在部分信息下均值-方差投資組合問(wèn)題研究

郭 婷，劉宣會(huì)，李照琪

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院， 西安 710048)

1952年,Markowitz提出均值-方差模型，成為現(xiàn)代投資組合理論誕生的標(biāo)志.然而，經(jīng)典投資組合理論提出的均值-方差模型是建立在一系列嚴(yán)格假設(shè)基礎(chǔ)之上，具有很大的局限性,為此諸多學(xué)者對(duì)均值-方差模型進(jìn)行近一步的研究和發(fā)展.1995年，Lakner[1]研究了部分信息下終端財(cái)富效用最大化問(wèn)題.開(kāi)辟投資組合理論研究新的一面.在此之后，Bauerle和Rieder[2-4]在資產(chǎn)價(jià)格過(guò)程服從跳擴(kuò)散過(guò)程下,研究了部分信息下期望效用最大化下的最優(yōu)投資組合問(wèn)題；Honda，Haussman和Sass[5-6]研究了在馬氏調(diào)制收益率下，在部分信息和完全信息下的投資組合問(wèn)題，利用鞅方法和Malliavin計(jì)算，得到最優(yōu)化投資組合策略.段亞軍,劉宣會(huì)[7]等在部分信息下,考慮了債券和股票價(jià)格之間具有一定相關(guān)性的均值方差投資組合問(wèn)題.然而，上述研究都沒(méi)有考慮帶有負(fù)債的情形.在現(xiàn)實(shí)中，負(fù)債是每個(gè)投資者必須面對(duì)的重要因素之一，對(duì)投資者的投資決策有著重大的影響，對(duì)此研究也取得一定研究成果.1990年, Sharpe和Tint[8]提出負(fù)債情形的投資組合問(wèn)題,為此奠定了理論基礎(chǔ)，提供從負(fù)債這一角度研究投資組合問(wèn)題的新視野.近幾年,楊鵬、王震[9]等在均值-方差準(zhǔn)則下研究了具有負(fù)債的隨機(jī)微分博弈.吳安琪，舒慧生[10]考慮了跳躍擴(kuò)散模型下帶負(fù)債的最優(yōu)資產(chǎn)選擇問(wèn)題.周新梅[11]研究了在不允許賣空情況下跳擴(kuò)散模型的動(dòng)態(tài)均值-方差資產(chǎn)負(fù)債問(wèn)題，利用兩個(gè)黎卡提方程構(gòu)造出HJB方程的一個(gè)連續(xù)解V(t,x),然后驗(yàn)證這個(gè)解是方程的黏性解,并利用黏性解和識(shí)別定理得到了最優(yōu)投資策略和有效邊界.吳偉平，高建軍和李端[12]研究了金融市場(chǎng)所有資產(chǎn)都是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，且風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和債務(wù)之間具有相關(guān)性，時(shí)最優(yōu)投資策略的解析表達(dá)式和均值-方差有效前沿的表達(dá)形式.2010年，Bjork和Murgoci[13]研究在馬爾科夫背景下，解決時(shí)間不齊次的多種形式目標(biāo)函數(shù)的一般理論，得到具有均衡投資策略和均衡值函數(shù)特征的廣義的HJB方程.J Wang和PA Forsyth[14]研究時(shí)間齊次的最優(yōu)化資產(chǎn)，并給出一種確定的數(shù)值方法，且將均衡投資策略和前優(yōu)化策略進(jìn)行比較.李永武[15]等在部分信息下研究時(shí)間一致的投資組合問(wèn)題，在競(jìng)爭(zhēng)理論框架下給出相應(yīng)的閉形式的均衡投資策略及相應(yīng)的值函數(shù).梁宗夏和宋敏[16]對(duì)部分信息下時(shí)間齊次的投資再保險(xiǎn)策略進(jìn)行研究，并給出相應(yīng)均衡投資策略及值函數(shù).

基于以上研究，本文在文獻(xiàn)[16]基礎(chǔ)上考慮具有負(fù)債的投資組合問(wèn)題，假設(shè)金融市場(chǎng)是由一個(gè)債券和一個(gè)股票組成，股票收益率受Markov調(diào)制且不可觀測(cè)，同時(shí)，假設(shè)投資者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡隨市場(chǎng)狀態(tài)變化有所不同.為了解決問(wèn)題，首先，運(yùn)用濾波理論將部分信息下時(shí)間齊次的均值方差問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等價(jià)的完全信息下的均值方差問(wèn)題，然后運(yùn)用廣義的HJB方程和表示定理，得到閉形式的時(shí)間齊次的均衡投資策略和均衡值函數(shù).

1 模型與假定

設(shè)(Ω,pFt,P)是帶流的完備的概率空間，{Ft}0≤t≤T，T≥0，右連續(xù)且關(guān)于P完備，表示在t時(shí)刻獲取的信息總和，W(t)是定義在(Ω,pFt,P)上的1-維標(biāo)準(zhǔn)的布朗運(yùn)動(dòng)，記Gt=σ{S(u):u∈[0,t]}，表示由過(guò)去的股票價(jià)格生成的信息流.所有的過(guò)程都關(guān)于{Ft}0≤t≤T可測(cè).現(xiàn)在假設(shè)市場(chǎng)上有兩個(gè)資產(chǎn)，一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(債券)和一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(股票)其價(jià)格過(guò)程分別滿足：

dS0=rS0dt,S0>0

(1)

dS(t)=S(t)[μ(t)dt+σdW(t)],

S(0)=S0>0

(2)

其中：r表示債券回報(bào)率，σ表示股票的波動(dòng)率，是常數(shù)，μ(t)=μ(I(t))，I(t)表示市場(chǎng)狀態(tài)，是不變的連續(xù)時(shí)間的馬爾科夫鏈，假設(shè)有d個(gè)市場(chǎng)狀態(tài)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，則狀態(tài)空間可以定義為{e1,e2,…,ed},ek∈Rd表示第k個(gè)單位向量，(I(t)t≥0)有個(gè)生成元Q=(qij)d×d,那么μ(I(t))=μ′I(t),μ=(μ1,…,μd)′∈Rd,其中μ′表示μ的轉(zhuǎn)置，I(t)和W(t)相互獨(dú)立.負(fù)債過(guò)程滿足下面的隨機(jī)微分方程：

(3)

其中：α(t)表示負(fù)債率，β(t)是負(fù)債波動(dòng)率，假設(shè)投資者在t時(shí)刻在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的投資金額為u(t)，在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資金額為X(t)-u(t)，則財(cái)富過(guò)程滿足：

(4)

其中：u(t)是可容許投資策略，下面給出其定義.

定義1(可容許投資策略)投資策略π={u(t)}0≤t≤T是可容許的，如果滿足：

1){u(t)}0≤t≤T關(guān)于Gt可測(cè)的；

3)隨機(jī)微分方程(4)有唯一的解；

所有滿足上述條件的可容許測(cè)略集，用∏表示.

2 模型求解及主要結(jié)果

在均值-方差投資理論下，考慮投資者終端財(cái)富效用目標(biāo)函數(shù)：

(5)

其中：Et,x[·]=E[·|Gt]和Varx,t[·]=Var[·|Gt]分別表示關(guān)于Gt的條件期望和條件方差，γ(t)=E[γ′I(t)|Gt],γ=(γ1,…,γd)′∈Rd表示投資者在不同的市場(chǎng)狀態(tài)下的風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)，假定γ1≤…≤γd，為了保證均衡策略和值函數(shù)的存在，γi滿足：存在δ>0,使得γi>δ,1≤i≤d..顯然目標(biāo)泛函是終端財(cái)富的非線性期望，且投資者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)隨著時(shí)間改變，是時(shí)間齊次的最優(yōu)化問(wèn)題.針對(duì)這一問(wèn)題，諸多文獻(xiàn)主要在競(jìng)爭(zhēng)理論框架下得到納什均衡對(duì)策，而本文主要基于文獻(xiàn)[17]里給出的均衡控制的定義，在競(jìng)爭(zhēng)框架下研究在部分信息下帶有負(fù)債的最優(yōu)化投資問(wèn)題.

其中

便于求解，首先將部分信息下問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等價(jià)的完全信息下的問(wèn)題，定義條件概率

pk(t)=P(I(t)=ek|Gt),k-1,…,d，

是馬爾科夫鏈的Wonhanm濾波過(guò)程，且p(t)=(p1(t),…,pd(t))′.由文獻(xiàn)[17],有下面定理成立.

(6)

P(I(0)=ek),k=1,…,d,是市場(chǎng)狀態(tài)初始分布，目標(biāo)泛函變?yōu)?/p>

(7)

為了簡(jiǎn)化，我們先進(jìn)行如下變化，

(8)

(9)

(10)

(11)

定理2.2 在部分信息下帶有負(fù)債的M-V問(wèn)題的均衡投資策略和均衡值函數(shù)分別為:

其中，

證明：由算子Au的線性性，則可得到

(12)

根據(jù)式(9)、(10)可化簡(jiǎn)如下：

(13)

(14)

(15)

(16)

對(duì)上式關(guān)于u(t)求導(dǎo)，可得到最優(yōu)均衡投資策略

(17)

根據(jù)式(16)有界條件，求解(13)～(15)廣義HJB方程，先做如下假設(shè)，

(18)

且A(t,p)>0,為了簡(jiǎn)化用a,b,A,B,C表示.根據(jù)式(18)，式(17)可化簡(jiǎn)為：

(19)

(20)

根據(jù)式(14)、(15)、(20),將式(19)帶入得到，

(21)

解得:A(t,p)=exp(2r(T-t)),a(t,p)=exp(r(T-t))則A(t,p)=a2(t,p),且Ap(t,p)=ap(t,p)=App(t,p)=app(t,p)=0,將A,a帶入式(19)化簡(jiǎn)得：

(22)

同樣，可得到b(t,p)和B(t,p)滿足的微分方程：

(23)

根據(jù)Feyman-Kac公式，得到：

(24)

同時(shí)得到C(t,p)滿足如下微分方程：

(25)

令L(t,p)=C(t,p)-b2(t,p),根據(jù)式(18)、(19)，可得到：

(26)

且L(T,p)=0,根據(jù)Feynman-Kac公式，解得：

(27)

最后，將解得A,a,B,b,C帶入式(22)，即可得到均衡投資策略,且

注意1 通過(guò)引理2.2及以上證明，同時(shí)能夠得到條件期望和條件方差分別為:

3 結(jié) 語(yǔ)

在金融市場(chǎng)是由一個(gè)股票和一個(gè)債券組成，負(fù)債過(guò)程是伊藤過(guò)程，運(yùn)用烏哈曼濾波理論，及構(gòu)造求解廣義HJB方程.得到帶有Markov調(diào)制及負(fù)債的均值-方差均衡投資策略及相應(yīng)的值函數(shù).

[1] LAKNER P. Utility maximization with partial information[J].Sto.Proc.Appl,1995,56(2):247-249.

[2] BAURELE N, RIEDER U. Portfolio optimization with Markov-modulated stock prices and interest rates[J].IEEE Trans on Automat Control, 2004,49(3):442-447.

[3] BAUERLE N, RIEDER U. Portfolio optimization with unobservable Markov-modulated drift process[J].Journal Appl Probab.2005,42(2):362-378.

[4] BAUERLE N, RIEDER U. Portfolio optimization with jumps and unobservable intensity[J] .Math Finance,2007,17 (2):205-224.

[5] HONDA T. Optimal Portfolio Choice for Unobservable And regime-switching mean retums[J].J Econ Dyn Control.2003,28:45-78.

[6] HAUSSMANN U G, SASS J.Optimal terminal wealth under partial Information for HMM stock returns[J].Mathematics of finance,2004:171-185.

[7] 段亞軍,劉宣會(huì),王衛(wèi)星.部分信息下的最優(yōu)投資選擇模型研究[J].佳木斯大學(xué)學(xué)報(bào),2010,28(6):942-945.

[8] SHARPE W F, TINT L G. Liabilities-a new approach[J].Journal of Portfolio Management,1990,16(2):5-10.

[9] 楊 鵬,王 震,孫 衛(wèi).均值-方差下具有負(fù)債的隨機(jī)微分博弈[J].經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué),2016,33(1):25-29.

[10] 吳安琪,舒慧生.基于跳躍擴(kuò)散帶負(fù)債的最優(yōu)資產(chǎn)選擇[J].東華大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2016,42(2):299-305.

[11] 周新梅.不允許賣空限制下跳擴(kuò)散模型的動(dòng)態(tài)均值-方差資產(chǎn)負(fù)債問(wèn)題[J].重慶師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2014,31(3):72-76.

[12] 吳偉平,高建軍,李 端.多階段均值-方差資產(chǎn)負(fù)債管理的隨機(jī)控制[J].控制理論與應(yīng)用,2015,32(9):1200-1207.

[13] BJORK T, MURGOCI A. A general theory of markovian time-inconsistent stochastc control problems[J].Sarn Electronic Journal,2010,18(3):545-592.

[14] WANG J, FORSYTH P A. Continuous time mean variance asset allocation: a time-consistent strategy[J].European Journal of operational research.2011,209(2):184-201.

[15] EKELAND I, PIRVU T A. Investment and consumption without commitment[J].Mathematics and Financial Economic,2008,2(1):57-86.

[16] LIANG Z X, HAN Q, SONG M. Time-consistent reinsurance and investment strategy for mean-variance insure under partial information[J].Insurance mathematics and Economic,2015,65: 66-76.

[17] WEI J, WONG K.C. Markowitze’s mean-variance asset-liability management with regime switch: A time-consistent approach [J].Insurance Mathematics and Economics,2013,53(1):281-291.