分線OC上任意一點，過D作DE⊥OB于E，以DE為半徑作⊙D，判斷⊙D與OA的位置關系，并證明你的結論。

解析：本題屬于切線判定中第二大類題型“作垂直，連半徑”，過D作DF⊥OA，再根據(jù)角平分線性質定理得DF=DE.但對于多點結構層次學生來說，會在圖中添加點F，然后連接DF，再證明DF⊥OA，這一類學生錯誤使用了判定定理，忽略了直線經(jīng)過半徑外端這一條件，教師應讓學生回顧到切線的定義本身，讓學生意識到除了判定定理本身之外，還可以使用定義法判定，遇到題目時能夠分析題中的條件，選用不同的判定方法，這上升到關聯(lián)結構水平。

例4.如圖6，⊙O是△ABC的外接圓，AE平分∠BAC交⊙O于點E，交BC于點D，過點E作直線l∥BC.判斷直線l與⊙O的位置關系，并說明理由。

解析：本題難度較大，首先連接OE交BC于G，題中未給出有關90°的角，此時教師引導學生回顧例2的解法，比較兩種解法發(fā)現(xiàn)，第一種解法較為簡單，究其原因，題中出現(xiàn)了90°，而給出的90°角與要證明的90°角之間為內(nèi)錯角，所以考慮證明兩直線平行，由此可得出結論：在已知直線與圓有公共點的情況下，看題中是否存在90°，若存在，則觀察已知角和待證明角之間的位置關系，然后進行進一步轉化。再看到這道題，雖然題中未給出90°，但已知直線l∥BC，則思考能否證明∠BGO=90°，這是發(fā)現(xiàn)題中已給條件AE平分∠BAC，根據(jù)圓周角定理知∠BOE=∠COE，再根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質可得∠BGO=90°。這道題屬于拓展層次結構水平，通過教師的引導，學生對切線證明的思路進一步得到提升，從而在題目的分析和歸納中達到拓展結構水平！

4.結語

從以上案例分析可以看出，從前結構水平到拓展抽象結構水平， SOLO 分類評價理論提供了一種一次遞增的結構來測量學習質量的方法，把不同的學生指向不同的認知水平，有利于教師掌握學生的已有知識水平，學習能力。教師在教學中可以根據(jù)這樣一中結構層次通過設計相應的例題將學生一步步引導上更高一級的層次水平。

[ 參 考 文 獻 ]

[1]Biggs，J. Teaching for Quality Learning at University，Society for Research in Higher Education， Open University Press. 1999.

[2]王敏. SOLO分類評價理論在化學試題設計中的應用.2009.

[3]李英杰.SOLO分類評價理論在閱讀能力評價上的應用.首都師范大學學報，2006.

[3]官慶源.圓的切線的判定方法.中學生理科月刊，1995.