有限群穩(wěn)定模范疇的Bousfield等價(jià)

黃 文 林

(中國(guó)人民大學(xué) 信息學(xué)院, 北京 100872)

0 引 言

目前, 關(guān)于穩(wěn)定同倫范疇譜上等價(jià)關(guān)系[1-3]的研究已成為拓?fù)鋵W(xué)、 代數(shù)幾何、 群與代數(shù)表示論的共同研究課題[1-7]. Bousfield類(lèi)是研究張量三角范疇局部化子范疇的重要途徑. 穩(wěn)定同倫范疇、 交換環(huán)的導(dǎo)出范疇、 穩(wěn)定模范疇都是張量三角范疇. 在張量三角范疇中, 一般地, Bousfield類(lèi)是局部化子范疇； 反之, 并不是每個(gè)局部化子范疇都是一個(gè)Bousfield類(lèi). 但對(duì)于有限群G的穩(wěn)定模范疇StMod(kG)(其中k是一個(gè)域), 其局部化子范疇即為其Bousfield類(lèi)[4]. StMod(kG)及其滿(mǎn)子范疇Stmod(kG)(全體有限生成kG-模的穩(wěn)定范疇)在有限群表示論中應(yīng)用廣泛.

本文考慮Stmod(kG)的Bousfield類(lèi), 可視為StMod(kG)的Bousfield類(lèi)在Stmod(kG)中的部分. 并考慮Bousfield等價(jià)關(guān)系, 證明了若H是G的強(qiáng)p-嵌入子群, 則(不可分解)kG-模M與N是Bousfield等價(jià)的當(dāng)且僅當(dāng)其限制模(Green對(duì)應(yīng))是Bousfield等價(jià)的, (不可分解)kH-模U和V是Bousfield等價(jià)的當(dāng)且僅當(dāng)其誘導(dǎo)模(Green對(duì)應(yīng))是Bousfield等價(jià)的, 以及Green對(duì)應(yīng)誘導(dǎo)了Stmod(kG)的全體Bousfield等價(jià)類(lèi)與Stmod(kH)的全體Bousfield等價(jià)類(lèi)之間的一一對(duì)應(yīng). 本文假設(shè)G是階含有素?cái)?shù)因子p的有限群,k是特征為p的數(shù)域, 若無(wú)特別說(shuō)明, 所有的模均是有限生成的. 其他記號(hào)和術(shù)語(yǔ)參見(jiàn)文獻(xiàn)[7-8].

1 Stmod(kG)的Bousfield類(lèi)

文獻(xiàn)[9]給出了穩(wěn)定模范疇StMod(kG)及其滿(mǎn)子范疇Stmod(kG)的構(gòu)造方法, StMod(kG)和Stmod(kG)都是緊生成的三角范疇. 對(duì)于任意的kG-模V和W(不一定是有限生成的), 以及任意的g∈G,v∈V,w∈W, 按G-作用：g(v?kw)∶=gv?kgw,k-張量積V?W做成一個(gè)kG-模, 稱(chēng)為V和W的張量模. 在該張量積下, (StMod(kG),?,k)是一個(gè)張量三角范疇[7], 而(Stmod(kG),?,k)是其張量三角子范疇. 顯然, 可得以下結(jié)論:

引理1設(shè)M是kG-模, 則在穩(wěn)定模范疇Stmod(kG)中,M=0當(dāng)且僅當(dāng)M是投射kG-模.

定義1[6]設(shè)M是(有限生成的)kG-模, 在Stmod(kG)中, 記〈M〉∶={(有限生成的)kG-模X|M?X=0}, 并稱(chēng)〈M〉為有限群G的穩(wěn)定模范疇Stmod(kG)的Bousfield類(lèi).

注1由引理1可知, 〈M〉={X|X是(有限生成的)kG-模,M?X是(有限生成的)投射kG-模}.

注2StMod(kG)的Bousfield類(lèi)可類(lèi)似定義[6], Stmod(kG)的Bousfield類(lèi)是StMod(kG)的Bousfield類(lèi)與Stmod(kG)的交.

注3對(duì)于任意kG-模M, Stmod(kG)的Bousfield類(lèi)〈M〉是張量三角范疇Stmod(kG)張量閉的三角子范疇.

顯然, 可得以下結(jié)果.

引理2設(shè)M是kG-模, 則在Stmod(kG)中, 下列結(jié)論成立:

1) 〈0〉=Stmod(kG)；

2) 〈k〉={X|X是投射kG-模}；

3) 〈k〉?〈M〉?〈0〉.

引理3設(shè)M和N是kG-模, 則在Stmod(kG)中, 下列結(jié)論成立:

1) 〈M⊕N〉=〈M〉∩〈N〉；

2) 〈M?N〉?〈M〉∪〈N〉.

性質(zhì)1設(shè)M是kG-模, 則在Stmod(kG)中, 下列結(jié)論成立:

1) 〈M*〉=〈M〉；

2) 〈Ω(M)〉=〈M〉.

證明： 1) 因?yàn)镸是有限生成的, 所以M|M?M*?M. 由引理3知, 〈M*〉?〈M?M*?M〉?〈M〉, 即〈M*〉?〈M〉. 又因?yàn)槲墨I(xiàn)[8]中性質(zhì)8.5.1給出M?(M*)*, 并且在張量三角范疇Stmod(kG)中, -?X是正合函子, 所以M?X與(M*)*?X在Stmod(kG)中同構(gòu), 表明〈M〉=〈(M*)*〉. 綜上可得, 〈M*〉=〈M〉.

2) 一方面, 對(duì)于任意的X∈〈M〉,M?X是投射kG-模, 結(jié)合文獻(xiàn)[8]中性質(zhì)11.7.2知,Ω(M)?X=Ω(M?X)⊕S=S, 這里S是一個(gè)投射kG-模, 因此X∈〈Ω(M)〉, 〈M〉?〈Ω(M)〉. 另一方面, 設(shè)Y∈〈Ω(M)〉, 則Ω(M)?Y是投射kG-模, 再結(jié)合文獻(xiàn)[8]中性質(zhì)11.7.2知,Ω(M)?Y=Ω(M?Y)⊕T, 這里T是一個(gè)投射kG-模, 表明Ω(M?Y)=0, 從而M?Y是投射kG-模,Y∈〈M〉, 〈Ω(M)〉?〈M〉. 證畢.

性質(zhì)1表明,kG-模M的對(duì)偶M*和Heller變換Ω(M)的Bousfield類(lèi)與M的Bousfield類(lèi)相同.

引理4設(shè)M是kG-模, 則在Stmod(kG)中, 〈M?M〉=〈M〉.

證明： 由文獻(xiàn)[5]中例6.10和文獻(xiàn)[4]中例2.14知, 結(jié)論成立. 此外, 由性質(zhì)1知, 一方面, 〈M*〉=〈M〉, 則〈M?M*〉=〈M?M〉; 另一方面, 〈M?M*〉?〈M?M*?M〉?〈M〉. 綜上可得, 〈M?M〉=〈M〉.

2 Stmod(kG)的Bousfield等價(jià)

定義2[6]對(duì)于(有限生成的)kG-模M和N, 若在Stmod(kG)中, 〈M〉=〈N〉, 則稱(chēng)M與N是Bousfield等價(jià)的, 記為M～N.M所在的Bousfield等價(jià)類(lèi)記為《M》, 穩(wěn)定模范疇Stmod(kG)的全體Bousfield等價(jià)類(lèi)記為(kG).

引理5設(shè)M和N是kG-模, 則下列結(jié)論成立:

1) 若M與N在Stmod(kG)中同構(gòu), 則M～N；

2) 若M?N, 則M～N.

證明： 1) 對(duì)于任意kG-模X, 在Stmod(kG)中, -?X是正合函子, 所以在Stmod(kG)中M?X與N?X同構(gòu), 表明X∈〈M〉當(dāng)且僅當(dāng)X∈〈N〉, 即〈M〉=〈N〉,M～N.

2) 若M?N, 則M與N在Stmod(kG)中也同構(gòu), 由1)可知2)成立.

注4引理5表明, Bousfield等價(jià)不僅是kG-模上的等價(jià)關(guān)系, 還是kG-模同構(gòu)關(guān)系的弱化.

可裂跡kG-模在有限群的模上幾乎可裂序列中應(yīng)用廣泛.

引理6設(shè)M是kG-模, 則下列結(jié)論成立:

1)M～0當(dāng)且僅當(dāng)M是投射kG-模；

2) 進(jìn)一步, 若M是可裂跡kG-模, 則M～k.

證明： 1) 若M是投射kG-模, 由引理1知, 〈M〉=〈0〉=Stmod(kG)； 反之, 若M～0, 則k∈〈M〉, 表明M是投射kG-模.

2) 若M是可裂跡kG-模, 則M*?M?End(M)=k⊕U, 這里U是一個(gè)kG-模. 此時(shí), 對(duì)任意的X∈〈M〉,M?X是投射kG-模, 因此,M*?M?X?X⊕(X?U)也是投射kG-模, 從而X也是投射kG-模. 結(jié)合引理2知, 〈M〉={X|X是投射kG-模}=〈k〉,M～k.

引理7設(shè)M,N,U,V是kG-模. 若M～N,U～V, 則下列結(jié)論成立:

1)M⊕U～N⊕V；

2)M?U～N?V.

證明： 1) 由引理3知,

〈M⊕U〉=〈M〉∩〈U〉=〈N〉∩〈V〉=〈N⊕V〉,

所以M⊕U～N⊕V.

2) 設(shè)X∈〈M?U〉, 則M?U?X是投射kG-模, 從而U?X∈〈M〉=〈N〉, 因此N?U?X是投射kG-模, 即U?N?X是投射kG-模. 類(lèi)似地, 因?yàn)閁～V, 所以V?N?X也是投射kG-模,X∈〈V?N〉, 可得〈M?U〉?〈V?N〉. 類(lèi)似可得〈V?N〉?〈M?U〉, 表明M?U～N?V.

性質(zhì)3設(shè)X,M,N是kG-模, 則下列結(jié)論成立:

1)X～X?X；

2) 進(jìn)一步, 若M～N, 則X?M～X?N；

3)X?M～X?X?M.

證明： 1) 由引理4知1)成立.

2) 由引理7知2)成立.

3) 由1)和2)知3)成立.

性質(zhì)4設(shè)M和N是kG-模. 若X是可裂跡kG-模, 則下列結(jié)論成立:

1)M～X?M；

2)M～N當(dāng)且僅當(dāng)X?M～X?N.

證明： 1) 由引理6和性質(zhì)3知, 1)成立.

2) 由1)知2)成立.

定義4[11]設(shè)V是kG-模, 若k-內(nèi)同態(tài)(k-自同態(tài))模End(V)可以分解為平凡kG-模和投射kG-模的直和, 則稱(chēng)V是內(nèi)平凡kG-模.

注5定義4中k-內(nèi)同態(tài)模End(V)的G-模作用為：g·f=g-1fg,g∈G,f∈End(V). 內(nèi)平凡kG-模在有限群的Dade群結(jié)構(gòu)研究中應(yīng)用廣泛.

推論1設(shè)M和N是kG-模,X是內(nèi)平凡kG-模, 則M～X?M, 并且M～N當(dāng)且僅當(dāng)X?M～X?N.

證明： 設(shè)X=V⊕S, 這里V是X的非投射直因子,S是X的投射直因子, 則V是可裂跡kG-模. 進(jìn)一步, 結(jié)合性質(zhì)4、 性質(zhì)3和引理6知,M～V?M～X?M, 并且M～N當(dāng)且僅當(dāng)X?M～X?N.

推論2設(shè)M和N是kG-模,X是平凡西羅限制kG-模, 則M～X?M, 并且M～N當(dāng)且僅當(dāng)X?M～X?N.

證明： 可證平凡西羅限制kG-模X是內(nèi)平凡kG-模, 從而由推論1知結(jié)論成立.

性質(zhì)5設(shè)M和N是kG-模, 則下列結(jié)論成立:

1)M～M*；

2)M～N當(dāng)且僅當(dāng)M*～N*.

證明： 1) 由性質(zhì)1知1)成立.

2) 由1)知2)成立.

性質(zhì)6設(shè)M和N是kG-模, 則下列結(jié)論成立:

1)Ω(M)～M；

2)M～N當(dāng)且僅當(dāng)Ω(M)～Ω(N).

證明： 1) 由性質(zhì)1知1)成立.

2) 由1)知2)成立.

定理1(Green對(duì)應(yīng)定理)[8]設(shè)G≥H≥NG(P), 這里P是群G的p-子群. 若U和V分別是不可分解kH-模和不可分解kG-模, 并且P是它們的頂, 則下列結(jié)論成立:

2) 對(duì)于g(f(V))?V和f(g(U))?U,f和g建立了頂為P的不可分解kG-模同構(gòu)類(lèi)及頂為P的不可分解kH-模同構(gòu)類(lèi)之間的一一對(duì)應(yīng)(Green對(duì)應(yīng)).

注6f和g保持頂為P的不可分解模的直和.f和g的直和擴(kuò)充仍分別記為f和g.

定義6[12]設(shè)G>H, 若p||H|>, 但對(duì)每個(gè)t∈GH, 均有p?|H∩Ht|>, 則稱(chēng)H是G的強(qiáng)p-嵌入子群.

注7強(qiáng)p-嵌入子群在有限單群分類(lèi)中應(yīng)用廣泛. 強(qiáng)p-嵌入子群H包含G的某個(gè)Sylowp-子群P的任意子群Q的正規(guī)化子NG(Q).

定理2設(shè)G≥H,M和N是kG-模, 則下列結(jié)論成立:

類(lèi)似可證〈N〉?〈M〉, 所以M～N.

推論3設(shè)M和N是不可分解kG-模. 若H是G的強(qiáng)p-嵌入子群, 則M～N當(dāng)且僅當(dāng)其Green對(duì)應(yīng)是Bousfield等價(jià)的.

定理3設(shè)G≥H,M和N是kH-模, 則下列結(jié)論成立:

這里S和T是投射kH-模, 再結(jié)合引理6和引理7知,M～N.

推論4設(shè)M和N是不可分解kH-模. 若H是G的強(qiáng)p-嵌入子群, 則M～N當(dāng)且僅當(dāng)其Green對(duì)應(yīng)是Bousfield等價(jià)的.

定理4設(shè)H是G的強(qiáng)p-嵌入子群, 則Green對(duì)應(yīng)誘導(dǎo)出Stmod(kG)的全體Bousfield等價(jià)類(lèi)(kG)與Stmod(kH)的全體Bousfield等價(jià)類(lèi)(kH)之間的一一對(duì)應(yīng), 并且

(1)

(2)

F：(kG)→(kH), 《M》《f(M)》,M是不可分解kG-模；

G：(kH)→(kG), 《N》《g(N)》,N是不可分解kH-模.

首先, 由推論3和推論4知,F和G定義合理.

其次, 在H是G的強(qiáng)p-嵌入子群情形, 可設(shè)H包含任意不可分解kG-模(kH-模)的頂?shù)恼?guī)化子. 由注6知, 此時(shí)Green對(duì)應(yīng)保持任意不可分解kG-模(kH-模)的直和, 再由引理5和引理7知, 上述定義的映射F和G可以擴(kuò)展到任意kG-模M和任意kH-模N上, 其擴(kuò)展仍記為F和G.

再次, 由定理1知, 在不可分解kG-模(kH-模)上,GF=1,FG=1, 即F和G均為(kG)與(kH)之間的一一對(duì)應(yīng), 擴(kuò)展后這兩個(gè)等式也成立, 因此F和G的擴(kuò)展也是(kG)與(kH)之間的一一對(duì)應(yīng).

最后, 對(duì)于任意不可分解kG-模M和不可分解kH-模N, 由推論3和推論4的證明知,

(3)

則在H是G的強(qiáng)p-嵌入子群情形, 由定理1和引理7知, 式(3)對(duì)于任意kG-模M和kH-模N也成立. 表明

(kH)=F((kG)

即式(1)成立. 類(lèi)似可得式(2). 證畢.

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