離散型隨機變量的分布列、期望和方差高考鏈接

丁吉生

一、高考考情

離散型隨機變量的均值與方差是高考的熱點，主要考查同學(xué)們對取有限個值的離散型隨機變量的均值、方差的理解，要求同學(xué)們能計算簡單離散型隨機變量的均值、方差，并能解決一些實際問題.如單獨考查一般以客觀題形式出現(xiàn)，主要考查利用公式進行計算，難度不大，若以解答題形式出現(xiàn)，一般不單獨考查，常見命題方式有兩種：一是與概率、分布列計算結(jié)合在一起進行考查，二是與統(tǒng)計結(jié)合在一起進行考查，難度中等.

二、要點整合

1.高考對離散型隨機變量的均值與方差的考查主要有以下三個命題角度：

（1）已知離散型隨機變量符合條件，求其均值與方差；

（2）已知離散型隨機變量的均值與方差，求參數(shù)值；

（3）已知離散型隨機變量滿足兩種方案，試作出判斷.

2.求離散型隨機變量均值、方差的基本方法

（1）已知隨機變量的分布列求它的均值、方差和標準差，可直接按定義（公式）求解；

（2）已知隨機變量ξ的均值、方差，求ξ的線性函數(shù)η=aξ+b的均值、方差和標準差，可直接用ξ的均值、方差的性質(zhì)求解；

（3）如能分析所給隨機變量服從常用的分布（如兩點分布、二項分布等），可直接利用它們的均值、方差公式求解.

3.解答題中對期望與方差的考查常與分布列結(jié)合在一起進行考查，求解此類問題要先根據(jù)隨機變量的定義，確定隨機變量可以取哪些值，然后根據(jù)隨機變量的取這些值的意義求出取這些值的概率，列出分布列，根據(jù)均值與方差的公式計算，若隨機變量服從二項分布，可直接利用公式E（X）=np，D（X）=np（1-p）求解.

4.均值與方差的實際應(yīng)用

對于均值與方差的實際應(yīng)用，命題模式通常是已知離散型隨機變量滿足兩種方案，試作出判斷.求解這類問題要用到均值與方差.

（1）D（X）表示隨機變量X對E（X）的平均偏離程度，D（X）越大表明平均偏離程度越大，說明X的取值越分散；反之，D（X）越小，X的取值越集中在E（X）附近，統(tǒng)計中常用D（X）來描述X的分散程度.

（2）隨機變量的均值反映了隨機變量取值的平均水平，方差反映了隨機變量取值偏離于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機變量，是生產(chǎn)實際中用于方案取舍的重要的理論依據(jù)，一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定.

三、考題選析

例1 （2017年新課標Ⅲ卷理）某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當天最高氣溫（單位：℃）有關(guān).如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25），需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：

最高氣溫[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）

天數(shù)216362574

以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.

（1）求六月份這種酸奶一天的需求量X（單位：瓶）的分布列；

（2）設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y（單位：元），當六月份這種酸奶一天的進貨量n（單位：瓶）為多少時，Y的數(shù)學(xué)期望達到最大值？

解：（1）由題意得，X可取200，300，500

點評：數(shù)學(xué)期望是離散型隨機變量中重要的數(shù)學(xué)概念，反應(yīng)隨機變量取值的平均水平.求解離散型隨機變量的分布列、數(shù)學(xué)期望時，首先要分清事件的構(gòu)成與性質(zhì)，確定離散型隨機變量的所有取值，然后根據(jù)概率類型選擇公式，計算每個變量取每個值的概率，列出對應(yīng)的分布列，最后求出數(shù)學(xué)期望.正態(tài)分布是一種重要的分布，之前考過一次，尤其是正態(tài)分布的3σ原則.endprint