一類具有接種和治療的傳染病模型動(dòng)力學(xué)分析

吳夢(mèng)媛， 孫法國(guó)， 陳 瑤

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院， 西安 710048)

傳染病對(duì)人類的生活一直都產(chǎn)生巨大影響，每年都有成千上萬(wàn)的人死于傳染?。S著天花、水痘等一些傳染病的滅亡，接種疫苗已成為控制傳染病傳播的有效措施．但由于目前人們的生活方式日益復(fù)雜，一些新型疾病也在不斷地侵入人類社會(huì)．?dāng)?shù)學(xué)工作者使用不同的數(shù)學(xué)工具來(lái)研究關(guān)于疾病傳播的一些理論，文獻(xiàn)[1-2]考慮和分析了傳染病的數(shù)學(xué)模型，并能夠預(yù)測(cè)疾病何時(shí)得到控制，以及控制疾病的有效方法．文獻(xiàn)[3-9]利用一些措施(接種疫苗、治療、隔離等)來(lái)控制疾病的發(fā)展，文獻(xiàn)[3-5]研究了帶有疫苗接種的SVI傳染病模型的穩(wěn)定性，文獻(xiàn)[6-9]把治療作為控制傳染病的主要方法，文獻(xiàn)[10-15]使用疫苗接種和治療來(lái)控制疾病的傳播，這些方法雖然會(huì)降低傳染病的傳播速度，但若想完全控制其傳播還是有些困難．適當(dāng)?shù)囊呙缒苡行Э刂屏鞲?、肺結(jié)核、麻疹、腮腺炎、風(fēng)疹等傳染病，這些疾病的主要特征是，無(wú)論什么時(shí)候，病菌進(jìn)入易感人群的身體都會(huì)潛伏一段時(shí)間，然后個(gè)體才會(huì)被真正感染，進(jìn)而具有感染力，故描述這些疾病需要考慮潛伏期．最近的一項(xiàng)研究[16]發(fā)現(xiàn)卡介苗保護(hù)結(jié)核病的持續(xù)時(shí)間和有效性會(huì)隨接種時(shí)間而變化，考慮到疫苗的免疫功效會(huì)隨接種時(shí)間的推移而下降(如乙肝疫苗，卡介苗等)．文獻(xiàn)[17]研究了帶有接種和部分治療，并把疫苗失去率看作一個(gè)常數(shù)，得出結(jié)論接種和治療是控制傳染病蔓延的有效途徑．考慮到疫苗的完全喪失是一個(gè)逐漸積累的過(guò)程，故本文在文獻(xiàn)[17]的基礎(chǔ)上，研究了一類帶有不完全接種和部分治療的傳染病模型，且把免疫喪失率當(dāng)作積分的形式來(lái)研究．

1 模型的建立

假設(shè) 把總?cè)巳汗卜譃槲鍌€(gè)倉(cāng)室，分別為易感者倉(cāng)室S，接種者倉(cāng)室V，潛伏者倉(cāng)室E，感染者倉(cāng)室I和移出者倉(cāng)室R.假設(shè)總?cè)丝诘妮斎肼蕿棣?，并且都為易感者類，μ、ξ、β、δ和ζ分別表示自然死亡率系數(shù)、易感者的有效接種率系數(shù)、傳染率系數(shù)、潛伏者類成為感染者的轉(zhuǎn)化率系數(shù)以及因病死亡率系數(shù)，根據(jù)傳染病的傳播機(jī)理建立如下的SVEIR模型：

(1)

(2)

利用Volterra積分，令模型(1)中的第二個(gè)方程沿著特征線t-θ=c(c為常數(shù))積分得

(3)

(4)

因?yàn)関(θ,t)與S(t)的關(guān)系以及R在模型(1)的前四個(gè)等式中均未出現(xiàn)，所以模型(1)等價(jià)于模型

(5)

模型(5)的穩(wěn)定性確定之后，就能通過(guò)(3)得到v(θ,t)的穩(wěn)定性，進(jìn)而給出模型(1)的穩(wěn)定性．

2 平衡點(diǎn)的存在性

證明：顯然模型(5)始終存在一個(gè)無(wú)病平衡點(diǎn)P0．地方病平衡點(diǎn)P*(S*,E*,I*)滿足方程組

(6)

由方程組(6)的后兩個(gè)等式得

(7)

把式(7)帶入式(6)的第一個(gè)式子，記

故g(I)是單調(diào)遞減函數(shù)．又R0>1時(shí)，

3 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

證明：模型(5)在P0處的Jacobian為

(8)

根據(jù)韋達(dá)定理知在R0<1時(shí)，式(8)的后一部分關(guān)于λ只有兩個(gè)負(fù)根．式(8)的前一部分關(guān)于λ也只有負(fù)實(shí)部的根，假設(shè)存在正實(shí)部的根，則

故

|λ+μ+ξ|≥μ+ξ>ξ

這是矛盾的，因此假設(shè)不成立．

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

V=δE+(μ+δ)I

其中：(E(t),I(t))是方程組(5)的任意解，對(duì)V函數(shù)求導(dǎo)

定理3 當(dāng)R0>時(shí) ，模型(5)唯一的地方病平衡點(diǎn)P*(S*,E*,I*)在Ω的內(nèi)部全局漸近穩(wěn)定．

證明：易證模型(5)的一致持續(xù)性等價(jià)于無(wú)病平衡點(diǎn)P0的不穩(wěn)定性，故當(dāng)R0>1時(shí)，模型(5)是一致持續(xù)的．因此，在Ω的內(nèi)部存在一個(gè)緊吸引子集K．

模型(5)的Jacobian矩陣為

|

J的第二加性復(fù)合矩陣為

|

|

令(u,v,w)代表R3中的任意向量，其范數(shù)定義為

‖(u,v,w)‖max{|u|,(|v|+|w|)}．

相應(yīng)于范數(shù)‖·‖的Lozinskil測(cè)度是ρ(B)，利用文獻(xiàn)[19]的估值方法知ρ(B)≤sup{g1(t),g2(t)}，其中g(shù)1(t)=ρ1(B11)+|B12|，g2(t)=|B21|+ρ1(B22)．|B12|和|B21|是相應(yīng)于l1向量范數(shù)的矩陣范數(shù)，ρ1是相應(yīng)于l1范數(shù)的Lozinskil范數(shù)，因此

下面計(jì)算ρ1(B22)．把B22的每一列的非對(duì)角矩陣取絕對(duì)值，然后加到相應(yīng)列的對(duì)角元素上得

|

則

從而

因此引理成立，所以定理3得證．

4 數(shù)值模擬

對(duì)模型(1)進(jìn)行數(shù)值模擬結(jié)果如下：首先取參數(shù)Λ=1，μ=0.02，ξ=0.95，Γ0=0.1，β=0.000 003，m=1，ε=0.005，δ=0.01，γ=0.000 4．由定理2可知，無(wú)病平衡點(diǎn)全局漸近穩(wěn)定．在圖1中，取不同初始值做數(shù)值模擬，不難看出無(wú)病平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的．

圖1 無(wú)病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性

令β=0.000 3，μ=0.046，ξ=0.05，δ=0.001，其他參數(shù)不變，由定理3可知，地方病平衡點(diǎn)全局漸近穩(wěn)定．在圖2中，取不同初始值做數(shù)值模擬，易看出地方病平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的．

圖2 地方病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性

5 接種疫苗和治療控制對(duì)模型的影響

R0<{RNV,RNT}

因此可以看出在這些基本再生數(shù)中R0最小，而RNVT最大．我們知道基本再生數(shù)與新感染個(gè)體的數(shù)目有直接的關(guān)系，因此可以看出采取疫苗接種和治療是控制傳染病傳播的有效途徑．

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