計(jì)算全息顯示技術(shù)的研究

徐 乾，孟凡昊，謝 錚，周惠君

(南京大學(xué) 物理學(xué)院,江蘇 南京 210093)

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，計(jì)算全息得到越來越廣泛的關(guān)注. 傳統(tǒng)光學(xué)全息術(shù)以全息干板作為拍攝媒介，光路比較簡單，也不需要進(jìn)行大量的計(jì)算；但是其缺點(diǎn)在于對拍攝環(huán)境要求高，如相干光、防震臺等，這些都是傳統(tǒng)光學(xué)全息的限制. 計(jì)算機(jī)制全息圖(Computer generated hologram， CGH)用計(jì)算機(jī)取代激光器及其他光路，并用諸如LCD等成圖設(shè)備取代傳統(tǒng)全息干板，使生成全息圖的過程更加靈活. 計(jì)算全息的優(yōu)勢在于，不需要實(shí)際存在的原物就可以生成全息圖，因而有更廣泛的應(yīng)用價(jià)值. 當(dāng)然，這種全息技術(shù)會受到成圖設(shè)備分辨率和計(jì)算機(jī)運(yùn)算能力的限制.

本文討論了計(jì)算全息圖的幾種計(jì)算方法和編碼方式[1]，并在電尋址液晶光閥系統(tǒng)中加以驗(yàn)證，得到了清晰的全息像. 在三維計(jì)算全息的實(shí)驗(yàn)中，選擇了物點(diǎn)散射法和四級迂回相位編碼的方式，得到三維物體的計(jì)算全息圖，并成功再現(xiàn)出物體的三維效果.

1 計(jì)算全息

計(jì)算全息的實(shí)現(xiàn)主要分為4個(gè)步驟：

1)計(jì)算,計(jì)算全息平面上的光場分布；

2)抽樣,在滿足抽樣定理的前提下得到全息面復(fù)振幅分布的離散值；

3)編碼,通過對光場復(fù)振幅分布的編碼，記錄復(fù)振幅分布的振幅和相位信息;

4)成圖及再現(xiàn),將編碼后的全息圖在成圖設(shè)備(如LCD)上成圖，并在光路中觀察得到的像.

1.1 傅里葉變換全息

傅里葉變換全息的采樣包括對物面和全息面的抽樣，即空域和頻域的采樣. 設(shè)物波函數(shù)及其頻譜為

f(x,y)=a(x,y)eiφ(x,y)，

F(ξ,η)=A(ξ,η)eiφ(ξ,η).

(1)

空域和頻域的帶寬分別為Δx,Δy,Δξ,Δη，根據(jù)采樣定理采樣間隔為

則空域的采樣數(shù)為

J×K=ΔxΔyΔξΔη.

(2)

為了滿足離散傅里葉變換的要求，全息面上的采樣數(shù)應(yīng)與之相等，只要使

即可，此時(shí)

M×N=ΔxΔyΔξΔη，

物函數(shù)離散化為

f(j,k)=a(j,k)eiφ(j,k)，

F(m,n)=A(m,n)eiφ(m,n).

(3)

做離散傅里葉變換：

(4)

取F(m,n)的幅度A(m,n)，歸一化后即為透過率函數(shù)，編碼后得到全息圖，例如CGH 3個(gè)字母的傅里葉變換全息圖如圖1(b)所示.

(a)原圖 (b)全息圖圖1 CGH圖案的原圖和傅里葉變換全息圖

1.2 計(jì)算像面全息

計(jì)算像面全息是直接將物面(平面圖像或者三維圖像在前方某一平面處的光場)作為全息面進(jìn)行編碼制成全息圖. 本實(shí)驗(yàn)中此方法成像效果較好，因此主要采用計(jì)算像面全息法.

1.2.1 物點(diǎn)散射法

如圖2所示，物點(diǎn)散射法(Point source holograms)將物離散化為一個(gè)個(gè)獨(dú)立的點(diǎn)光源，將每個(gè)物點(diǎn)的光場的復(fù)振幅分布在全息面上進(jìn)行疊加，得到總的復(fù)振幅分布. 對于某個(gè)物點(diǎn)P(rl)，在全息面上某點(diǎn)P(r)處產(chǎn)生的光場為

(5)

利用(5)式疊加即可. 實(shí)際采用這種方法生成計(jì)算全息圖時(shí)，當(dāng)采樣比較密集，計(jì)算量很大，需要較長時(shí)間完成，但由于完全模擬實(shí)際光場的傳播，沒有采取近似處理，所以成像十分清晰(參見3.2的實(shí)驗(yàn)結(jié)果).

圖2 物點(diǎn)散射法的原理示意圖

1.2.2 層析法

層析法[2-3]的原理如圖3所示，沿著垂直于光軸方向，對物做分層處理，將每層的菲涅耳衍射復(fù)振幅進(jìn)行疊加，在菲涅耳近似下，每層ui(rl)在全息面的衍射場為

因此，多層物面的衍射場分布為

(6)

可以采用快速傅里葉變換算法計(jì)算(6)式，從而提高計(jì)算效率. 這種方法適合有層次結(jié)構(gòu)的物體，而對一般三維物體分層較難.

圖3 層析法的原理示意圖

1.2.3 主菲涅耳波帶法

為了改進(jìn)普通物點(diǎn)散射法的運(yùn)算速度，除層析法外，也可以采取主菲涅耳波帶法來簡化運(yùn)算[4-6]. 其基本思想在于，相近深度(光軸方向)的點(diǎn)集可視作同一平面上的點(diǎn)源，而同一平面上的點(diǎn)源的復(fù)振幅分布可視作相同的菲涅耳波帶(稱為主菲涅耳波帶)的平移疊加. 主菲涅耳波帶根據(jù)相位生成，即：

(7)

圖4(a)為由(7)式計(jì)算得出的1個(gè)點(diǎn)源的主菲涅耳波帶，圖4(b)為利用主菲涅耳波帶法得到的“十”字形物面的全息圖.

(a)點(diǎn)源 (b)“十”字圖4 點(diǎn)源和“十”字的全息圖

實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)主菲涅耳波帶法計(jì)算平面物體時(shí)，可大幅減少運(yùn)算量，但在對三維物體的處理上，對點(diǎn)集的“歸類”(根據(jù)深度近似劃分為一個(gè)個(gè)平面)帶來的誤差不可忽略，在點(diǎn)較多并且分布不規(guī)則時(shí)更是如此. 鑒于本實(shí)驗(yàn)?zāi)康脑谟谘芯咳S全息成像的效果，不刻意要求即時(shí)生成全息圖，所以對運(yùn)算速度要求[7]不高. 之后的研究主要采用一般的物點(diǎn)散射法，以保證清晰度，并盡可能模擬真實(shí)光傳播的情況.

1.3 抽樣與采樣定理

實(shí)際的光學(xué)圖像連續(xù)分布，但是計(jì)算機(jī)只能處理離散信號，用離散點(diǎn)對應(yīng)的函數(shù)值(抽樣值)來表示連續(xù)函數(shù)，即f(x)=f(t0+nΔt),如何選取Δt才不會丟失原函數(shù)的信息，需要滿足采樣定理.

采樣的過程可以表示為原函數(shù)與梳狀函數(shù)的卷積：

(8)

其中，

Δx和Δy是采樣間距.

由此得到函數(shù)的頻譜為

(9)

可見函數(shù)在空間域被抽樣，導(dǎo)致在頻域的周期性重復(fù)，當(dāng)f(x,y)為有限帶寬函數(shù)[頻譜在(-Bx,Bx),(-By,By)不為0]時(shí)，只需采樣間隔滿足：

即可保證頻譜不出現(xiàn)重疊，從而可以通過濾波還原出原函數(shù)的頻譜.

1.4 編碼與再現(xiàn)

1.4.1 四級迂回相位編碼

實(shí)驗(yàn)所用的四級迂回相位編碼是在每個(gè)采樣點(diǎn)附近開小單位的矩形孔,如圖5所示.

用開孔面積對振幅進(jìn)行編碼，對于光波的相位編碼則利用了不規(guī)則光柵的衍射效應(yīng)：假設(shè)柵距恒定，第1級衍射都是平面波，則等相位面為垂直于該波的平面，并且設(shè)柵距為d，第k級衍射角為θk，則在θk方向上相鄰光線的光程差為

dsinθk=kλ.

(10)

(a) 通光矩形孔示意圖

(b)不規(guī)則光柵的衍射效應(yīng)圖5 四級迂回相位編碼的原理示意圖

如果在某一位置柵距增加了Δ，則θk方向上的衍射光在該位置引起的相位延遲為

(11)

迂回相位的值與柵距的偏移量和衍射級次成正比，而與入射光波長無關(guān)，因而可通過局部改變光柵柵距的方法，在某個(gè)衍射方向上得到相應(yīng)的相位調(diào)制.

實(shí)驗(yàn)中取k=1，計(jì)算出對于每個(gè)采樣點(diǎn)(m,n)，若該點(diǎn)的復(fù)振幅為Amneiφmn,則小孔的縱向高度為

Lmn=Amn，

(12)

小孔中心偏離采樣點(diǎn)為

(13)

需要在頻譜面上進(jìn)行濾波，從而濾去其他雜光，只獲得+1級衍射光. 在本實(shí)驗(yàn)中，LCD的像素陣列為1 024×768，綜合考慮了采樣定理和圖像質(zhì)量后，將每個(gè)矩形孔設(shè)定為7×7的像素陣列. 每個(gè)像素點(diǎn)設(shè)置為0和1二值像素值(0為通光)，通過編程設(shè)定每個(gè)像素陣列中0像素值的排列來確定每個(gè)通光矩形孔，排列規(guī)則如上所述.

1.4.2 濾波

進(jìn)行光波再現(xiàn)時(shí)，參考光通過編碼后的全息面后，需用傅里葉變換透鏡進(jìn)行傅里葉變換，得到其頻譜如圖6所示.

圖6 頻譜圖

在迂回相位編碼過程中，由于選擇x方向的+1級衍射光，因此需要制作濾波器，只使x方向的+1級衍射光通過；同時(shí)又由于物平面進(jìn)行了離散采樣，因此需要在+1級衍射點(diǎn)附近再選取低通濾波器，濾去由于采樣帶來的周期性重復(fù)的頻域(見采樣部分的分析). 光通過濾波器之后再進(jìn)行逆傅里葉變換即可還原出之前的物面.

2 二維全息的實(shí)驗(yàn)結(jié)果

2.1 實(shí)驗(yàn)裝置

實(shí)驗(yàn)裝置如圖7所示，其中LCD液晶屏[8]的尺寸為0.9英寸(對角線)，分辨率1 024×768，透鏡焦距為300 mm.

圖7 實(shí)驗(yàn)裝置示意圖

2.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與比較

采用計(jì)算像面全息法生成全息圖. 圖8為采用物點(diǎn)散射法計(jì)算得到的幾種圖案的全息圖及觀察效果.

圖9為采用層析法，取菲涅耳近似，用快速傅里葉變換算法(FFT)加快運(yùn)算得到的全息圖.

(a) CGH字樣

(b) 卡通鳥

(c) “光”字圖8 物點(diǎn)散射法計(jì)算得到的全息圖與成像效果

(a)全息圖 (b)成像效果圖9 層析法得到的“光”的全息圖與成像效果

對比圖8(c)和圖9可見，盡管取菲涅耳近似并做FFT后，運(yùn)算速度明顯提高，但是成像質(zhì)量下降. 為了得到更高的清晰度和還原度，本實(shí)驗(yàn)在之后的實(shí)驗(yàn)中選擇了物點(diǎn)散射法進(jìn)行三維全息的探究.

3 三維計(jì)算全息的探究

3.1 不同焦面的成像

基于物點(diǎn)散射法，將圖8(c)所示的“光”字圖片，以平面點(diǎn)陣的形式導(dǎo)入計(jì)算機(jī)中. 將2個(gè)這樣的“光”字距離全息面的距離分別設(shè)置為2 m和4 m，2個(gè)物實(shí)際上構(gòu)成具有2個(gè)面的“三維物體”. 理論上，這樣的物在成像時(shí)可以實(shí)現(xiàn)逐層再現(xiàn)，即在某個(gè)“光”字對應(yīng)的成像距離上，一個(gè)呈清晰的像，另一個(gè)呈現(xiàn)模糊的衍射圖案. 實(shí)驗(yàn)中成功觀察到了這一現(xiàn)象. 圖10所示分別為距離LCD 2 m處和4 m處觀察的像，前者右下的“光”更清晰，后者左上的“光”更清晰.

(a)全息圖 (b) 2 m處成像 (c)4 m處成像圖10 前后放置(2 m和4 m)的2個(gè)“光”字

這樣的結(jié)果表明：采用物點(diǎn)散射法得到復(fù)振幅分布，并用四級迂回相位編碼得到三維全息圖，可以使處在不同位置的物點(diǎn)成像在不同焦面上. 但是，由于像的清晰度受到多種因素的影響，并且分辨何處為最清晰的像時(shí)帶有一定的主觀性，這樣的三維效果并不是最佳. 另外，本次實(shí)驗(yàn)使用的2個(gè)“光”字嚴(yán)格意義上不能算作三維物體，不是真正的三維全息成像.

3.2 利用丁達(dá)爾效應(yīng)觀察圓柱體的全息像

為了在空間中體現(xiàn)三維物體，實(shí)驗(yàn)采用煙霧散射的丁達(dá)爾效應(yīng)進(jìn)行了觀察. 以外壁有一定厚度的圓柱體作為物，設(shè)置其軸線平行于光軸，同樣采用物點(diǎn)散射法進(jìn)行三維全息圖的制作，得到的全息圖如圖11(a)所示. 實(shí)驗(yàn)中將1炷香產(chǎn)生的煙彌散在透明盒中，放置在設(shè)定的成像距離處接收還原的物光波前，觀察到的成像效果如圖11(b)所示.

(a)全息圖 (b)成像效果圖11 圓柱體的全息圖和煙霧中的成像效果

波前的每個(gè)截面均為圓環(huán)狀. 可以觀察到，在為圓柱設(shè)定的上底面和下底面之間的區(qū)域，光會聚最強(qiáng)，圓環(huán)的邊緣最銳利. 由此可見圓柱的立體效果和之前在不同焦面的成像一樣，清晰度的判據(jù)仍然帶有主觀性，另外受到激光器光柱的影響，圓柱的上下底面位置不夠明顯. 較之前不同，這次實(shí)驗(yàn)是對真實(shí)三維物體的全息成像，并且也是在三維空間中進(jìn)行觀察，取得了較好的效果.

3.3 立方體的全息像

為了進(jìn)一步優(yōu)化三維物體的顯示效果，選取了棱角更加分明的立方體作為物，并相對于光軸傾斜放置. 實(shí)驗(yàn)中設(shè)定立方體的邊長為8 mm，距離全息面3 m.

3.3.1 實(shí)心立方體的像

將邊長為8 mm的實(shí)心立方體抽樣為30×30×30的點(diǎn)陣，導(dǎo)入計(jì)算機(jī)生成的計(jì)算全息圖如圖12(b)所示，呈現(xiàn)出的像如圖12(c)所示.

(a) 三維點(diǎn)陣圖 (b) 全息圖 (c)成像效果 圖12 實(shí)心立方體的像

觀察該立方體的像，可清晰辨別六邊形輪廓(傾斜放置導(dǎo)致)，但中間頂點(diǎn)較為模糊，立方體的面表現(xiàn)得也較為離散. 顯然這是由于采樣點(diǎn)數(shù)過低導(dǎo)致，由于是實(shí)心立方體，總的采樣點(diǎn)數(shù)隨邊長的離散間隔的減小呈三次方遞增，導(dǎo)致計(jì)算量急劇增加，因此為了計(jì)算速度犧牲了一定的清晰度. 這也恰恰是計(jì)算全息的缺陷所在，即還原度(采樣密集度)與運(yùn)算能力的矛盾，后面會繼續(xù)討論這一問題.

3.3.2 空心立方體的像

實(shí)心立方體除了受到采樣密集度的限制之外，還有一項(xiàng)缺陷在于，三維物體的內(nèi)部通常不會作為光源發(fā)光(除非透明物體). 因此，空心立方體是自然的選擇，一方面符合實(shí)際物體的發(fā)光情況，另一方面也可以大幅增加采樣密集度. 實(shí)驗(yàn)中立方體的每條邊由7×7×100的長柱狀點(diǎn)陣構(gòu)成，達(dá)到了較高的采樣密集度，點(diǎn)陣的排布如圖13(a)所示，圖13(b)和(c)分別是全息圖和成像效果.

(a) 三維點(diǎn)陣圖 (b) 全息圖 (c)成像效果圖13 空心立方體的像

由圖13可以清晰地看到立方體的三維效果，并且具有很高的清晰度和對比度. 當(dāng)然由于物體的軸向長度和x，y方向相同，僅為1 cm左右，前后移動光屏，清晰度的變化不太明顯.

3.3.3 系統(tǒng)孔徑對像的影響

實(shí)驗(yàn)中物的大小始終限制在1 cm左右，沒有超出LCD屏的大小，這是由于在本實(shí)驗(yàn)的共軸系統(tǒng)中，LCD屏既是全息圖的成圖設(shè)備，又起到了限制孔徑的作用. 下面以空心立方體的實(shí)驗(yàn)為例進(jìn)行驗(yàn)證.

將立方體的邊長改為18 mm，30 mm和50 mm，其余步驟不變，得到的全息圖和成像結(jié)果如圖14所示. 可見，盡管計(jì)算全息圖時(shí)計(jì)入了所有點(diǎn)產(chǎn)生的復(fù)振幅，但是還原波前時(shí)，受到共軸系統(tǒng)中LCD孔徑的限制，僅能觀察到像的局部，邊長越大，觀察到的范圍越小.

(a)邊長18 mm，大致觀察到整個(gè)立方體

(b)邊長30 mm，觀察到立方體的中部

(c)邊長50 mm，僅觀察到立方體的角落圖14 孔徑對成像的影響

3.3.4 原物軸向距離增大后頻譜的異常

實(shí)驗(yàn)中為了觀察不同距離處立方體棱的成像清晰度，刻意增加了光軸方向立方體的長度，觀察到的像如圖15所示. 在圖15中，立方體與軸向夾角最小的四條棱“消失”了，實(shí)際觀察到其出現(xiàn)在了其他的頻譜島中(如左下角是一部分)，也就是說，此時(shí)全息面上的頻譜出現(xiàn)了分離，平行于軸向的物與垂直于軸向的物的頻譜間隔很大，具體原因有待進(jìn)一步探究.

圖15 軸向距離增大后頻譜分離現(xiàn)象

4 討論與總結(jié)

本實(shí)驗(yàn)基于實(shí)驗(yàn)室中的XGY-1型電尋址光閥，參考文獻(xiàn)[1]中對計(jì)算全息，尤其是計(jì)算像面全息和編碼的闡述，自主設(shè)計(jì)了光路及成像系統(tǒng)，與其他關(guān)于計(jì)算像面全息的文獻(xiàn)[9-10]中均不相同. 在LCD分辨率較低的情況下，在計(jì)算復(fù)振幅分布、編碼等方面進(jìn)行了優(yōu)化，得到了較高清晰度的實(shí)像；相比于這套儀器出廠附帶的集成化全息軟件，更是實(shí)現(xiàn)了調(diào)控度更高、效果更優(yōu)的計(jì)算全息. 基于本實(shí)驗(yàn)中的LCD透過率不可以做到0～1對比度的情況，選擇四級迂回相位編碼，從而將背景光與物光在頻譜面上進(jìn)行區(qū)分(分別位于0級、1級)，因此有效地去除了雜光的影響，使得圖像較為清晰. 另外，嘗試了3種計(jì)算物面復(fù)振幅分布的方式，從中發(fā)現(xiàn)物點(diǎn)散射法得出的圖像最為清晰，但是計(jì)算量也最大. 因此借鑒層析法中的菲涅耳近似與快速傅里葉變換算法，提高了計(jì)算效率. 當(dāng)然，后期進(jìn)行三維全息的探究時(shí)，為保證成像效果和還原度依然采取了物點(diǎn)散射法.

實(shí)驗(yàn)還存在一些問題尚待解決. 例如3.3.3中提到的孔徑的影響，如何擺脫此限制以呈現(xiàn)更大的物體；3.3.4中提到的頻譜異常的產(chǎn)生機(jī)理. 在成三維實(shí)像時(shí)，沒有找到更有效的辦法逼真地再現(xiàn)三維圖像，原因在于成像之后的光線依然會向后傳播，因此只能做到用光屏承接每個(gè)截面的二維圖像，通過在不同位置圖像的清晰程度不同來間接表現(xiàn)三維的效果. 此外，在實(shí)驗(yàn)中沒有成功地觀察到虛像也值得繼續(xù)探究，理論上虛像會有更好的三維效果.

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