具有非卷積型核的多線性Littlewood-Paley算子在Campanato空間上的新估計

周 疆,周 盼

(新疆大學 數(shù)學與系統(tǒng)科學學院,新疆 烏魯木齊 830046)

眾所周知,Littlewood-Paley算子(g-函數(shù),面積積分S和g*λ-函數(shù))在調(diào)和分析和偏微分方程中扮演著重要角色.g-函數(shù)和g*λ-函數(shù)是Littlewood和Paley[1]在研究Fourier級數(shù)時引進的,面積積分S是Lusin[2]在研究解析函數(shù)的邊界值時引入的.自從20世紀70年代Coifman和Meyer[3]首次研究多線性奇異積分算子理論以來,多線性理論引起了Grafakos和Torres[4-5]的濃厚興趣.關(guān)于具有非卷積型核的多線性Littlewood-Paley算子的研究已有很多,見文獻[6-8]等.近來，許多學者對具有非卷積型核的多線性Littlewood-Paley算子也進行了研究,得到了一些結(jié)果.例如,2012年,Hart[9]研究了具有非卷積型核的面積積分S在Lebesgue和Sobolev乘積空間上的有界性，2014年,Shi等[10]得到了具有非卷積核的Littlewood-Paley算子在加權(quán)Lebesgue空間上的估計.

Littlewood-Paley算子在BMO和Campanato空間上的有界性研究可見文獻[11-13].胡國恩等[14]得到了Marcinkiewicz算子在BMO和Campanato空間上的有界性；賀莎等[15]將Littlewood-Paley算子在文獻[11-12]中的結(jié)果推廣到了多線性情形,證明了具有非卷積型核的多線性Littlewood-Paleyg-函數(shù)、多線性面積積分S、多線性Littlewood-Paleyg*λ-函數(shù)在Campanato空間上的有界性.

1 相關(guān)定義及主要結(jié)果

Campanato空間是Campanato在1963年首次引進的,其定義如下.

定義1[16]設(shè)-n/p≤α<1,1≤p<∞,f是Rn上的一個局部可積函數(shù),如果存在常數(shù)C1>0使得對于任意的球B?Rn,有

定義2設(shè)-n/p≤α<1,1≤p<∞,f是Rn上的一個局部可積函數(shù),如果存在常數(shù)C2>0，使得對于任意的球B?Rn,有

定義3[15]設(shè)K(x,y1,…,ym)為定義在(Rn)m+1{(x,y1,…,ym):x=y1=…=ym}上的函數(shù),如果對所有的(y1,…,ym)∈(Rn)m,存在常數(shù)C>0,使得K(x,y1,…,ym)滿足以下條件:

本文的主要結(jié)果如下：

因此

通過以上不等式和定理1,容易得到以下推論.

注記1文獻[18]證明了在點態(tài)意義下S(f)(x)≤Cg*λ(f)成立,因此以上結(jié)果對于多線性Lusin面積積分S也成立.

2 主要結(jié)果的證明

首先證明定理1,僅考慮雙線性的情形,對于m≥3情形類似可得.下面給出雙線性Littlewood-Paleyg-函數(shù)在Lebesgue空間上的結(jié)果以及相關(guān)引理.

||g(f1,f2)||Lp(Rn)≤C||f1||Lp1(Rn)||f2||Lp2(Rn), ||S(f1,f2)||Lp(Rn)≤C||f1||Lp1(Rn)||f2||Lp2(Rn).

引理2[20]設(shè)f∈εα,p(Rn),1≤p<∞.如果β>0,-∞<α

其中C是僅依賴于n,α,β的常數(shù).

定理1的證明只需證明對于任意fi∈εαi,pi(Rn),i=1,2,如果存在x0∈Rn使得g(f1,f2)(x0)<∞,那么對于任意的球B?Rn及x0∈B，有

不失一般性,假設(shè)||f1||εα1,p1(Rn)=1,||f2||εα2,p2(Rn)=1,B=B(xB,r)表示以xB為球心、以r為半徑的球.對于任意的x∈B,設(shè)

則由核K的消失性條件(1)可得

首先估計I1,由引理1可得

現(xiàn)在估計I2,I3,I4.由對稱性和引理3可知

g0((f1-m4B(f1))χ(4B)c,(f2-m4B(f2))χ4B)(x)≤C|B|α/n，

因此

I2≤C|B|2α/n，I3≤C|B|2α/n，I4≤C|B|2α/n.

最后,為了估計I5,僅需證明對于任意的x,x′∈B,有

|[g∞(f1,f2)(x)]2-[g∞(f1,f2)(x′)]2|≤C|B|2α/n.

由于

對于任意的t≥4r,選取k0∈N使得2k0r≤t<2k0+1r,由條件(1)和(2)可知，對于任意的x∈B，有

首先估計J1,由H?lder不等式可得

對于J2,由2k0r≤t<2k0+1r,x∈B,y1∈(2k0B)c可得|x-y1|～|xB-y1|.因此,由引理2可得

對于J3,類似于J2的估計可得

J3≤Ctα.

現(xiàn)在估計J4.由2k0r≤t<2k0+1r,x∈B,y1,y2∈(2k0B)c可知|x-y1|+|x-y2|～|xB-y1|+|xB-y2|.因此,如果α≥0,取0<ε<δ-α,則由引理2可得

若α<0,同樣可得

另一方面,由非卷積型核K的消失性條件(1)和(3)可知,對于任意的x,x′∈B，有

因此,對于任意的x,x′∈B,設(shè)n>α+δ,則由文獻[15]中引理2.3的證明方法和引理2.2,類似于估計J4可得

至此,完成定理1的證明. 】

下面證明定理2,我們也僅考慮雙線性情形,對于m≥3的情形類似可得.下面先給出雙線性Littlewood-Paleyg*λ-函數(shù)在Lebesgue空間上的結(jié)果以及相關(guān)的點態(tài)估計.

||g*λ(f1,f2)||Lp(Rn)≤C||f1||Lp1(Rn)||f2||Lp2(Rn).

定理2的證明只需證明對于任意fi∈εαi,pi(Rn),i=1,2,如果存在x0∈Rn使得g*λ(f1,f2)(x0)<∞,那么對于任意的球B?Rn及x0∈B，有

不失一般性,假設(shè)||f1||εα1,p1(Rn)=1,||f2||εα2,p2(Rn)=1,B=B(xB,r)表示以xB為球心、以r為半徑的球.對于任意的非負整數(shù)k,定義

則由核K的消失性條件(1)可得

其中

首先估計H1.由引理4可得

現(xiàn)在估計H2,H3,H4.由對稱性和引理5可知

g*λ,0((f1-m4B(f1))χ(4B)c,(f2-m4B(f2))χ4B)(x)≤C|B|α/n,

因此

H2≤C|B|2α/n,H3≤C|B|2α/n,H4≤C|B|2α/n.

最后估計I5.由非卷積型核K的條件(1)和(2)可知,對于任意的x,x′∈B,有

因此,我們總假設(shè)λ∈(4,5).

對于E3,由對稱性可知

E3≤C|B|2α/n.

如果α<0,同理可得

至此,完成定理2的證明. 】

[1] LITTLEWOOD J E,PALEY R E A C.Theorems on Fourier series and power series[J].JLondonMathSoc,1931,6(3):230.

[2] LUSIN H.Sur une propriete des fonctions a carre sommable[J].BullCalcuttaMathSoc,1930,20:139.

[3] COIFMAN R R,MEYER Y.On commutators of singular integrals and bilinear singular integrals[J].TransAmerMathSoc,1975,212:315.

[5] GRAFAKOS L,TORRES R H.Maximal operator and weighted norm inequalities for multilinear singular integrals[J].IndianaUnivMathJ,2002,51(5):1261.

[7] YABUTA K.A multilinearization of Littlewood-Paley’sg-function and Carleson measures[J].TohokuMathJ,1982,34(2):251.

[8] SATO S,YABUTA K.Multilinearized Littlewood-Paley operators[J].SciMathJpn,2002,55(3):447.

[9] HART J.Bilinear square functions and vector-valued Calderón-Zygmund operators[J].JFourierAnalAppl,2012,18(6):1291.

[10] SHI Shao-guang,XUE Qing-ying,YABUTA K.On the boundedness of multilinear Littlewood-Paleyg*λ-function[J].JMathPuresAppl,2014,101(3):394.

[11] 王斯雷,陳杰誠.關(guān)于平方函數(shù)的幾點注記[J].數(shù)學年刊A輯,1990,11(5):630.

[12] SUN Yong-zhong.On the existence and boundedness of square function operators on Campanato spaces[J].NagoyaMathJ,2004,173:139.

[13] YABUTA K.Existence and boundedness ofg*λ-function and Marcinkiewicz functions on Campanato spaces[J].SciMathJpn,2004,59(1):93.

[14] HU Guo-en,MENG Yan,YANG Da-chun.Estimate for Marcinkiewic integrals in BMO and Campanato spaces[J].GlasgowMathJ,2007,49(2):167.

[15] HE Sha,XUE Qing-ying,MEI Ting,et al.Existence and boundedness of multilinear Littlewood-Paley operators on Campanato spaces[J].JMathAnalAppl,2015,432(1):86.

[16] CAMPANATOS.Proprietdi h?lderianitdi alcune classi di funzioni[J].AnnScuolaNormsupPisa,1963,17(3):175.

[17] COIFMAN R R,ROCHBERG R.Another characterization of BMO[J].ProcAmerMathSoc,1980,79(2):2494.

[18] STEIN E M.On the functions of Littlewood-Paley,Lusin and Marcinkiewicz[J].TransAmerMathSoc,1958,88(2):430.

[19] XUE Qing-ying,YAN Jing-quan.On multilinear square function and its applications to multilinear Littlewood-Paley operators with non-convolution type kernels[J].JMathAnalAppl,2015,422(2):1342.

[20] FABES E B,JOHNSON R L,NERI U.Spaces of harmonic functions representable by Poisson integrals of functions in BMO and [J].IndianaUnivMathJ,1976,25(2):159.