利用多種數(shù)學(xué)模型“點睛”數(shù)的認(rèn)識

浙江杭州市余杭區(qū)長樂中心小學(xué) 張 弘

浙江杭州市余杭教育學(xué)院 鐘 立

在小學(xué)階段，數(shù)的認(rèn)識是數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的重要內(nèi)容。數(shù)的認(rèn)識一般除包括數(shù)數(shù)、數(shù)的讀寫、數(shù)的順序、數(shù)的大小、數(shù)的組成，還包括數(shù)的產(chǎn)生與發(fā)展過程、數(shù)在不同情境中的多種含義等，這對以具體形象思維為主的小學(xué)生來說，理解數(shù)的意義有一定的困難。

數(shù)尺、數(shù)軸、百格圖、百數(shù)表是數(shù)的認(rèn)識教學(xué)中常用的教具或?qū)W具，可以稱為數(shù)學(xué)內(nèi)部模型。從教學(xué)實踐來看，這些數(shù)學(xué)模型能變抽象為直觀，變靜止為動態(tài)，揭示了數(shù)的形成與發(fā)展等，成為學(xué)生認(rèn)識數(shù)過程中強有力的“助手”。用好這些數(shù)學(xué)模型，學(xué)生才能更好地理解數(shù)學(xué)知識。

1.利用數(shù)尺或數(shù)線來“點睛”數(shù)的順序

數(shù)，都是從1、2、3、4……這樣的自然數(shù)開始的。入學(xué)前的兒童雖然能輕松地一個接一個數(shù)到一百，但這對一串?dāng)?shù)中包含的順序關(guān)系、序數(shù)與基數(shù)意義等可能認(rèn)識不是很到位。我們需要在數(shù)數(shù)的基礎(chǔ)上幫助學(xué)生清晰地認(rèn)識數(shù)的順序，這就可以利用數(shù)尺或數(shù)線。因為數(shù)尺或數(shù)線上的數(shù)排列是有規(guī)律和方向的，能讓學(xué)生對數(shù)序形成較淺顯的感性認(rèn)識。

比如，教學(xué)《10的認(rèn)識》一課時，“十”是學(xué)生數(shù)的認(rèn)識中第一個關(guān)鍵“節(jié)點”。因為從一位數(shù)到兩位數(shù)、從計數(shù)單位“一”到“十”等有認(rèn)識的第一次飛躍。本課中，我們可以借助學(xué)生一個一個數(shù)的經(jīng)驗，充分利用數(shù)尺或數(shù)線來認(rèn)識10。人教版一年級上冊《10的認(rèn)識》是利用數(shù)尺來說明10的數(shù)出及認(rèn)識10的。

而我們通過教學(xué)實踐，更希望呈現(xiàn)下面的圖（圖1）：

圖1

出現(xiàn)一個珠子出來一個一，再出現(xiàn)一個珠子出來一個二……直至出現(xiàn)十個珠子出來一個十。上面雖然呈現(xiàn)的只是帶有數(shù)字的直線（簡稱為數(shù)線），但由于一個珠子與一個數(shù)字對應(yīng)著出現(xiàn)，相比數(shù)尺更直觀、更形象，可以幫助學(xué)生進一步認(rèn)識數(shù)與數(shù)的順序，初步感知數(shù)的排列是有規(guī)律和方向的，讓學(xué)生對數(shù)序形成較好的感性認(rèn)識。

2.利用計數(shù)器來“點睛”十進制與數(shù)位

十進制、位值制是理解計數(shù)法的重點，但又由于比較抽象，也是教學(xué)難點。如上例中，“十”是學(xué)生第一個接觸的最能明顯體現(xiàn)出“數(shù)位”這一概念的數(shù)。雖然學(xué)生對計數(shù)單位“一”有著豐富的認(rèn)識，但對“滿十進一”“十”也是一個計數(shù)單位的認(rèn)識就不到位了、不清晰了，有些學(xué)生根本沒有意識到“十”也是一個計數(shù)單位。這就需要計數(shù)器來幫忙。

計數(shù)器，在幫助學(xué)生建構(gòu)十進制、位值制概念及相同計數(shù)單位數(shù)直接加減等核心概念的學(xué)習(xí)中有著獨特的價值。相對于小棒，計數(shù)器在數(shù)形結(jié)合直觀展示諸如“數(shù)位”“計數(shù)單位”等抽象知識，動態(tài)展示“滿十進一”等方面優(yōu)勢明顯，能更好地促進學(xué)生抽象思維的發(fā)展及上述概念的建構(gòu)。因此，我們要充分利用計數(shù)器向?qū)W生直觀展示10、20、100、1000等是如何變化來的，以及怎么寫的，知道并掌握同一個數(shù)字符號在不同的數(shù)位上表示不同的數(shù)值等，進而理解“數(shù)位”及“計數(shù)單位”，并感受十進制、位值制的簡潔、智慧與優(yōu)越。（圖2）

圖2

3.利用數(shù)軸來“點睛”數(shù)的順序與估算

我們知道，規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線就叫數(shù)軸。數(shù)軸上的點和實數(shù)一一對應(yīng)。這種對應(yīng)關(guān)系，揭示了數(shù)和形的內(nèi)在聯(lián)系，成為“數(shù)形結(jié)合”的基礎(chǔ)，使抽象的數(shù)變得有“形”可依。正因為數(shù)軸能形象地表示數(shù)，所以數(shù)軸是認(rèn)數(shù)的直觀工具。

借助數(shù)軸比較數(shù)的大小，既生動直觀，也便于學(xué)生總結(jié)比較大小的方法。在數(shù)軸上右邊的數(shù)總比左邊的大，因此從左到右形成由小到大的數(shù)列。借助數(shù)軸上自然“綁定”的數(shù)序，在找到數(shù)的相應(yīng)位置之時，就能比較出數(shù)的大小，這樣不僅能夠準(zhǔn)確地判斷數(shù)的大小關(guān)系，而且還能夠直觀地感受“大多少”“小多少”，培養(yǎng)學(xué)生估計能力，同時也是數(shù)感建立的重要過程。

圖3

圖4

圖3中數(shù)軸以其直觀的形式，在比較大小中自然地找到了數(shù)的位置，并根據(jù)一個單位長度代表的數(shù)值估計1000在哪里；或者如圖4所示，數(shù)軸可以根據(jù)需要改變一個單位長度代表的數(shù)量，有根據(jù)地猜測更大的數(shù)大概在數(shù)軸的哪個位置上，充分感受數(shù)與形的結(jié)合帶給我們認(rèn)數(shù)視覺上的沖擊。

所以數(shù)軸是我們應(yīng)認(rèn)真把握、充分利用的教學(xué)資源之一。

4.利用同心圓“點睛”數(shù)的組成

數(shù)的組成，是數(shù)的認(rèn)識中一個比較重要的部分。數(shù)組成的實質(zhì)是指數(shù)群和子群之間存在著的包含、互補和互換的關(guān)系。掌握了數(shù)的組成，是數(shù)群概念得以發(fā)展，進一步理解數(shù)之間關(guān)系的標(biāo)志，也為學(xué)習(xí)加減運算打下了基礎(chǔ)。掌握數(shù)的組成比理解數(shù)的實際意義、序數(shù)、相鄰數(shù)都要困難。

數(shù)的組成，從理解的角度或過程來看，首先要知道某個數(shù)有幾級數(shù)位、各個計數(shù)單位及多少個這樣的計數(shù)單位。在實踐中，可以采用計數(shù)器，但更可以采用下面的同心圓來顯示不同計數(shù)單位的累積而組成的多位數(shù)。同心圓，直觀顯示相同計數(shù)單位的疊加過程，與不同計數(shù)單位上的數(shù)組成一個多位數(shù)的過程，既包含數(shù)數(shù)，又包括數(shù)的組成，尤其突出了數(shù)的組成，即某個數(shù)由多少個千、多少個百、多少個十、多少個一組成。

圖5

圖5中的兩個圖顯示的是520、204，可以問學(xué)生是怎么數(shù)出來的？分別是怎么組成的？兩個數(shù)中都有2或0，表示的意義一樣嗎？等等。

5.利用百格圖“點睛”小數(shù)的產(chǎn)生

現(xiàn)行人教版教材在描述小數(shù)的產(chǎn)生時，是這樣介紹的：在進行測量和計算時，往往不能正好得到整數(shù)的結(jié)果（圖6），這時也常用小數(shù)來表示，即古人在測量物體時得不到整數(shù)的結(jié)果，就發(fā)明了小數(shù)來補充整數(shù)。

據(jù)上所述，我們可以借助百格圖來揭示小數(shù)的產(chǎn)生過程。（圖7）

圖6

圖7

利用百格圖的意圖是在數(shù)的整體結(jié)構(gòu)中認(rèn)識小數(shù)。從1出發(fā)，向左十進制計數(shù)依次是1、10、100等，然后依據(jù)小數(shù)的產(chǎn)生，將1依次等分得到0.1、0.01、0.001……從圖形中理解數(shù)的變化，引導(dǎo)學(xué)生從中尋找不同與相同，在變化中看到不變，幫助學(xué)生理解小數(shù)與整數(shù)的關(guān)系，在遷移中理解。

6.利用數(shù)軸“點睛”真假分?jǐn)?shù)的異同

分類是認(rèn)識事物中十分重要的方法。通過比較真假分?jǐn)?shù)，學(xué)生可以在掌握異同的基礎(chǔ)上進一步認(rèn)識分?jǐn)?shù)。在分類比較中，我們要注意：分?jǐn)?shù)單位是認(rèn)識真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)的重要點；其次，真分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)都是分?jǐn)?shù)整體中的一部分，將它們放在整體中進行比較更易突顯相同與不同。所以教學(xué)中可以緊扣用分?jǐn)?shù)表示數(shù)軸上的點來比較概括，顯得“水到渠成”。

我們通過兩個層次的練習(xí)來比較異同：

（1）在下面的數(shù)軸上標(biāo)出分?jǐn)?shù)。（圖8）通過標(biāo)出分?jǐn)?shù)認(rèn)識到分?jǐn)?shù)是一個“大家庭”。這里有二個目的：一是在數(shù)軸上找分?jǐn)?shù)的過程中，親身經(jīng)歷把數(shù)軸從一個單位延伸到兩個單位、三個單位等；二是隨著數(shù)軸的延長，豐富分?jǐn)?shù)的范圍，為分?jǐn)?shù)的分類做好鋪墊。

圖8

圖9

（2）從段到點（圖9），將上述分?jǐn)?shù)放到數(shù)軸上，學(xué)生通過觀察可以直觀地看到這一組分?jǐn)?shù)的異同：分母相同，分子不同。于是學(xué)生想到了比較分子和分母的關(guān)系，并按照這個標(biāo)準(zhǔn)進行分類。通過進一步觀察，可以發(fā)現(xiàn)以為界，分子比分母小的分?jǐn)?shù)集中在0～1之間的這一段上，而分子比分母大的分?jǐn)?shù)則分布在從1開始向右的部分。通過討論得出分類標(biāo)準(zhǔn)，從而認(rèn)識到真分?jǐn)?shù)小于1，假分?jǐn)?shù)大于或等于1。

綜上所述，可以看到這些數(shù)學(xué)模型能幫助學(xué)生通過感知、操作等體驗發(fā)現(xiàn)數(shù)、創(chuàng)造數(shù)，進而認(rèn)識數(shù)。

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