負(fù)脈沖混合多模態(tài)輸入整形器抑振魯棒性分析

李 兵 ，魏玉蘭 ，歐鵬飛 ，張清珠

（1.湖州師范學(xué)院工學(xué)院，浙江 湖州 313000；2.麥吉爾大學(xué)采礦與材料工程系，蒙特利爾，加拿大 H3A0C5）

1 引言

機(jī)器人在先進(jìn)制造領(lǐng)域中被廣泛使用，為提高機(jī)器人的執(zhí)行速度會減少主要零部件的重量，但機(jī)器人在高速移動中會產(chǎn)生較大的殘余振動，這會導(dǎo)致機(jī)器人的運(yùn)動精度降低[1-2]。當(dāng)機(jī)器人運(yùn)動速度較快或主要零部件剛性較低時(shí)，高階模態(tài)的殘余振動也隨之提高，導(dǎo)致機(jī)器人運(yùn)動精度進(jìn)一步降低，常見的單模態(tài)振動控制策略難以同時(shí)抑制多個(gè)模態(tài)的殘余振動[3-5]。多模態(tài)輸入整形器可以解決這個(gè)問題[6-8]。為提高輸入整形器的響應(yīng)速度，可采用負(fù)脈沖建立輸入整形器[9]。對于機(jī)器人各階振動頻率范圍差異較大時(shí)，可以使用混合型多模態(tài)輸入整形器，負(fù)脈沖混合輸入整形器在減少多個(gè)模態(tài)振動的同時(shí)能加快系統(tǒng)的響應(yīng)速度[10]。當(dāng)機(jī)器人運(yùn)行參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，直接影響機(jī)器人的運(yùn)動狀態(tài)和機(jī)器人殘余振動的響應(yīng)。輸入整形器的魯棒性就是其不靈敏度，其反映了機(jī)器人運(yùn)行參數(shù)或共振頻率與機(jī)器人殘余振動響應(yīng)之間的關(guān)系，體現(xiàn)了輸入整形器抑制振動的能力受外界參數(shù)變化的影響程度[3]。對輸入整形器的不靈敏度進(jìn)行分析，能得到各階模態(tài)每個(gè)頻率點(diǎn)抑制殘余振動的比例和有效抑振的頻率范圍。因此，不靈敏度是評估輸入整形器性能的關(guān)鍵指標(biāo)。

2 基本原理

2.1 抑振原理

多模態(tài)輸入整形器是將系統(tǒng)多個(gè)單模態(tài)輸入整形器卷積而成，它可以同時(shí)減少系統(tǒng)多模態(tài)的殘余振動，其控制策略的原理[7]，如圖1所示。

圖1 多模態(tài)輸入整形控制的原理圖Fig.1 Schematic of Multiple-Modal Input Shaping Control

正脈沖多模態(tài)輸入整形器能抑制多個(gè)模態(tài)的振動，但系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間較慢；負(fù)脈沖多模態(tài)輸入整形器能有效改善該缺點(diǎn)，使響應(yīng)時(shí)間縮短；當(dāng)使用不同類型單模態(tài)輸入整形器構(gòu)建時(shí)，稱為混合多模態(tài)輸入整形器，其也分為正脈沖和負(fù)脈沖兩種類型，前者的響應(yīng)時(shí)間要快于后者，但后者抑制的殘余振動要稍多于前者[10]。

負(fù)脈沖混合多模態(tài)輸入整形器（NHMS）是針對系統(tǒng)各階振動頻率范圍差異較大的情況，它可以加快系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間，同時(shí)減少多模態(tài)的振動。NHMS是將不同類型的負(fù)脈沖單模態(tài)輸入整形器（NZV、NZVD、NEI）卷積而得。

例如，對于某機(jī)器人系統(tǒng)，已知前n階模態(tài)的共振頻率與對應(yīng)的阻尼比，則各階負(fù)脈沖單模態(tài)輸入整形器（NIS）為：

式中：NISi—第i個(gè)模態(tài)構(gòu)建的負(fù)脈沖單模態(tài)輸入整形器；m—輸入整形器的脈沖數(shù)量，則對于第i個(gè)單模態(tài)整形器NISi的第j個(gè)脈沖的幅值和輸入時(shí)間可用Aij和tij表示。通過卷積計(jì)算，一個(gè)多模態(tài)輸入整形器（NIS-NIS）為：

采用上述方法可建立六種NHMS，以兩模態(tài)為例，六種負(fù)脈沖混合兩模態(tài)輸入整形器（NHTS）分別為：NZV-NZVD、NZVD-NZV、NEI-NZVD、NZV-NEI、NZVD-NEI、NEI-NZV。

2.2 魯棒性分析原理

魯棒性是評估輸入整形器抑振能力強(qiáng)弱的關(guān)鍵指標(biāo)，可對輸入整形器的靈敏度曲線分析而得。通過計(jì)算每個(gè)頻率點(diǎn)抑制殘余振動的百分比可獲輸入整形器的靈敏度曲線，該曲線表達(dá)了頻率與抑制振幅比例之間的變化關(guān)系[3]。當(dāng)殘余振動幅值低于5%時(shí)，靈敏度曲線的寬度為輸入整形器的不靈敏度，它代表輸入整形器在該階模態(tài)下能有效減小殘余振動的頻率范圍，即輸入整形器在該頻率范圍內(nèi)能使殘余振動的幅值低于5%。不靈敏度越高，輸入整形器減少振動的頻帶越寬。當(dāng)系統(tǒng)使用輸入整形器時(shí)，可用方程（3）表示其殘余振動[3]。

式中：Vs（ωnor，ζ）—在每一個(gè)頻率點(diǎn)殘余振動幅值的百分比；ωnor—正則化頻率，其可表示為：

式中：ωs—實(shí)際共振頻率；ωc—理論共振頻率。

對于NZV負(fù)脈沖輸入整形器，構(gòu)建的約束條件是令方程（3）為0，即令Vs＝0，但NZV的不靈敏度較低；而NZVD輸入整形器擁有較高的不靈敏度，構(gòu)建NZVD的約束條件除了方程（3）之外還增加了方程（5），即令殘余振動的導(dǎo)數(shù)為0[3]。

NEI擁有最高的不靈敏度，其以削弱抑制振動的能力為代價(jià)而提高不靈敏度，構(gòu)建NEI的約束條件為：

其中，ωp和ωq兩頻率點(diǎn)分別位于ωnor左右兩側(cè)且對稱，在這兩點(diǎn)上的殘余振動為0；在ωnor頻率點(diǎn)處的最大振動幅值被限制為Vd（常取5%），而在ωp和ωq兩頻率點(diǎn)之間的振動小于Vd，從而加寬了有效抑振的頻率范圍，提高了不靈敏度[3]。

使用方程（3）對輸入整形器進(jìn)行仿真可獲得其靈敏度曲線。該方法對于單模輸入整形器是有效的，對于多模輸入整形器也同樣適用，也可用于NHMS。對于多模態(tài)輸入整形器，通過同時(shí)分析各個(gè)模態(tài)抑振頻率的寬度可獲得其不靈敏度。

3 機(jī)器人系統(tǒng)

這種機(jī)器人由3組相同的分支在平面內(nèi)對稱組裝而成，其在平面內(nèi)具有3個(gè)自由度（1個(gè)轉(zhuǎn)動、2個(gè)移動），稱為3-DOF并聯(lián)機(jī)器人[10]，如圖2所示。通過降低機(jī)器人自重以加快運(yùn)動速度，采用一種柔性臂連接著移動平臺與直線滑塊，但較大的殘余振動卻影響系統(tǒng)的運(yùn)動精度。

圖2 機(jī)器人Fig.2 Robot

機(jī)器人的移動平臺結(jié)構(gòu)為等邊三角形，直線滑塊的移動長度為400mm，三個(gè)柔性臂均采用鋁合金材質(zhì)，且形狀、大小、安裝方式完全一樣，長200mm、寬30mm、厚 2mm、密度 ρ為 2.77×103kg/m3。根據(jù)實(shí)驗(yàn)測量和分析，可得柔性臂第一階共振頻率和阻尼比分別為76.6Hz和0.057，而第二階分別為231.2Hz和0.017[10]。

4 仿真計(jì)算與特性分析

4.1 輸入整形器的靈敏度曲線

根據(jù)上述機(jī)器人的振動參數(shù)，分別建立NZV-NZVD、NZVDNZV、NEI-NZVD、NZV-NEI、NZVD-NEI 和 NEI-NZV 這 六 種NHTS，并在Mathematica計(jì)算軟件里進(jìn)行仿真計(jì)算，以單位階越信號為輸入，分析各種輸入整形器對系統(tǒng)輸出響應(yīng)的影響，如圖3、圖4所示。

從圖3和圖4可看出，這六種NHTS抑振效果顯著，且能縮短系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)間，但振動抑制特性存在差異，可以使用靈敏度曲線分析造成差異的原因，單模態(tài)與NHTS的靈敏度曲線，如圖5所示。

圖3 NZV-NZVD、NZVD-NZV、NEI-MZVD響應(yīng)Fig.3 Responses of NZV-NZVD，NZVD-NZV and NEI-MZVD

圖 4 NZV-NEI、NZVD-NEI、NEI-NZV 響應(yīng)Fig.4 Responses of NZV-NEI，NZVD-NEI and NEI-NZV

圖5 單模態(tài)整形與NHTS的靈敏度曲線Fig.5 Sensitivity Curves of Single-Modal Shaping and NHTS

從圖5可得，一階負(fù)脈沖單模態(tài)（NZV1、NZVD1、NEI1）輸入整形器都能明顯減少機(jī)器人一階模態(tài)的殘余振動，但對于二階模態(tài)的振動抑制效果較差；二階負(fù)脈沖單模態(tài)（NZV2、NZVD2、NEI2）輸入整形器只對二階模態(tài)振動的抑制有效。而這六種NHTS對前兩階模態(tài)振動的抑制效果都很顯著，其魯棒性明顯好于單模態(tài)輸入整形器；且在前兩個(gè)模態(tài)中，抑振頻帶較寬說明其不靈敏度較高，但均小于對應(yīng)的單模態(tài)輸入整形器。

此外，這六種新型輸入整形器前兩階的不靈敏度值存在差異。對于一階模態(tài)，NEI-NZVD具有最大的不靈敏度，NZV-NZVD具有最小的不靈敏度；而二階模態(tài)，NZVD-NEI具有最大的不靈敏度，NZVD-NZV具有最小的不靈敏度。對于NEI-NZVD，其二階模態(tài)的靈敏度曲線產(chǎn)生了較明顯的偏移，即二階模態(tài)的頻率誤差減小20.8%時(shí)其減振效果將顯著降低，而頻率誤差增大到37.4%時(shí)減振效果才會降低。這六種NHTS各階抑振頻帶寬度以及頻率誤差范圍，若系統(tǒng)頻率超出該頻率范圍時(shí)，振動的幅值將不能被限制在5%之下，如表1所示。由于3-DOF并聯(lián)機(jī)器人前兩個(gè)模態(tài)的振動頻率變化范圍較小，二階模態(tài)振動頻率的變化范圍要大于一階模態(tài)，且期望獲得較快的系統(tǒng)響應(yīng)速度，因此綜合性能最好的NHTS是NZV-NZVD。

表1 頻帶與頻率誤差Tab.1 Frequency Bands and Errors

4.2 脈沖類型與混合控制策略的影響

為分析脈沖類型（正脈沖、負(fù)脈沖）和混合控制策略對多模態(tài)輸入整形器的影響，可對比負(fù)脈沖多模態(tài)、正脈沖混合多模態(tài)（PHMS）、NHMS的靈敏度曲線，以兩模態(tài)為例，如圖6所示。

圖6 脈沖類型與混合策略對靈敏度曲線的影響Fig.6 Effect of Impulse Type and Hybrid Strategy on Sensitivity Curves

由圖6可得，這三類輸入整形器的靈敏度曲線存在差異。對于一階模態(tài)，正脈沖混合兩模態(tài)的不靈敏度略大于NHTS；但對于二階模態(tài)，前者要比后者寬得多。這意味著PHMS比NHMS能抑制更多的殘余振動，這與從系統(tǒng)響應(yīng)曲線分析中獲得的結(jié)論相一致[10]。因此，可得脈沖類型對混合多模態(tài)輸入整形器的一階抑振的不靈敏度影響較小，但對二階影響較大，負(fù)脈沖會使前兩階模態(tài)的抑振頻帶變窄，從而使系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間加快。

另外，對于負(fù)脈沖多模態(tài)與NHMS，以NZV-NZV、NZVDNZVD、NZV-NZVD、NZVD-NZV為例，NZV-NZV與NZV-NZVD、NZVD-NZVD與NZVD-NZV的一階不靈敏度非常接近，而二階相差較大；NZV-NZV與 NZVD-NZV、NZVD-NZVD與 NZVNZVD的一階不靈敏度差距較大，而二階的不靈敏度存在較小的差距。這主要由構(gòu)成各階單模態(tài)輸入整形器的類型決定的。由此可得，對于負(fù)脈沖多模態(tài)與NHMS，如果一階模態(tài)輸入整形器的類型一樣而二階不同時(shí)，則它們的一階不靈敏度非常接近，而二階相差較大；而當(dāng)二階模態(tài)輸入整形器的類型一樣而一階不同時(shí)，這兩個(gè)輸入整形器的一階不靈敏度差異較大，二階不靈敏度也存在較小的差異。因此，對于混合控制策略，各階單模態(tài)輸入整形器的魯棒性決定了多模態(tài)輸入整形器各階抑振魯棒性的大小。

4.3 多模態(tài)輸入整形器的選用原則

多模態(tài)輸入整形器的類型包括正脈沖、負(fù)脈沖、正脈沖混合、負(fù)脈沖混合四種類型。當(dāng)要求抑制更多殘余振動幅值而對時(shí)間響應(yīng)要求不高時(shí)，可選擇正脈沖多模態(tài)輸入整形器；但要提高系統(tǒng)響應(yīng)速度且可適當(dāng)降低振動抑制能力時(shí)，可選擇負(fù)脈沖多模態(tài)輸入整形器；對于各階振動模態(tài)的振動特性（頻帶寬度、振幅）相差較大時(shí)，為使各階模態(tài)的振動特性與輸入整形器的魯棒性相匹配，不會產(chǎn)生過渡浪費(fèi)或不足，可選擇正脈沖混合多模態(tài)輸入整形器；當(dāng)要求更快的響應(yīng)時(shí)間且可適當(dāng)降低振動抑制能力時(shí)，應(yīng)選擇NHMS。

對于NHTS，當(dāng)系統(tǒng)第一階模態(tài)的振動頻帶較窄且第二階模態(tài)較寬時(shí)，可使用NZV-NEI能減少更多的殘余振動。相反，當(dāng)系統(tǒng)第一階模態(tài)振動頻帶較寬而第二階較窄時(shí)，可使用NEI-NZV。NZVD-NEI在所有NHTS中具有最好的魯棒性，但具有最慢的系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間；而NZV-NZVD的魯棒性較差，但具有最快的系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間。因此，為了實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)響應(yīng)速度最快、振動抑制最多或魯棒性最好等目標(biāo)，可根據(jù)系統(tǒng)各階模態(tài)的頻帶寬度、振動幅值和期望的系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間選擇最適合的多模態(tài)輸入整形器。

5 結(jié)論

敘述了負(fù)脈沖混合多模態(tài)輸入整形控制策略的構(gòu)建方法與魯棒性分析原理。針對3-DOF機(jī)器人分別構(gòu)造六種NHTS輸入整形器，利用仿真得到了其靈敏度曲線，并獲得了這六種NHTS前兩個(gè)模態(tài)的抑振頻帶寬度與頻率誤差范圍，其魯棒性明顯優(yōu)于單模態(tài)輸入整形器，NZVD-NEI具有最好的魯棒性，但具有最慢的系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間，而NZV-NZVD具有較差的魯棒性，但具有最快的系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間，NZV-NZVD抑振的綜合性能最好。脈沖類型對混合多模態(tài)輸入整形器的一階抑振影響較小，但對二階抑振影響較大，負(fù)脈沖會使二階模態(tài)的抑振頻帶變窄。對于混合控制策略，各階單模態(tài)輸入整形器的魯棒性決定了多模態(tài)輸入整形器各階抑振魯棒性的大小。因此，為滿足系統(tǒng)響應(yīng)速度最快、振動抑制最多或魯棒性最好等要求，可根據(jù)系統(tǒng)各階模態(tài)的頻帶寬度、振幅大小及期望的系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間選擇最適合的多模態(tài)輸入整形器。