加權(quán)差異測度與模糊推理的魯棒性分析

，

(浙江理工大學(xué)理學(xué)院，杭州 310018)

0 引 言

對于FMP(Fuzzy modus ponens)和FMT(Fuzzy modus tollens)這兩種模糊推理形式,Zadeh[1]提出了合成推理算法(簡稱CRI算法)。鑒于CRI算法缺乏嚴(yán)格的邏輯基礎(chǔ)，王國俊[2]提出了全蘊(yùn)涵三I算法(簡稱三I算法)。Ying等[3]提出了模糊集最大擾動(dòng)和平均擾動(dòng)的概念，分析了模糊推理算法的最大和平均擾動(dòng)參數(shù)。戴松松等[4]提出了相對擾動(dòng)的概念，并利用相對擾動(dòng)的概念分析了CRI算法的魯棒性。Wang等[5]比較了由不同類型測度誘導(dǎo)的δ等價(jià)的概念。Jin等[6]也研究了基于邏輯等價(jià)測度模糊集的擾動(dòng)。

Montes等[7]提出了一種差異函數(shù)的概念來度量模糊集之間的距離。之后，Li等[8]基于不相似函數(shù)和模糊等價(jià)提出了兩種構(gòu)造差異測度的方法。在這兩種構(gòu)造差異測度的基礎(chǔ)上，Li等[9]用不相似函數(shù)構(gòu)造出差異測度的公式，并延拓了模糊集之間的擾動(dòng)性，分析了CRI算法的魯棒性。但在實(shí)際應(yīng)用過程中可以發(fā)現(xiàn)，Li等[9]構(gòu)造出的差異測度并不能充分地利用所有的信息，即會(huì)導(dǎo)致部分信息的缺失。針對這一問題，本文提出了加權(quán)差異測度的概念，并與已有的差異測度概念作了比較。同時(shí)，在加權(quán)差異測度的基礎(chǔ)上，研究了CRI算法和三I算法的魯棒性。本文推廣了文獻(xiàn)[9]中的相關(guān)結(jié)論。

1 加權(quán)差異測度

本文中，X表示論域，論域X上所有分明集組成的集合記作P(X)，論域X上的所有模糊集組成的集合記作F(X)。

映射I：[0,1]2→[0,1]稱為模糊蘊(yùn)涵，簡稱蘊(yùn)涵，如果I關(guān)于第一變元不增，第二變元不減，且滿足I(0,0)=I(0,1)=I(1,1)=1和I(1,0)=0。文獻(xiàn)中I(x,y)也簡寫為x→y，其中x,y∈[0,1]。

映射T：[0,1]2→[0,1]稱為t-模，如果T是結(jié)合的，交換的，單調(diào)的，并且滿足條件T(1,a)=a(0≤a≤1)。t-模T是左連續(xù)的，如果T(a,supxi)=supT(a,xi)，i∈E成立，這里E為任意指標(biāo)集，xi∈[0,1]。

t-模T的剩余是函數(shù)R：[0,1]2→[0,1]，對x，y∈[0,1]，R(x,y)=sup{α∈[0,1]|T(x,α)≤y}。t-模的剩余是蘊(yùn)涵，稱為R-蘊(yùn)涵。t-模T的雙剩余是函數(shù)ET：[0,1]2→[0,1]，對x，y∈[0,1]，ET(x,y)=min(R(x,y),R(y,x))。

下述差異測度的概念是本文重點(diǎn)關(guān)注的內(nèi)容。

定義1[8]函數(shù)D：F(X)×F(X)→[0,∞)稱為差異測度,如果D滿足以下條件:

(D1)D(A,B)=D(B,A)對任意A，B∈F(X)；

(D2)D(A,A)=0對任意A∈F(X)；

(D3) 對任意A，B，C∈F(X)，如果A?B?C，則max(D(A,B),D(B,C))≤D(A,C)；

(D4)D(A,B)≤D(P,Pc)對任意A，B∈F(X)，P∈P(X)，其中Pc表示P的補(bǔ)集。

定義2[9]二元函數(shù)d：[0,1]2→[0,1]稱為不相似函數(shù)，如果d滿足以下條件：

(d1)d(x,y)=d(y,x),x,y∈[0,1]；

(d2)d(x,x)=0,x∈[0,1]；

(d3)d(1,0)=1；

(d4) 對任意x，y，z∈[0,1]，如果x≤y≤z，則max(d(x,y),d(y,z))≤d(x,z)。

如果由t-模T的雙剩余ET按照dT=1-ET誘導(dǎo)的不相似函數(shù)dT是[0,1]上的度量，文獻(xiàn)中稱dT為DF-度量[9]。

命題3[9]設(shè)論域X={x1,x2,…,xn}，d為不相似函數(shù)，對任意A，B∈F(X)，定義D如下：

其中ɑ>0，b>0，則D是一個(gè)差異測度。

上式可以改寫為

由上式可以看出，D實(shí)際上是對d(A(xi),B(xi))的每一項(xiàng)權(quán)重均取1/n的一個(gè)函數(shù)，因此在實(shí)際應(yīng)用中有一定局限性。為了彌補(bǔ)這個(gè)缺陷，下面本文對其作適當(dāng)推廣。

命題4設(shè)論域X={x1,x2,…,xn}，d為不相似函數(shù)，(ω1,ω2,…,ωn)為權(quán)重向量，對任意A，B∈F(X)，定義D1如下：

其中ɑ>0，b>0，則D1是一個(gè)差異測度。

證明：很明顯D1滿足條件(D1)和(D2)。下證D1滿足條件(D3)，(D4)?？紤]函數(shù)

那么由

知函數(shù)f(t)單調(diào)遞增。如果A?B?C，即A(xi)≤B(xi)≤C(xi)，xi∈X，那么則有

在本文以下的部分中，稱由命題4給出的差異測度D1為加權(quán)差異測度。

由D1的定義可以看出，加權(quán)差異測度是差異測度的推廣。

又，當(dāng)ɑ=b時(shí)，D1簡化為

2 模糊運(yùn)算與模糊推理的魯棒性分析

對于模糊集合之間的運(yùn)算，有如下結(jié)論成立。

定理5設(shè)T是t-模，R和ET分別是T的剩余和雙剩余，dT是由ET誘導(dǎo)的不相似函數(shù)。假設(shè)dT是DF-度量，D1是命題4給出的加權(quán)差異測度。若A≈(ε1)A1，B≈(ε2)B1，則A°B≈(λ)A1°B1，這里°∈{∪，∩，T，R}，且

因此有，

又因?yàn)閐T(A°B(xi),A1°B1(xi))≤dT(A(xi),A1(xi))+dT(B(xi),B1(xi))(見文獻(xiàn)[9])，則

由函數(shù)f(t)的單調(diào)性知，

D1(A°B(xi),A1°B1(xi))=

注意到，D1(A°B(xi),A1°B1(xi))≤1，故有

D1(A°B(xi),A1°B1(xi))≤

證畢。

關(guān)于模糊推理兩種算法(CRI算法和三I算法)及其FMP型解和FMT型解的具體介紹請參閱文獻(xiàn)[1-2]。

黨的十九大報(bào)告指出：我國經(jīng)濟(jì)已由高速增長階段轉(zhuǎn)向高質(zhì)量發(fā)展階段，正處在轉(zhuǎn)變發(fā)展方式、優(yōu)化經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)、轉(zhuǎn)換增長動(dòng)力的攻關(guān)期。必須堅(jiān)持質(zhì)量第一、效益優(yōu)先，以供給側(cè)結(jié)構(gòu)性改革為主線，推動(dòng)經(jīng)濟(jì)發(fā)展質(zhì)量變革、效率變革、動(dòng)力變革。報(bào)告為集團(tuán)公司煉化、銷售業(yè)務(wù)的改革發(fā)展指明了道路，理清了方向，為化解產(chǎn)銷矛盾提供了理論依據(jù)。

對于CRI算法的魯棒性分析，有如下結(jié)論：

又因?yàn)?/p>

dT(A1(xi),A2(xi))+dT(B1(yj),B2(yj))]≤

其中

證畢。

仿照定理6的證明過程，對于CRI算法的FMT型解的魯棒性，可得如下結(jié)論。

可以看出，定理5中擾動(dòng)參數(shù)λ的值與文獻(xiàn)[9]中命題7的擾動(dòng)參數(shù)值相等，定理6和定理7是[9]中相應(yīng)結(jié)論的推廣。

三I算法作為CRI算法的改進(jìn)，其魯棒性分析有如下結(jié)論。

由于定理7—9的證明和定理6的證明類似，所以略去定理7—9的證明過程。

3 結(jié) 論

本文在差異測度的基礎(chǔ)上，提出了加權(quán)差異測度的概念，以滿足解決實(shí)際問題的需要。然后，從模糊集之間運(yùn)算的擾動(dòng)和模糊推理的魯棒性這兩個(gè)方面，分析了基于加權(quán)差異測度產(chǎn)生的模糊集運(yùn)算的擾動(dòng)性態(tài)和模糊推理的魯棒性。本文的研究結(jié)果推廣了文獻(xiàn)[9]中的對應(yīng)結(jié)論，使得人們在應(yīng)用這些結(jié)論時(shí)具有更多的合理選擇。

在未來的工作中，我們將對加權(quán)差異測度的概念和相似度等概念進(jìn)行統(tǒng)一處理，并從加權(quán)差異測度入手，討論其他模糊推理算法的魯棒性。

[1] Zadeh L A. Outline of a new approach to the analysis of complex systems and decision processes[J]. IEEE Transactions on Systems,1973,3(1):28-44.

[2] 王國俊.模糊推理的全蘊(yùn)涵三I算法[J].中國科學(xué)(E),1999,29(1):43-53.

[3] Ying M S. Perturbation of fuzzy reasoning[J]. IEEE Transactions on Fuzzy Systems,1999,7(5):625-629.

[4] 戴松松,裴道武.模糊集的相對擾動(dòng)[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué),2011,25(5):1-6.

[5] Wang G J, Duan J Y. On robustness of the full implication triple I inference method with respect to finer measurement[J]. International Journal of Approximate Reasoning,2014,55(3):787-796.

[6] Jin J H, Li Y M, Li C Q. Robustness of fuzzy reasoning via logically equivalence measure[J]. Information Sciences,2007,177(22):5103-5117.

[7] Montes S, Couso I, Gil P, et al. Divergence measure between fuzzy sets[J]. International Journal of Approximate Reasoning,2002,30(2):91-105.

[8] Li Y F, Qin K Y, He X X. Dissimilarity functions and divergence measures between fuzzy sets[J]. Information Sciences,2014,288(288):15-26.

[9] Li Y F, Qin K Y, He X X, et al. Robustness of fuzzy connectives and fuzzy reasoning with respect to general divergence measures[J]. Fuzzy Sets and Systems,2016,294:63-78.