一類具有無窮點(diǎn)積分邊界條件非線性分?jǐn)?shù)階微分方程解的存在性與多解性

耿鑫彪， 劉 雯

(吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 長春 130012)

0 引 言

分?jǐn)?shù)階微積分及微分方程在分形、 黏彈性力學(xué)、 空氣動(dòng)力學(xué)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛[1-2]. 目前, 非線性泛函分析中的方法和技巧是研究分?jǐn)?shù)階微分方程的有效工具[3-8]. 文獻(xiàn)[9]研究了一類帶有無窮點(diǎn)積分邊界條件的非線性分?jǐn)?shù)階微分方程(FBVP):

(1)

1 引 理

引理1[9]假設(shè)y(t)∈C([0,1]), 則邊值問題

(2)

式中

(3)

且

G(t,s)稱為邊值問題(2)的Green函數(shù). 顯然,G(t,s)是一個(gè)連續(xù)函數(shù).

引理2[9]假設(shè)p(0)>0, 則p(s)>0,s∈[0,1]且p(s)是單調(diào)不減函數(shù).

引理3[9]函數(shù)G(t,s)滿足如下條件:

3)G(t,s)>0, ?t,s∈(0,1).

2 主要結(jié)果

Pc?E,Pc={u∈E|u(t)≥0,t∈[0,1]}.

?0

Br={u∈Pc: ‖u‖

本文假設(shè)如下條件成立:

(H2)f: [0,1]×[0,∞)→[0,∞)連續(xù),f(t,0)不恒為0.

定義算子A:C[0,1]→C[0,1],

(4)

顯然, 算子A的不動(dòng)點(diǎn)即為邊值問題(1)的解. 當(dāng)假設(shè)條件(H1),(H2)成立時(shí),A(Pc)?Pc. 應(yīng)用Arzel-Ascoli定理[10-11]可知,A是一個(gè)全連續(xù)算子.

定義算子T:C[0,1]→C[0,1],

(5)

顯然,T:Pc→Pc是一個(gè)全連續(xù)線性算子. 由Krein-Rutmann定理[12], 譜半徑r(T)≠0, 且T有一個(gè)正特征函數(shù)φ1, 對(duì)應(yīng)于第一特征值λ1(λ1=(r(T))-1). 假設(shè):

(H7) 存在r0>0, 使得

?0

其中τ∈(0,1), 有p(t)不恒為0,t∈[τ,1-τ].

定理1假設(shè)條件(H3),(H4)成立, 則FBVP(1)至少有一個(gè)正解.

證明: 由(H3), 存在r>0,ε>0, 使得

f(t,u)≥(λ1+ε)u,t∈[0,1],u∈[0,r].

不失一般性, 假設(shè)A在 ?Br∩Pc內(nèi)沒有不動(dòng)點(diǎn). 令

u-Au≠μφ1, ?u∈?Br∩Pc,μ≥0.

(6)

否則, 存在u1∈?Br∩Pc且μ1≥0, 使得u1-Au1=μ1φ1, 因此u1≥μ1φ1. 令τ*=sup{τ|u1≥τφ1}.T是正線性算子, 從而

(λ1+ε)T(u1)≥λ1T(u1)≥τ*λ1T(φ1)=τ*φ1.

因此

u1=Au1+μ1φ1≥(λ1+ε)Tu1+μ1φ1≥(τ*+μ1)φ1,

與τ*的定義矛盾. 故式(6)成立, 且

i(A,Br∩Pc,Pc)=0.

(7)

另一方面, 由(H4), 存在ε∈(0,λ1),m>0, 使得

f(t,u)≤(λ1-ε)u+m, ?u≥R1,t∈[0,1].

令

W∶={u∈Pc|u=μAu,μ∈[0,1]},

(8)

則

(9)

i(A,BR∩Pc,Pc)=1.

(10)

由式(7)和式(10), 有

定理2假設(shè)(H5),(H6)成立, 則FBVP(1)至少有一個(gè)正解.

證明: 證明方法與文獻(xiàn)[8]中的定理3.2類似, 故忽略細(xì)節(jié). 由假設(shè)條件(H5), 有

i(A,Br∩Pc,Pc)=1.

(11)

由假設(shè)條件(H6), 有

i(A,BR∩Pc,Pc)=0.

(12)

定理3假設(shè)條件(H3),(H7)成立, 則FBVP(1)至少有一個(gè)正解.

證明: 用證明定理1的方法, 由(H1), 有

i(A,Br∩Pc,Pc)=0.

(13)

由(H7), 選擇r0>r, 有

?0

令

u≠μAu, ?u∈?Br0∩Pc,μ∈[0,1].

(14)

否則, 存在u1∈?Br0∩Pc,μ1∈[0,1], 使得u1=μ1Au1. 注意到

因此,

‖u1‖>‖Au1‖≥μ1‖Au1‖,

與u1=μ1Au1矛盾. 從而式(14)成立, 且

i(A,Br0∩Pc,Pc)=1.

(15)

因此,

定理4假設(shè)條件(H4),(H8)成立, 則FBVP(1)至少有一個(gè)正解.

證明: 由(H4), 有

i(T,BR∩Pc,Pc)=1.

(16)

其中τ∈(0,1), 使得p(t)不恒為0,t∈[τ,1-τ]. 令

(17)

(18)

推論1假設(shè)條件(H6),(H7)成立, 則FBVP(1)至少有一個(gè)正解.

證明: 若(H6),(H7)成立, 可知

i(A,BR∩Pc,Pc)=0,i(A,Br0∩Pc,Pc)=1.

易得

因此FBVP(1)至少有一個(gè)正解.

由推論1可知如下結(jié)論成立：

推論2假設(shè)條件(H5),(H8)成立, 則FBVP(1)至少有一個(gè)正解.

推論3假設(shè)條件(H3),(H6),(H7)成立, 則FBVP(1)至少有兩個(gè)正解.

推論4假設(shè)條件(H4),(H5),(H8)成立, 則FBVP(1)至少有兩個(gè)正解.

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