海浪隨機(jī)過(guò)程模擬的快速算法

劉磊 郭曉芳

摘要：本文基于譜表示-隨機(jī)函數(shù)方法，通過(guò)引入快速傅里葉變換（FFT）技術(shù)，發(fā)展了一類(lèi)海浪隨機(jī)過(guò)程模擬的快速算法，進(jìn)一步提高了譜表示-隨機(jī)函數(shù)方法的模擬效率，并與傳統(tǒng)的Monte Carlo方法進(jìn)行了對(duì)比分析。結(jié)果表明，引入FFT技術(shù)的譜表示-隨機(jī)函數(shù)方法可在海浪隨機(jī)過(guò)程的建模中獲得令人滿(mǎn)意的模擬效果，且所需的基本隨機(jī)變量最少，模擬效率較高，生成的所有代表性樣本構(gòu)成一個(gè)完備的概率集，同時(shí)在模擬精度方面亦具有優(yōu)勢(shì)。

Abstract： This paper develops a fast algorithm for simulating the stochastic sea wave processes. According to the spectral representation-random function approach， the simulation efficiency of the proposed approach is greatly improved by applying the Fast Fourier Transform （FFT） technique. And the comparisons of the simulation results with the conventional Monte Carlo method are also presented in the paper. Numerical investigations indicated that a satisfactory simulation result can be obtained with minimum elementary random variables using the proposed approach. Meanwhile， all the representative samples can constitute a complete probability set. Numerical examples also revealed the significant advantages in terms of simulation accuracy.

關(guān)鍵詞：譜表示;FFT技術(shù);隨機(jī)函數(shù);海浪;隨機(jī)過(guò)程

Key words： spectral representation;FFT technique;random function;sea wave;stochastic processes

中圖分類(lèi)號(hào)：P731.22;O324? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號(hào)：1006-4311（2018）36-0205-03

0? 引言

近年來(lái)，海浪災(zāi)害頻發(fā)，給人類(lèi)生產(chǎn)生活帶來(lái)極大威脅，海浪災(zāi)害作用的研究備受關(guān)注，隨著研究的不斷發(fā)展，時(shí)至今日，國(guó)內(nèi)外學(xué)者已提出了諸多模擬海浪災(zāi)害作用的方法[1]：物理模型法、幾何模型法、粒子系統(tǒng)法和譜分析法。其中，譜分析法是以現(xiàn)有的海浪譜為基礎(chǔ)，將海浪過(guò)程視為隨機(jī)過(guò)程進(jìn)行研究，譜分析法在實(shí)時(shí)性上能夠滿(mǎn)足一般的工程要求，且模擬結(jié)果具有一定的真實(shí)感，因而得到廣泛的應(yīng)用。

對(duì)于海浪隨機(jī)過(guò)程的譜分析法研究，近年來(lái)，各國(guó)學(xué)者均取得了豐碩成果。Pierson[2]建立了海面位移隨機(jī)過(guò)程與海浪譜之間的關(guān)系，開(kāi)辟了應(yīng)用海浪譜研究海浪隨機(jī)過(guò)程的先河。俞聿修[3]采用譜分析法對(duì)一維海浪隨機(jī)過(guò)程進(jìn)行模擬，并取得了較好的模擬效果。張金春[4]等人通過(guò)對(duì)多種海浪譜的綜合運(yùn)用，克服了傳統(tǒng)的譜分析法以單一海浪譜為核心所導(dǎo)致的頻帶范圍局限性問(wèn)題。楊懷平[5]和白連平[6]等結(jié)合方向譜模擬了三維海浪的實(shí)時(shí)過(guò)程，并對(duì)模擬效果進(jìn)行優(yōu)化，獲得了較好的波面模擬效果。

上述應(yīng)用譜分析法研究海浪隨機(jī)過(guò)程均是以Monte Carlo方法為理論基礎(chǔ)，均需要大量的隨機(jī)變量才能保證其模擬精度，極大地增加了海浪隨機(jī)過(guò)程模擬的計(jì)算量。為了克服這一困難，文獻(xiàn)[7-9]進(jìn)行了有益探索，引入隨機(jī)函數(shù)的約束形式。進(jìn)一步地，本文在譜表示-隨機(jī)函數(shù)方法[10]的基礎(chǔ)上，通過(guò)引入FFT技術(shù)，發(fā)展了一類(lèi)海浪隨機(jī)過(guò)程模擬的快速算法，實(shí)現(xiàn)了隨機(jī)海浪過(guò)程的高效模擬。

1? 譜表示-隨機(jī)函數(shù)模擬的快速算法

1.1 譜表示-隨機(jī)函數(shù)模擬方法

對(duì)于一個(gè)一維、單變量、零均值、實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程X（t），基于正交隨機(jī)變量的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的譜表示為[10]：

式中，Sx（ω）為隨機(jī)過(guò)程X（t）的雙邊功率譜密度函數(shù)。ωk=kΔω，Δω為頻率步長(zhǎng)。{Xk，Yk}為一組標(biāo)準(zhǔn)正交隨機(jī)變量[10]。

根據(jù)隨機(jī)函數(shù)思想[8]，可定義{Xn，Yn}（n=1，2，…，N）為基本隨機(jī)變量Θ的正交函數(shù)形式，即：

式中，Θ為在區(qū)間（-π，π）上均勻分布的基本隨機(jī)變量。

然后，需將式（2）定義的標(biāo)準(zhǔn)正交隨機(jī)變量{Xn，Yn}通過(guò)確定性的一一映射轉(zhuǎn)換為式（1）中的目標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)正交隨機(jī)變量{Xk，Yk}，即：Xn→Xk，Yn→Yk具體可參見(jiàn)文獻(xiàn)[9]。于是便可得到一維、單變量、零均值的實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的譜表示-隨機(jī)函數(shù)模擬公式，即[9]：

1.2 FFT算法的引入

研究表明，基于隨機(jī)相位角的傳統(tǒng)譜表示模擬方法，因其可引入FFT技術(shù)以高效地模擬海浪隨機(jī)過(guò)程，故而得到廣泛應(yīng)用?；谶@一認(rèn)識(shí)，故式（3）可轉(zhuǎn)換如下形式：

對(duì)比式（8）和式（3）可以發(fā)現(xiàn)，引入FFT技術(shù)后，式（8）中的頻率求和項(xiàng)被FFT技術(shù)替代，從而極大地提高了隨機(jī)過(guò)程模擬的計(jì)算效率。

2? 海浪隨機(jī)過(guò)程的數(shù)值模擬

在海浪隨機(jī)過(guò)程模擬的理論中通常將海浪視為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。應(yīng)用本文方法，高效模擬了平穩(wěn)海浪隨機(jī)過(guò)程。以經(jīng)典Pierson-Moscowitz譜為目標(biāo)譜，其單邊功率譜密度函數(shù)表達(dá)式為[12]：

綜合表2、表3可以看出，在模擬相同數(shù)量的樣本（如nsel=144條）時(shí)，模擬時(shí)間大致相同，但本文方法的均值相對(duì)誤差及標(biāo)準(zhǔn)差相對(duì)誤差均小于Monte Carlo方法，這是因?yàn)楸疚姆椒ǖ幕倦S機(jī)變量是確定性抽樣且在（-π，π）上均勻分布，而Monte Carlo方法則為隨機(jī)抽樣且概率不守恒，由此本文方法的模擬精度更高模擬效果更好。此外，本文方法生成144條樣本與Monte Carlo方法生成1000條樣本的模擬精度接近，但Monte Carlo方法生成樣本時(shí)間大致是本文方法生成樣本時(shí)間的14倍。更進(jìn)一步地，從兩種方法模擬所需的隨機(jī)變量數(shù)量來(lái)看，本文僅需1個(gè)基本隨機(jī)變量，而Monte Carlo法則需要N=1024個(gè)隨機(jī)變量，并且，本文方法生成的144條海浪隨機(jī)過(guò)程代表樣本集合構(gòu)成一個(gè)完備的概率集，這為基于概率密度演化方法實(shí)現(xiàn)大型復(fù)雜海洋結(jié)構(gòu)的隨機(jī)動(dòng)力響應(yīng)與動(dòng)力可靠度精細(xì)化分析奠定了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

3? 結(jié)論

本文結(jié)合海浪Pierson-Moscowitz譜，基于譜表示-隨機(jī)函數(shù)法，通過(guò)進(jìn)一步引入FFT技術(shù)，實(shí)現(xiàn)了海浪隨機(jī)過(guò)程的高效精細(xì)模擬。算例表明，本文具有如下特點(diǎn)：

①本文將FFT技術(shù)應(yīng)用于譜表示-隨機(jī)函數(shù)方法中來(lái)模擬海浪隨機(jī)過(guò)程，可顯著提高譜表示-隨機(jī)函數(shù)方法的模擬效率，而且在模擬精度方面亦具有明顯優(yōu)勢(shì)。

②本文方法不僅可實(shí)現(xiàn)海浪隨機(jī)過(guò)程的快速模擬，且所需要的代表性樣本數(shù)量少，每條代表性樣本具有給定的賦得概率，所有的代表性樣本構(gòu)成一個(gè)完備概率集，進(jìn)而可與概率密度演化方法相結(jié)合實(shí)現(xiàn)大型復(fù)雜海洋結(jié)構(gòu)的概率密度演化分析。

參考文獻(xiàn)：

[1]鄒建武，祝明波，董巍.海浪建模方法綜述[J].艦船電子工程， 2010， 30（11）： 10-14.

[2]PIERSON WJ. An interpretation of the observable properties of sea waves in terms of the Energy of the Gaussian record[J]. Eos Transactions American Geophysical Union， 1954， 35（5）： 747-757.

[3]俞聿修.海浪的數(shù)值模擬[J].大連理工大學(xué)學(xué)報(bào)，1981，20（2）：84-90.

[4]張金春，陳志偉.基于海浪譜的東中國(guó)海海浪二維仿真[J]. 海軍航空工程學(xué)院學(xué)報(bào)，2008，23（4）：449-452.

[5]楊懷平，孫家廣.基于海浪譜的波浪模擬[J].系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào)，2002，14（9）：1175-1178.

[6]白連平，陳秀真.三維隨機(jī)海浪的數(shù)值模擬[J].海洋工程， 2000，18（4）：32-35.

[7]劉章軍，方興.平穩(wěn)地震動(dòng)過(guò)程的隨機(jī)函數(shù)-譜表示模擬[J]. 振動(dòng)與沖擊，2013，32（24）：6-10.

[8]劉章軍，劉玲.隨機(jī)海浪過(guò)程模擬的隨機(jī)函數(shù)方法[J].振動(dòng)與沖擊，2014，33（20）：1-6.

[9]LIU ZHANGJUN， LIU WEI， PENG YONGBO. Random function based spectral representation of stationary and non-stationary stochastic processes [J]. Probabilistic Engineering Mechanics， 2016， 45： 115-126.

[10]劉章軍，張傳勇，齊東春.高速列車(chē)乘坐舒適度評(píng)價(jià)的概率密度演化方法[J].振動(dòng)與沖擊，2018，37（14）：155-161.

[11]MASANOBY SHINOZYKA， GEORGE DEODATIS. Simulation of stochastic processes by spectral representation[J]. Applied Mechanics Reviews， 1991， 44（4）： 191-204.

[12]俞聿修，柳淑學(xué).隨機(jī)波浪及其工程應(yīng)用[M].大連：大連理工大學(xué)出版社，2011.