一個(gè)圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題的推廣及應(yīng)用

我們生活的地球每時(shí)每刻都在環(huán)繞太陽(yáng)的橢圓軌跡上運(yùn)行，太陽(yáng)系其他行星也如此，太陽(yáng)則位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。如果這些行星運(yùn)行速度增大到某種程度，它們就會(huì)沿拋物線(xiàn)或雙曲線(xiàn)運(yùn)行。人類(lèi)發(fā)射人造地球衛(wèi)星或人造行星就要遵照這個(gè)原理。相對(duì)于一個(gè)物體，按萬(wàn)有引力定律受它吸引的另一物體的運(yùn)動(dòng)，不可能有任何其他的軌道了。因而，圓錐曲線(xiàn)在這種意義上講，它構(gòu)成了我們宇宙的基本形式。

一、圓錐曲線(xiàn)的性質(zhì)

1. 圓錐曲線(xiàn)焦點(diǎn)位置的判斷

（1）橢圓：由，分母的大小決定，焦點(diǎn)在分母大的坐標(biāo)軸上。如已知方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則m的取值范圍是 （答：）

（2）雙曲線(xiàn)：由，項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)決定，焦點(diǎn)在系數(shù)為正的坐標(biāo)軸上；

（3）拋物線(xiàn)：焦點(diǎn)在一次項(xiàng)的坐標(biāo)軸上，一次項(xiàng)的符號(hào)決定開(kāi)口方向。

2. 橢圓的性質(zhì)

定義1平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)2a（2a>|F1F2|）的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡叫做橢圓。即：│PF1│+│PF2│=2a。

定義2 橢圓的第二定義，準(zhǔn)線(xiàn)方程及離心率。

動(dòng)點(diǎn)M（x，y）與定點(diǎn)F（-c，0）的距離和它到定直線(xiàn)L： x=-的距離的比是常數(shù)，（a>c>0）時(shí)，M點(diǎn)的軌跡即為橢圓。即到定點(diǎn)距離與到定直線(xiàn)的距離的比等于定值e（0

定理1 設(shè)AB是橢圓的右焦點(diǎn)弦，準(zhǔn)線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)為，則小于。

定理2 設(shè)橢圓與一過(guò)交點(diǎn)的直線(xiàn)交于A（x，y），B（x，y）兩點(diǎn)，則│AB│稱(chēng)為弦，且│AB│=│x-x│。

定理3 設(shè)橢圓與一過(guò)交點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的直線(xiàn)交于A，B，兩點(diǎn)，則│AB│稱(chēng)為通徑，│AB│=。

3. 雙曲線(xiàn)的性質(zhì)

定義1 平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線(xiàn). 即=2a，標(biāo)準(zhǔn)方程為。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)之間的距離叫做雙曲線(xiàn)的焦距.。通常│F1F2│記為2c， 正常數(shù)記為2a.。

定義2 雙曲線(xiàn)的第二定義，準(zhǔn)線(xiàn)方程及離心率。

動(dòng)點(diǎn)M（x，y）與定點(diǎn)F（-c，0）的距離和它到定直線(xiàn)L： x=-的距離的比是常數(shù)，（a>c>0）時(shí)，M點(diǎn)的軌跡即為雙曲線(xiàn)。即到定點(diǎn)距離與到定直線(xiàn)的距離的比等于定值e （0定理1 漸近線(xiàn)是雙曲線(xiàn)特有的性質(zhì)，即無(wú)限接近但不可以相交，當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的方程是y=x；當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的方程是y=x。

定理2 當(dāng)半實(shí)軸長(zhǎng)=半虛軸長(zhǎng)（即a=b，）時(shí)，雙曲線(xiàn)稱(chēng)為等軸雙曲線(xiàn)，漸近線(xiàn)方程為y=x，其標(biāo)準(zhǔn)方程為x^2-y^2=C，其中C≠0；離心率e=

4. 拋物線(xiàn)的性質(zhì)

定義1 平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條直線(xiàn)l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線(xiàn)，點(diǎn)F叫做拋物線(xiàn)焦點(diǎn)，直線(xiàn)l叫做拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)。

定義2。定點(diǎn)F不在定直線(xiàn)l上。它與橢圓、雙曲線(xiàn)的第二定義相仿，僅比值離心率e不同，當(dāng)e=1時(shí)為拋物線(xiàn)，當(dāng)01時(shí)為雙曲線(xiàn)。

定理1 拋物線(xiàn)的過(guò)焦點(diǎn)的所有弦中，以?huà)佄锞€(xiàn)的通經(jīng)為最短。

定理2 設(shè)AB是拋物線(xiàn)的長(zhǎng)為m的動(dòng)弦，則

（1） 當(dāng)（通徑長(zhǎng)）時(shí)，AB的中點(diǎn)M到x軸的距離的最小值為；

（2） 當(dāng)（通徑長(zhǎng)）時(shí)，AB的中點(diǎn)M到x軸的距離的最小值為。

定理3 拋物線(xiàn)焦點(diǎn)弦：設(shè)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于A（x，y2），B（x，y2）兩點(diǎn)，直線(xiàn)OA與OB的斜率分別為k1，k2，直線(xiàn)l的傾斜角為a，則有x1，y2=-，x1，x2=，k1，k2=-，=，=，=，=++p。

例1. （1）已知一拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是，則求此拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程及它的焦點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 ，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。

解：（1）因?yàn)?，所以?zhǔn)線(xiàn)方程是.焦點(diǎn)坐標(biāo)是，

（2）由題可知所求拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，且，，則所求的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程就為

二、圓錐曲線(xiàn)在生活中的應(yīng)用

圓錐曲線(xiàn)是描述各大星系圍繞運(yùn)行的曲線(xiàn)，也是現(xiàn)實(shí)當(dāng)中隨處可見(jiàn)的曲線(xiàn)，再者圓錐曲線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)在日常生活當(dāng)中運(yùn)用甚多。

例2 如圖，我國(guó)年月日發(fā)射的第一顆人造地球衛(wèi)星——“東方紅”號(hào)，是以地心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓。已知人造地球衛(wèi)星的近地點(diǎn)（距地面最為近的點(diǎn)）與地面之間的距離為，遠(yuǎn)地點(diǎn)（距地面的距離最近的點(diǎn)）與地面之間的距離為，且、、都在同一直線(xiàn)上，地球半徑大約是，求衛(wèi)星運(yùn)行的軌道方程（精確到）.[圖1

]

解：如圖1建立直角坐標(biāo)系，讓點(diǎn)、、在軸上，且為橢圓的右焦點(diǎn)（則記為左焦點(diǎn)）。

由于橢圓的焦點(diǎn)在軸上，則假設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

則，

.

解：，.

所以b===

用計(jì)算器求得，因此，衛(wèi)星的軌道方程是

三、圓錐曲線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)和應(yīng)用

一只燈泡散出的光，會(huì)以燈光為點(diǎn)形成球形射出，然而，燈泡裝在手電筒里以后適當(dāng)?shù)恼{(diào)節(jié)，就能射出一束比較強(qiáng)的平行光線(xiàn)，這到底由什么原理組成的呢？

其實(shí)在電筒離得小燈泡的身后就有一面反光鏡，這面鏡反光鏡的鏡面的形狀是一個(gè)由我們?nèi)缟纤鰭佄锞€(xiàn)的原理，即繞著它的軸旋轉(zhuǎn)[圖2] 而得到的一個(gè)曲面【8】（如圖2所示）這個(gè)面就被稱(chēng)為拋物面。經(jīng)證明，拋物線(xiàn)有一重要的性質(zhì)即從焦點(diǎn)射發(fā)出的光線(xiàn)，在經(jīng)拋物面反射后，其反射光線(xiàn)就會(huì)平行于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸。探照燈也是利用這個(gè)原理設(shè)計(jì)的。

同樣的道理我們運(yùn)用拋物線(xiàn)的這個(gè)性質(zhì)理論，都可讓一束拋物線(xiàn)的軸的光線(xiàn)且是平行與拋物線(xiàn)的，它在經(jīng)拋物面的反射候會(huì)集中于它的焦點(diǎn)上。在生活中這個(gè)原理也被人們應(yīng)用來(lái)設(shè)計(jì)了一種可以為食物加熱的太陽(yáng)灶。就是在太陽(yáng)灶上面安裝了一個(gè)形如旋轉(zhuǎn)拋物面的一面反光鏡，在太陽(yáng)光和這面反光鏡的軸平行的時(shí)候，經(jīng)過(guò)反射的太陽(yáng)光會(huì)集中于它的焦點(diǎn)出，此時(shí)這個(gè)位置的溫度就會(huì)逐漸變得很高。

雙曲線(xiàn)和橢圓的光學(xué)性質(zhì)與拋物線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)之間是有一些不同的。由雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)所發(fā)出的光線(xiàn)在經(jīng)其反射過(guò)后，其反射光線(xiàn)一定是散開(kāi)的，就好似從另外的一個(gè)焦點(diǎn)射出來(lái)的那樣（如圖3所示）。然而由橢圓上一焦點(diǎn)所散出的光線(xiàn)，在經(jīng)其反射之后，反射的光線(xiàn)會(huì)交于橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)上（如圖4所示）， 當(dāng)然雙曲線(xiàn)以及橢圓的光學(xué)性質(zhì)也各種設(shè)計(jì)以及生活當(dāng)中被人們廣泛地運(yùn)用。

[圖3 圖4]

三、圓錐曲線(xiàn)的性質(zhì)及應(yīng)用

1. 直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系的實(shí)際應(yīng)用

例4 過(guò)原點(diǎn)且斜率為正值的直線(xiàn)交橢圓[圖7] 于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，設(shè)A （2，0），B（0，1），求四邊形AEBF面積S的最大值。

分析 由圖形的對(duì)稱(chēng)性可知，當(dāng)且僅當(dāng)橢圓弧AB上的點(diǎn)F到直線(xiàn)AB的距離最大時(shí)，四邊形AEBF的面積取最大值，不難發(fā)現(xiàn)此時(shí)的點(diǎn)F恰是橢圓平行于AB的切線(xiàn)與橢圓的共共點(diǎn)。

解 設(shè)直線(xiàn)是與直線(xiàn)AB平行的橢圓的兩條切線(xiàn)，則當(dāng)E，F(xiàn)分別與兩切點(diǎn)重合時(shí)，四邊形AEBF面積S取最大值。設(shè)切線(xiàn)的方程為，代入橢圓方程可得，令得，即兩切線(xiàn)的方程為，它們的距離為，而，故。

例5 已知A（1，1）為橢圓內(nèi)一點(diǎn)，[圖8] 為橢圓左焦點(diǎn)，P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)。求的最大值和最小值。

解 已知 ，左焦點(diǎn)（-2，0），右焦點(diǎn)。由橢圓的定義

由 知

（當(dāng)在延長(zhǎng)線(xiàn)上的處時(shí)，取右“=”，當(dāng)在的反向延長(zhǎng)線(xiàn)的處時(shí)，取左“=”）

即的最大值、最小值分別為，，于是的最大值為，最小值為。

反思 利用三角形兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)求得最值。

例6 求二元函數(shù)的最小值. [圖9]

分析 如圖所示，的表達(dá)式是兩點(diǎn)、之間距離的平方，且所以，、分別是圓與雙曲線(xiàn)上的一點(diǎn)。 易知，所以

小結(jié) 由于平面解析幾何本身是數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物，所以借助圖形的幾何性質(zhì) 也是破解圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題的重要對(duì)策，而且往往能收到事半功倍的效果。

總結(jié) 本文在介紹圓錐曲線(xiàn)的圖形的簡(jiǎn)單形成之后，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，函數(shù)與方程的思想，簡(jiǎn)單的概括的圓錐曲線(xiàn)的圖像函數(shù)，并根據(jù)一些簡(jiǎn)單的例子鞏固了圓錐曲線(xiàn)的概念。再者，又利用了分類(lèi)討論的思想；對(duì)橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)的幾個(gè)相同的性質(zhì)及不同的性質(zhì)進(jìn)行分析，最后歸納總結(jié)。且在了解了圓錐曲線(xiàn)的幾個(gè)基本性質(zhì)之后再對(duì)其在生活中的推廣應(yīng)用進(jìn)行一個(gè)簡(jiǎn)單的講解與分析。在一些例題的分析之后，也讓我們了解到天體在宇宙運(yùn)行的軌跡以及圓錐曲線(xiàn)在生活中被廣泛應(yīng)用的奧秘。