淺談“二次型”在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

吳明廉

摘 要：高中數(shù)學(xué)很多考察模塊中都含有“二次型”，我總結(jié)了幾個類型題供參考，主要有求解不等式，求參數(shù)取值范圍，求數(shù)列的最大項(xiàng)，求函數(shù)值，恒成立問題，方程的根的個數(shù)，單調(diào)區(qū)間問題等。

關(guān)鍵詞：“二次型” 一元二次方程 二次函數(shù)

縱觀高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程，我發(fā)現(xiàn)在高中的解不等式、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、極值、值域、單調(diào)性等多個領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用。本文中所提到的是廣義范圍內(nèi)的，包括二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式。很多同學(xué)在高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，由于不掌握解題的關(guān)鍵，無法完美解決問題。針對這類現(xiàn)象，我急學(xué)生所想，急學(xué)生所急，積累了幾個例子，配以詳細(xì)的分析解答過程，以期和大家共勉。

[例1 ]已知不等式ax+bx+c<0（a≠0）的解為x<2，或x>3，求不等式bx+ax+c>0的解

分析：此題要結(jié)合二次函數(shù)y=ax+bx+c，（a≠0），一元二次方程ax+bx+c=0，考慮二次函數(shù)的圖象，一元二次方程的根，結(jié)合韋達(dá)定理找到系數(shù)a，b，c之間的關(guān)系，在通過化簡整理的過程，從而達(dá)到解出不等式bx+ax+c>0的目的。

解：由不等式ax+bx+c<0的解為x<2，或x>3，可構(gòu)造相應(yīng)二次函數(shù)y=ax+bx+c，借助圖象可知a<0，且二次方程ax+bx+c=0的兩根分別是2和3，由韋達(dá)定理=5，=6可得b=-5a，c=6a，不等式bx+ax+c>0可變?yōu)?5ax+ax+6a>0，由于a<0，<0，除以整理得5x-x-6>0，因式分解可得不等式bx+ax+c>0的解為x<-1，或x>。

[例2 ]若關(guān)于x的方程1-2cos2x-sinx+a=0有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）

A（-∞，） B[-2，] C[0，] D[-1，]

分析：此題通過三角函數(shù)公式把cosx化歸為sinx形式，觀察出以sinx為主要元素，構(gòu)造一個以sinx為主的二次函數(shù)，通過配方法，再通過換元法，結(jié)合二次函數(shù)的圖象求出二次函數(shù)的最大值、最小值。

解：因?yàn)?，以sinx為主要元素配方可得a=sinx-2sin2x+1=-2（sinx-）2+用換元法令t=sinx，可得-1≤t≤1由a=f（t）=-2（t-）2+，（-1≤t≤1）圖象開口向下，由t的范圍可知當(dāng)t=時a有最大值為，當(dāng)t=-1時a有最小值為-2。選擇B。

[例3 ]數(shù)列{-2n2+29n+3}中的最大項(xiàng)是（ ）

A、107 B、108 C、108 D、109

分析：此題觀察表達(dá)式可看出符合“二次型”，構(gòu)造以n為自變量的二次函數(shù)，通過配方找到離二次函數(shù)的對稱軸最近的正整數(shù)n的值，結(jié)合二次函數(shù)的圖象得到最大項(xiàng)的值。

解：數(shù)列的通項(xiàng)配方得an=-2n2+29n+3=-2（n-）2+…因?yàn)閚必為正整數(shù)且考慮二次函數(shù)對稱軸為=7可知正整數(shù)7離二次函數(shù)的對稱軸最近，∵圖象開口向下∴當(dāng)n=7時得最大項(xiàng)a7=108選擇B。

[例4 ]已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn=n2+2n+5則a6+a7+a8=。

分析：此題觀察表達(dá)式可看出符合“二次型”，構(gòu)造二次函數(shù)，代入自變量x的值構(gòu)造出s8和s5，通過代入求值，再作差得出結(jié)論。

解：s8-s5=（82+2×8+5）-（52+2×5+5）=45

[例5 ]已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn是n的二次函數(shù)，且它的前三項(xiàng)依次是-2，0，6，那么a100=

分析：此題明確指出存在二次函數(shù)的條件，提示我們設(shè)出二次函數(shù)的表達(dá)式，通過代入已知數(shù)值求出系數(shù)a，b，c，確定下來sn，再用數(shù)列的性質(zhì)解出答案。

解：設(shè)sn=a·n2+b·n+c（a≠0）代入s1=-2，s2=-2，s3=4解得a=2，b=-4，c=0∴sn=2n2-4n因?yàn)閟100-s99=a100∴a100=（2×1002-4×100）-（2×992-4×99）=394

[例6 ]已知當(dāng)0≤x≤3時m≤x-2x+2恒成立，求m范圍

分析：此題可看出題干中x-2x+2符合二次函數(shù)的形式，提示我們設(shè)出一個對應(yīng)的二次函數(shù)，和一個常函數(shù)，先在坐標(biāo)系中畫出二次函數(shù)的圖象，求出二次函數(shù)的值域，再結(jié)合已知條件的恒成立的要求可得m的取值范圍。

解：構(gòu)造二次函數(shù)y=x-2x+2，0≤x≤3，和常函數(shù)y=m，先畫出y=x-2x+2，0≤x≤3圖象，開口向上因?yàn)?≤x≤3，可知當(dāng)x=1時y有最小值y=1，當(dāng)x=3時y有最大值y=5，得到1≤y≤5，再畫出y=m圖象為水平橫線∴m≤1。

[例7 ]對于m的不同取值，討論關(guān)于x的要求方程x-4|x|+5=m的實(shí)數(shù)根的個數(shù)。

<解析>：此題可看出方程的左側(cè)x-4|x|+5符合“二次型”的形式，構(gòu)造函數(shù)y=x-4|x|+5，和y=m，兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)的個數(shù)就是方程實(shí)數(shù)根的個數(shù)。先畫出二次函數(shù)y=x-4x+5的圖象，截取y軸右側(cè)的圖象，再關(guān)于y軸對稱畫出y軸左側(cè)的圖象，注意x=0時y=5，且最小值y=1。把坐標(biāo)系中的函數(shù)y=x-4|x|+5的圖象看成背景布，接下來使用運(yùn)動變化的觀點(diǎn)作為指導(dǎo)思想，從上至下畫出y=m的圖象，觀察兩個圖象的交點(diǎn)個數(shù)如何變化。先是有兩個交點(diǎn)，再是有三個交點(diǎn)，再到有四個交點(diǎn)，再到有兩個交點(diǎn)，最后到?jīng)]有交點(diǎn)。綜上所述可知1）.當(dāng)m>5或m=1時兩個圖象有兩個交點(diǎn)，方程有兩個解；2）.當(dāng)m=5時兩個圖象有三個交點(diǎn)，方程有三個解；3）.當(dāng)1

[例8]已知函數(shù)y=，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

<解析>：此函數(shù)是一個復(fù)合函數(shù)，由y=，和u=x復(fù)合而成，∵底數(shù)<1，函數(shù)y=為減函數(shù)，對于二次函數(shù)u=x開口向上，結(jié)合圖象可知，當(dāng)x≤0時二次函數(shù)u=x單調(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則：同増異減∴當(dāng)x≤0時函數(shù)y=為增函數(shù)；當(dāng)x>0二次函數(shù)u=x單調(diào)遞增，∴x>0時，函數(shù)y=為減函數(shù)，從而可得到單調(diào)區(qū)間，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為。

以上幾個例子包括了高中數(shù)學(xué)各個模塊常見的“二次型”的類型題，較為淺顯，意在輔助學(xué)生理解應(yīng)用。