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    基于極大似然估計的新息自適應(yīng)濾波算法

    2018-01-24 07:59:00張玉龍
    傳感器與微系統(tǒng) 2018年1期
    關(guān)鍵詞:新息估計值時變

    張玉龍, 王 茁, 楊 巍

    (1.海軍駐哈爾濱地區(qū)艦船配套軍事代表室,黑龍江 哈爾濱 150046;2.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 電氣工程及自動化學(xué)院,黑龍江 哈爾濱 150001)

    0 引 言

    在常規(guī)卡爾曼濾波器中,根據(jù)先驗知識確定系統(tǒng)噪聲和量測噪聲的協(xié)方差陣后,噪聲協(xié)方差陣就一直作為常值參與濾波遞推過程。但在實際應(yīng)用中,噪聲統(tǒng)計信息通常難以準確獲取,而且其統(tǒng)計特性受環(huán)境溫度、載體機動等外界因素影響會發(fā)生變化[1,2]。此時,常規(guī)卡爾曼濾波并不能根據(jù)外部量測數(shù)據(jù)來修正其噪聲參數(shù),使得估計誤差不斷積累,導(dǎo)致濾波精度下降,甚至引起濾波發(fā)散[3,4]。

    近年來,為了解決常規(guī)卡爾曼濾波在噪聲統(tǒng)計信息未知或者時變情況下存在的問題,相繼提出了各種自適應(yīng)濾波算法,主要包括基于極大后驗估計的Sage-Husa自適應(yīng)濾波[5]、基于極大似然估計(maximum likelihood estimation,MLE)的自適應(yīng)濾波[6]以及各種漸消自適應(yīng)濾波[7]等。其中,Sage-Husa自適應(yīng)濾波能夠通過實時估計噪聲的統(tǒng)計特性提高濾波器的估計精度,但噪聲統(tǒng)計信息估值器常處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)[8],容易導(dǎo)致濾波器發(fā)散;漸消自適應(yīng)濾波通過增大濾波一步預(yù)測均方誤差陣提高新近量測數(shù)據(jù)權(quán)重,但標量漸消因子的計算過程較為繁瑣[9],而且對各濾波通道具有相同調(diào)節(jié)能力,不利于改善濾波器的穩(wěn)定性和精度;常規(guī)的MLE自適應(yīng)濾波雖然能夠在線估計與修正噪聲統(tǒng)計特性的二階矩,但是需要依賴于準確的新息協(xié)方差估計值,而目前利用開窗法得到的新息協(xié)方差估值器并不能突出滑動窗口內(nèi)新近協(xié)方差序列的作用[10],限制了進一步提高其估計精度。

    為了提高濾波器在噪聲統(tǒng)計信息未知或者時變情況下的估計精度,首先本文在得到基于極大似然估計的新息協(xié)方差估值器后,提出了一種基于限定記憶指數(shù)衰減加權(quán)的改進算法, 利用新息協(xié)方差的指數(shù)加權(quán)值代替其算數(shù)平均值,提高了新息估計的精度。對捷聯(lián)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)/全球定位系統(tǒng)(strapdown inertial navigation system/global positioning system,SINS/GPS)組合導(dǎo)航系統(tǒng)的仿真表明:與基于MLE自適應(yīng)濾波相比,本文算法在噪聲統(tǒng)計信息未知或者時變情況下具有更強的魯棒性,而且濾波精度得到了顯著提高。

    1 基于MLE的新息協(xié)方差估值器

    考查動態(tài)離散系統(tǒng),其狀態(tài)方程和量測方程分別滿足

    Xk=Φk,k-1Xk-1+Γk-1Wk-1

    (1)

    Zk=HkXk+Vk

    (2)

    式中Xk為n維狀態(tài)序列;Φk,k-1為n×n階一步轉(zhuǎn)移矩陣;Γk為n×p階系統(tǒng)噪聲系數(shù)陣;Zk為m維量測序列;Hk為m×n階量測陣;Wk為p維系統(tǒng)噪聲序列;Vk為m維量測噪聲序列。Wk和Vk是不相關(guān)的高斯白噪聲,噪聲統(tǒng)計特性滿足

    E[W(k)]=0,Cov[W(k),W(j)]=Q(k)δkj

    E[V(k)]=0,Cov[V(k),V(j)]=R(k)δkj

    Cov[W(k),V(j)]=0

    式中δkj為Kronecker-δ函數(shù);假定協(xié)方差陣Qk為m×n階非負定陣;Rk為m×m階正定陣。

    設(shè)狀態(tài)一步預(yù)測值為

    (3)

    狀態(tài)估計值為

    (4)

    式中

    (5)

    εk=Zk-Hkk/k-1

    (6)

    式中Kk為濾波增益矩陣;Pk/k-1為一步預(yù)測均方誤差;εk為新息序列,且其協(xié)方差理論值滿足

    (7)

    (8)

    將式(8)代入式(5)中,即可得到簡化的濾波增益矩陣

    (9)

    在新息自適應(yīng)濾波器中由式(9)代替式(5),即利用新息協(xié)方差的實際估計值代替其理論估計值,可以加快濾波器的收斂速度,同時修正由于噪聲統(tǒng)計特性未知或者時變而引入的估計誤差,改善濾波精度。下面將利用極大似然估計證明式(8)的結(jié)論。

    極大似然估計是從系統(tǒng)量測量出現(xiàn)概率最大的角度進行估計,在k時刻ζ條件下Z的條件概率密度函數(shù)滿足

    (10)

    式中ζ為系統(tǒng)參數(shù);m為量測陣維數(shù);|·|為矩陣行列式。

    對式(10)取對數(shù)

    (11)

    對式(11)進行累加運算,求取和式的極大值可轉(zhuǎn)化為

    (12)

    (13)

    最終得到基于極大似然估計的新息協(xié)方差估值器,其表達式如式(8)所示。

    通過式(8)發(fā)現(xiàn),新息協(xié)方差在k時刻的估計值k是對先前所有時刻新息協(xié)方差的算數(shù)平均,即先前所有數(shù)據(jù)具有相同的利用權(quán)重;但對于動態(tài)系統(tǒng)而言,需要更加強調(diào)新近新息序列在濾波器中的作用,為此文獻[11]采用了開窗法求取新息協(xié)方差的估計值,即對限定長度的滑動窗口內(nèi)的新息協(xié)方差進行算數(shù)平均,其表達式為

    (14)

    式中N為滑動窗口長度。

    由式(14)可以看出,利用開窗法求取新息協(xié)方差估計值實質(zhì)上僅截取了新近一段長度為N的新息協(xié)方差序列,并對其進行算數(shù)平均,但仍未提高滑動窗口內(nèi)新近數(shù)據(jù)的利用權(quán)重。

    為此,本文提出了一種基于限定記憶指數(shù)衰減加權(quán)的新息協(xié)方差估值器,通過對滑窗內(nèi)數(shù)據(jù)進行指數(shù)衰減加權(quán),突出新近數(shù)據(jù)的作用。

    2 基于限定記憶指數(shù)加權(quán)的新息協(xié)方差值器

    考察限定記憶長度為N的新息協(xié)方差序列,為提高該序列中新近數(shù)據(jù)的利用權(quán)重,將當前時刻新息協(xié)方差權(quán)重看作基準,并依次對滑動窗口內(nèi)的先前協(xié)方差進行指數(shù)衰減加權(quán),最終得到新息協(xié)方差在當前時刻的估計值。

    當k>N時,選取加權(quán)系數(shù){αi},在k時刻使之滿足

    于是有

    (15)

    (16)

    對于k時刻的新息協(xié)方差估計值k滿足

    (17)

    將αi展開并代入式(17),整理得到

    (18)

    式(18)即基于限定記憶指數(shù)加權(quán)的新息協(xié)方差估值器在k時刻的表達式。

    同理,對于k-1時刻的新息協(xié)方差估計值k-1成立

    (19)

    由式(18)、式(19)可以得到限定記憶指數(shù)加權(quán)的新息協(xié)方差估值器的遞推形式

    (20)

    另外,當k≤N時,新息協(xié)方差估計值則取其極大似然估計值,其表達式如式(8)所示。

    將式(20)代入式(9),用基于限定記憶指數(shù)加權(quán)的新息協(xié)方差估計值代替滑窗內(nèi)新息協(xié)方差序列的算數(shù)平均值,不僅可以增加新近量測數(shù)據(jù)在濾波器中的利用權(quán)重,同時還可以提高新息協(xié)方差估計值的精度。

    3 仿真結(jié)果與分析

    為了驗證本文提出的基于極大似然估計的新息自適應(yīng)濾波算法在噪聲統(tǒng)計信息未知和時變情況下的濾波性能,設(shè)置在SINS/GPS組合導(dǎo)航系統(tǒng)中進行仿真實驗,并針對兩種情況,進行了2組仿真實驗。

    實驗選取SINS為主導(dǎo)航系統(tǒng),速度誤差、位置誤差以及失準角為狀態(tài)向量,并根據(jù)SINS誤差方程建立濾波器的狀態(tài)方程,GPS作為輔助導(dǎo)航系統(tǒng)提供量測信息,SINS/GPS組合導(dǎo)航系統(tǒng)模型具體參數(shù)參見文獻[12],利用輸出反饋修正SINS輸出的導(dǎo)航參數(shù)。分別采用文獻[10]基于MLE自適應(yīng)濾波算法和本文提出的基于極大似然估計的新息自適應(yīng)濾波算法對載體的速度及位置誤差等參數(shù)進行估計,濾波算法性能可以通過SINS/GPS組合導(dǎo)航系統(tǒng)速度及位置的估計誤差衡量。其中,本文算法的濾波參數(shù)中衰減因子取b=0.7,滑動窗口長度取N=15;MLE自適應(yīng)濾波的滑動窗口長度取M=20。仿真條件設(shè)置如下:載體運動速度為(3m/s,4m/s,0m/s),姿態(tài)角為(1°,1°,5°),初始經(jīng)緯度為(126.67°,45.77°);仿真時間為500s,采樣周期為0.1s;濾波器初始參數(shù)設(shè)置如下

    P(0)=diag{(20m/Re)2,(20m/Re)2,(0.1m/s)2,

    (0.1m/s)2,(0.1°)2,(0.1°)2,(0.1°)2}

    Q(0)=diag{(100μg)2,(100μg)2,(0.01°/h)2,

    (0.01°/h)2,(0.01°/h)2}

    R(0)=diag{(0.1m/s)2,(0.1m/s)2}

    式中Re為地球半徑,Re=6378393m。

    3.1 量測噪聲協(xié)方差未知情況下仿真

    由于缺乏相關(guān)的先驗信息等因素導(dǎo)致無法得到實際量測噪聲的統(tǒng)計特性;針對量測噪聲協(xié)方差未知的情況,實驗選取濾波器中量測噪聲協(xié)方差初值為R=0.01R(0),濾波結(jié)果如圖1所示。

    圖1 噪聲統(tǒng)計信息未知濾波性能

    可以看出:在量測噪聲統(tǒng)計信息未知條件下,MLE自適應(yīng)濾波算法中速度估計誤差在前200s出現(xiàn)較大的波動,這是由于濾波器中量測噪聲協(xié)方差初值設(shè)置不準確,雖然經(jīng)過一段時間的自適應(yīng)調(diào)節(jié)后逐漸達到收斂,但受其影響,位置估計誤差不斷積累;而本文的新息自適應(yīng)濾波算法能夠利用新息協(xié)方差的估計值直接修正濾波增益矩陣,經(jīng)過較短時間的調(diào)節(jié)就能克服由量測噪聲不準確引起的干擾,整個過程變化較為平穩(wěn),位置估計誤差也較小。

    3.2 量測噪聲協(xié)方差時變情況下仿真

    受環(huán)境溫度、載體機動等外界因素影響導(dǎo)致量測噪聲協(xié)方差不再保持常值,而是隨時間變化;為此,仿真實驗設(shè)置了3組不同強度的量測噪聲:幅值在50~100s變?yōu)镽=40R(0),在300~320s變?yōu)镽=20R(0),其余時間段幅值R=R(0),濾波結(jié)果如圖2所示。

    圖2 噪聲統(tǒng)計信息時變?yōu)V波性能

    可以看出:在量測噪聲時變情況下, MLE自適應(yīng)濾波的估計誤差波動幅度較大:在50~150s處出現(xiàn)幅值較大的鋸齒狀速度估計誤差,而且位置誤差也出現(xiàn)較大幅值的波動,緯度誤差在300s后顯著增大。對于本文的新息自適應(yīng)濾波,雖然在量測噪聲幅值變化時間段出現(xiàn)了一定的擾動,但幅值較小,而且經(jīng)過很短時間的調(diào)節(jié)后便收斂于穩(wěn)態(tài),這是因為其基于限定記憶指數(shù)加權(quán)的新息協(xié)方差估值器能夠充分利用滑動窗口內(nèi)新近新息協(xié)方差序列的作用,根據(jù)新近的量測信息及時地修正濾波增益矩陣,從而克服了由噪聲時變帶來的影響。

    4 結(jié) 論

    針對噪聲統(tǒng)計信息未知或者時變情況下,常規(guī)卡爾曼濾波估計精度下降甚至發(fā)散的問題,提出了一種基于極大似然估計的新息自適應(yīng)濾波算法。算法通過引入限定記憶指數(shù)衰減加權(quán)法來修正由基于極大似然估計得到的新息協(xié)方差估值器,利用新息協(xié)方差的指數(shù)加權(quán)值代替其算數(shù)平均值,增加滑動窗口內(nèi)新近數(shù)據(jù)的權(quán)重,提高新息協(xié)方差估計值的準確性。對SINS/GPS組合導(dǎo)航系統(tǒng)的仿真實驗驗證了本文算法具有更強的魯棒性和更高的濾波精度。

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