Clifford分析中廣義超正則函數(shù)向量的非線性邊值問題

楊靜梅, 李尊鳳,2, 楊賀菊

(1. 河北科技大學(xué) 理學(xué)院, 石家莊 050018; 2. 河北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 石家莊 050024)

Clifford分析[1]主要研究定義在歐氏空間取值于不可交換的Clifford代數(shù)的函數(shù)的性質(zhì). 與單元復(fù)分析中的解析函數(shù)相同, Clifford分析中的正則函數(shù)為Dirac方程的基本解, 而Dirac算子是歐氏度量下Laplace算子的分解因子. 相對(duì)于復(fù)分析中的解析函數(shù), Clifford分析中的正則函數(shù)也有較好的性質(zhì), 如Cauchy型積分公式、 Cauchy型定理、 Taylor展開式等. 但自變量x的冪在Clifford分析中不是正則函數(shù).

Clifford分析中的超正則函數(shù)[2]是修正Dirac算子M解空間中的元素, 而M為雙曲度量下廣義Laplace算子的分解因子, 所以超正則函數(shù)是另一種流形結(jié)構(gòu)上的全純函數(shù). 該類函數(shù)也有較好的性質(zhì), 如Cauchy型積分公式、 Cauchy型定理及高階導(dǎo)數(shù)估值定理等[3-5]. 文獻(xiàn)[6-7]研究了超正則函數(shù)的分解定理、 表示定理和Plemelj公式, 完善了超正則函數(shù)理論； 文獻(xiàn)[8]研究了雙曲空間中Laplace-Beltrami方程的一個(gè)帶位移的非邊值問題; 文獻(xiàn)[9]研究了Clifford分析中一個(gè)廣義超正則函數(shù)的非線性邊值問題. 本文在上述結(jié)果的基礎(chǔ)上考慮一類廣義超正則函數(shù)向量的積分表達(dá)式, 并利用Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理研究一類廣義超正則函數(shù)向量的非線性邊值問題.

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)e1,e2,…,en是n的標(biāo)準(zhǔn)正交基, An()是以e0=1,e1,e2,…,en,e1e2,e1e3,…,e1en,e2e3,e2e4,…,e2en,…,e1e2,…,en為基的實(shí)Clifford代數(shù). Clifford代數(shù)中可結(jié)合不可交換的乘法運(yùn)算滿足下列規(guī)則:

設(shè)Ω?n+1是一個(gè)連通開集, 定義在Ω上取值于Clifford代數(shù)An()的函數(shù)f(x)可表示為其中fA(x) 為實(shí)值函數(shù). 若對(duì)任意的A, 有fA(x)∈Cr(Ω), 則稱f(x)∈Cr(Ω), 若fA(x)∈H(Ω,β), 則稱f(x)∈H(Ω,β).

定義1[1]設(shè)Ω?n+1是一個(gè)連通開集, 若對(duì)任意的x=(x0,x1,…,xn)∈Ω, 函數(shù)f:Ω→An()滿足Df(x)則稱f(x)為Ω上的正則函數(shù).

設(shè)F(x)=(f1(x),f2(x),…,fk(x)),H(x)=(h1(x),h2(x),…,hk(x))是Ω上的函數(shù)向量, 定義加法運(yùn)算和乘法運(yùn)算如下:

F(x)±H(x)=(f1(x)±h1(x),…,fk(x)±hk(x)),

F(x)?H(x)=(f1(x)h1(x),…,fk(x)hk(x)).

|F+H|>≤|F|>+|H|>, |F?H|>≤J1|F|>|H|>.

若對(duì)任意的x,x′∈Ω, 有

‖F(xiàn)+H‖β≤‖F(xiàn)‖β+‖H‖β, ‖F(xiàn)?H‖β≤J3‖F(xiàn)‖β‖H‖β.

定義4[7]若fi(x)(i=1,2,…,k)為其定義域上的正則(超正則)函數(shù), 則稱F(x)=(f1(x),f2(x),…,fk(x))為其定義域上的正則(超正則)函數(shù)向量.

定義5設(shè)Ω如定義2所述, 若對(duì)任意的x∈Ω,fi(x)(i=1,2,…,k)均為廣義超正則函數(shù), 則稱F(x)=(f1(x),f2(x),…,fk(x))為Ω上的廣義超正則函數(shù)向量, 即

2 廣義超正則函數(shù)向量的積分表達(dá)式

有以下性質(zhì):

1) |TΩg(y)|>≤J4|g|>p,n+1;

3)DTΩg(y)=g(y).

引理2[2]設(shè)Ω如引理1所述, 若φ∈H(Ω,β), 則

有如下性質(zhì):

2) 當(dāng)y∈?Ω時(shí), 該奇異積分在Cauchy主值意義下收斂, 記為Φ(y)=S?Ωφ(y).

其中:

ωn+1為n+1中單位球的表面積.

證明： 設(shè)Ψ(y)=f(y)-TΩω(y), 則

又因?yàn)?/p>

所以

于是f(y)=TΩ(ω(y))+Ψ(y), 其中Ψ(y)為任一超正則函數(shù).

定理2在定理1的條件下, 對(duì)任意的y0∈?Ω, 有

證明: 在定理1的結(jié)論中取Ψ(y)為引理2中的Φ(y), 則有

f+(y0)=Φ+(y0)+TΩω(y0),f-(y0)=Φ-(y0)+TΩω(y0).

由超正則函數(shù)的Plemelj公式[3]可得

其中:ωi2(x)=Qωi(x);ωi(x)∈Lp,n+1(Ω). 則F(y)有如下積分表達(dá)式:

F(y)=(TΩω1(y)+Ψ1(y),TΩω2(y)+Ψ2(y),…,TΩωk(y)+Ψk(y)),

證明: 由定理1可知,fi(y)=TΩωi(y)+Ψi(y)(i=1,2,…,k), 將其代入F(y)可得結(jié)論.

定理4在定理3的條件下, 對(duì)任意的y0∈?Ω, 有:

(1)

其中:ωi(y)(i=1,2,…,k)為定理3中的函數(shù);S?Ωφi(y0)(i=1,2,…,k)為引理2中的奇異積分算子, 即

式中φi(x)∈H(?Ω,β).

證明: 在定理3的結(jié)論中, 取Ψi(y)=Φi(y)(i=1,2,…,k), 則由定理2可得

所以有式(1).

3 廣義超正則函數(shù)向量的非線性邊值問題

A(t)?F+(t)+B(t)?F-(t)=N(t)M(t,F+(t),F-(t)),

A(t)=(a1(t),a2(t),…,ak(t)),B(t)=(b1(t),b2(t),…,bk(t)),

N(t)=(n1(t),n2(t),…,nk(t)),

M(t,F+(t),F-(t))=(m1(t,F+(t),F-(t)),m2(t,F+(t),F-(t)),…,mk(t,F+(t),F-(t))),

引理3[3]設(shè)Ω如上所述,φ∈H(?Ω,β), 且θφ=S?Ωφ-φ/2. 則有

‖θφ‖β≤J5‖φ‖β, ‖S?Ωφ‖β≤J5‖φ‖β, ‖S?Ωφ+φ/2‖β≤J5‖φ‖β,

其中J5為與φ無關(guān)的正常數(shù).

‖θφ‖β≤J6‖φ‖β, ‖S?Ωφ‖β≤J6‖φ‖β, ‖S?Ωφ+φ/2‖β≤J6‖φ‖β,

其中J6為與φ無關(guān)的正常數(shù).

證明: 由函數(shù)向量的定義及引理3可得結(jié)論.

F(y)=TΩω(y)+Φ(y);S?Ωφ=(S?Ωφ1,S?Ωφ2,…,S?Ωφk);TΩω=(TΩω1,TΩω2,…,TΩωk).

證明: 將定理4代入問題1, 再由定理3可得結(jié)論.

則當(dāng)

μ=J3J6‖A(t)+B(t)‖β+J3‖1-B(t)‖β<1

1) 證明R是映射T到自身的映射. 由定理?xiàng)l件及定理5可知,

又因?yàn)?/p>

所以

‖M(t,F+(t),F-(t))‖β≤J9+J8‖φ‖β+3J7+2J6‖φ‖β=J10+J11‖φ‖β.

于是

2) 證明R為T上的連續(xù)映射. 任取φn(t)∈T, 并設(shè)φn(t)在?Ω上一致收斂于φ(t), 則對(duì)任意的ε>0, 當(dāng)n充分大時(shí), 有‖φn(t)-φ(t)‖<ε. 由定理5可知

|S?Ωφn(t)-S?Ωφ(t)|>≤J6‖φn-φ‖β,

所以

由μ<1, 有

又因?yàn)椤琋‖β<δ<1, 所以

因此R為T上的連續(xù)映射, 所以R為T到自身的連續(xù)映射.

[1] Brackx F, Delanghe R, Sommen F. Clifford Analysis [M]. Boston: Pitman Books Limits, 1982.

[2] Eriksson S L. Integral Formulas for Hypermonogenic Functions [J]. Bull Belg Math Soc, 2004, 11(5): 705-717.

[3] QIAO Yuying. A Boundary Value Problem for Hypermonogenic Functions in Clifford Analysis [J]. Science in China (Ser A), 2005, 48: 324-333.

[4] ZHANG Zhongxiang. Some Properties of Operators in Clifford Analysis [J]. Complex Variables and Elliptic Equations, 2007, 52(6): 455-473.

[5] 張忠祥, 杜金元. 關(guān)于Clifford分析中的某些Riemann邊值問題與奇異積分方程 [J]. 數(shù)學(xué)年刊, 2001, 22A(4): 421-426. (ZHANG Zhongxiang, DU Jinyuan. On Certain Riemann Boundary Value Problems and Singular Integral Equations in Clifford Analysis [J]. Chinese Annals of Mathematics, 2001, 22A(4): 421-426.)

[6] QIAO Yuying, Bernstein S, Eriksson S L, et al. Function Theory for Laplace and Dirac-Hodge Operators on Hyperbolic Space [J]. Journal d’Analyse Mathématique, 2006, 98(1): 43-64.

[7] YANG Heju, XIE Yonghong, QIAO Yuying. A Kind of Boundary Value Problem for Hypermonogenic Function Vectors [J]. Journal of Mathematical Research and Exposition, 2011, 31(3): 490-496.

[8] 楊賀菊, 李海萍. 雙曲空間中Laplace-Beltrami方程的一個(gè)帶位移的邊值問題 [J]. 數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí), 2012, 42(16): 253-257. (YANG Heju, LI Haiping. A Boundary Value Problem with a Shift for the Laplace-Beltrami Equation in Hyperbolic Space [J]. Mathematics in Practice and Theory, 2012, 42(16): 253-257.)

[9] 楊賀菊, 李海萍. Clifford分析中廣義超正則函數(shù)的一個(gè)非線性邊值問題 [J]. 數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí), 2014, 44(8): 241-246. (YANG Heju, LI Haiping. A Nonlinear Boundary Value Problem for the Generalized Hypermonogenic Functions in Clifford Analysis [J]. Mathematics in Practice and Theory, 2014, 44(8): 241-246.)