基于Markov過(guò)程的多狀態(tài)可修元件可靠性建模

李志強(qiáng) 徐廷學(xué) 高松 鄧春饒 趙建忠

摘 要：在現(xiàn)有多狀態(tài)可修元件完全維修建模和非完全維修建模的基礎(chǔ)上， 應(yīng)用Markov過(guò)程構(gòu)建了多狀態(tài)可修元件的視情維修可靠性分析模型。 從多狀態(tài)元件的定義出發(fā)， 分析了多狀態(tài)元件在無(wú)維修條件下的狀態(tài)轉(zhuǎn)移關(guān)系， 拓展構(gòu)建了元件在完全維修、 非完全維修以及視情維修條件下的狀態(tài)轉(zhuǎn)移微分方程和關(guān)系矩陣。 以某可修系統(tǒng)的狀態(tài)3元件和狀態(tài)4元件為例進(jìn)行了實(shí)例分析， 仿真結(jié)果表明， 視情維修相對(duì)于完全維修和非完全維修， 可以使元件保持更高的可靠度和可用度。

關(guān)鍵詞： 多狀態(tài); 完全維修; 非完全維修; 視情維修; 狀態(tài)轉(zhuǎn)移

中圖分類(lèi)號(hào)：TJ760; TB114.3文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)： 1673-5048（2018）05-0079-06[SQ0]

0 引言

傳統(tǒng)的可靠性分析方法假設(shè)元件只有正常運(yùn)行與故障失效兩個(gè)狀態(tài)。 在現(xiàn)實(shí)世界中， 諸多元件、 系統(tǒng)都是多狀態(tài)的[1-2]， 即除了正常運(yùn)行與故障失效兩個(gè)狀態(tài)之外， 還有一個(gè)或者多個(gè)中間狀態(tài)， 如機(jī)械元件的性能劣化狀態(tài)、 發(fā)電機(jī)的低壓輸出狀態(tài)等。 由于Markov過(guò)程在描述狀態(tài)轉(zhuǎn)移關(guān)系方面具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)， 已廣泛應(yīng)用于元件的多狀態(tài)建模與分析中[3-4]。 劉航等[5]根據(jù)裝備的維修性和劣化性能分析， 提出了基于Markov過(guò)程的維修決策優(yōu)化模型， 研究了在考慮維修經(jīng)費(fèi)和時(shí)間條件下的最優(yōu)時(shí)間點(diǎn)。 為了提高兩級(jí)污水排放系統(tǒng)的可靠度， 綦法群等[6]應(yīng)用Markov過(guò)程構(gòu)建了系統(tǒng)的預(yù)防性維修模型， 以可用度最大化為目標(biāo)， 優(yōu)化維護(hù)頻率， 確定最佳的設(shè)備維護(hù)策略。

現(xiàn)有研究大多都基于完全維修假設(shè)， 即元件修復(fù)如新， 最簡(jiǎn)單的例子就是換件維修。 修復(fù)如新只是理想條件下的維修方式， 實(shí)際上， 完全維修更多的是指換件維修， 以全新的元件更換故障失效的元件， 這樣就實(shí)現(xiàn)了真正的修復(fù)如新。 王明智等[7]應(yīng)用馬爾科夫鏈蒙特卡洛仿真方法， 分析了在少樣本情況下， 數(shù)控機(jī)床的非完全維修可靠性評(píng)估問(wèn)題。 針對(duì)任務(wù)期內(nèi)有限維修能力下的單級(jí)保障效能評(píng)估問(wèn)題， 李華等[8]在維修時(shí)間短、 備件充足的假設(shè)條件下， 提出了多層級(jí)不完全修復(fù)件的可用度近似評(píng)估算法。 Liu和Cai等[9-10]應(yīng)用動(dòng)態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)研究了深海封井器在非完全維修情況下的共因失效、 系統(tǒng)和元件的狀態(tài)轉(zhuǎn)移等相關(guān)問(wèn)題。 非完全維修適用于故障后維修元件， 如處于人難以介入環(huán)境中的元件， 只有當(dāng)這類(lèi)元件失效之后才能采取維修措施。 非完全維修的維修效果與工程實(shí)際比較吻合， 經(jīng)歷維修， 故障失效元件有可能直接恢復(fù)到正常運(yùn)行狀態(tài)， 也有可能恢復(fù)到某一中間狀態(tài)。

對(duì)于時(shí)刻處于狀態(tài)監(jiān)測(cè)條件下的元件、 系統(tǒng)，如機(jī)載捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)、 火控系統(tǒng)等， 適合采取更有效的維修措施， 即視情維修[11-12]（Conditional Based Maintenance，CBM）。 視情維修根據(jù)元件的故障機(jī)理影響分析， 參照傳感器狀態(tài)實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)結(jié)果， 對(duì)出現(xiàn)了退化現(xiàn)象的元件采取包括換件維修在內(nèi)的維修措施， 從而避免了元件發(fā)生“功能故障”， 避免

系統(tǒng)發(fā)生嚴(yán)重故障， 有效降低元件和系統(tǒng)的故障發(fā)生率。

1 無(wú)維修條件下多狀態(tài)元件可靠性建模

1.1 多狀態(tài)元件定義

多狀態(tài)元件包括正常運(yùn)行狀態(tài)、 中間退化狀態(tài)和故障失效狀態(tài)。 根據(jù)不同的狀態(tài)劃分標(biāo)準(zhǔn)， 中間退化狀態(tài)可以分為一級(jí)退化狀態(tài)、 二級(jí)退化狀態(tài)等多個(gè)狀態(tài)。 假設(shè)某元件具有k個(gè)狀態(tài)， 可表示為g={g1， g2， …， gk}， 對(duì)于任意狀態(tài)等級(jí)i， 有g(shù)i+1≥gi。 假設(shè)元件當(dāng)前的狀態(tài)函數(shù)為G（t）， 有G（t）∈g， 性能水平函數(shù)為W（t）， W（t）∈w={w1， w2， …， wm}， 對(duì)于滿(mǎn)足使用要求的元件， 滿(mǎn)足條件：G（t）≥W（t）。

1.2 無(wú)維修條件下的狀態(tài)轉(zhuǎn)移模型

定義一個(gè)離散狀態(tài)連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過(guò)程{X（t）|t≥0}， X（t）∈{1， 2， …，K}， 時(shí)間參數(shù)t連續(xù)取值， t∈[0， ∞）。 對(duì)于t0<t1<t2<…<tn-1<tn<t， 條件概率分布函數(shù)滿(mǎn)足[13]：

Pr{X（tn）=xn|X（tn-1）=xn-1， …， X（t1）=x1，X（t0）=x0}=Pr{X（tn）=

xn|X（tn-1）=xn-1}（1）

則隨機(jī)過(guò)程{X（t）|t≥0}稱(chēng)為Markov過(guò)程。

多狀態(tài)元件發(fā)生漸變劣化和突變劣化的狀態(tài)轉(zhuǎn)移過(guò)程， 以λ表示失效率，如圖1所示。在初始時(shí)刻， 元件處于完好無(wú)損狀態(tài)k， 隨著時(shí)間推移可能發(fā)生從狀態(tài)k到k-1的漸變劣化過(guò)程， 或者發(fā)生從狀態(tài)k到狀態(tài)i（i<k-1）的突變劣化過(guò)程。

根據(jù)元件的狀態(tài)轉(zhuǎn)移關(guān)系， 可以建立如下的微分方程組：

dpk（t）dt=-pk（t）∑k-1e=1λk， e

dpi（t）dt=∑ke=i+1λe， ipe（t）-pi（t）∑i-1e=1λi， e，

i=2， 3， …， k-1

dp1（t）dt=∑ke=2λe， 1pe（t） （2）

式中：

λi， j為元件從狀態(tài)i轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的劣化密度函數(shù);

pi（t）為元件處于狀態(tài)i的概率函數(shù)。

微分方程的初始條件滿(mǎn)足：

pk（0）=1， pk-1（0）=pk-2（0）=…=p1（0）=0（3）

2 考慮維修因素的多狀態(tài)元件可靠性建模

當(dāng)元件為多狀態(tài)可修元件時(shí)， 除了發(fā)生漸變劣化和突變劣化的狀態(tài)轉(zhuǎn)移過(guò)程外， 還包括相應(yīng)的最小維修和較大維修， 以μ表示維修率， 如圖2所示。 最小維修， 使元件從狀態(tài)i轉(zhuǎn)移到狀態(tài)i+1; 較大維修， 使元件從狀態(tài)i轉(zhuǎn)移到狀態(tài)k（k>i+1）。 在任意時(shí)刻t， 元件處于狀態(tài)i， 下一時(shí)刻元件可能發(fā)生到狀態(tài)j（j≠i）的轉(zhuǎn)移， 或者繼續(xù)停留在狀態(tài)i。

當(dāng)元件發(fā)生故障失效時(shí)， 即處于狀態(tài)1， 完全維修可以使元件通過(guò)維修從狀態(tài)1回到完好狀態(tài)k， 不完好維修可以使元件通過(guò)維修從狀態(tài)1回到任一上級(jí)狀態(tài)i（1

以圖2為例， 完全維修使得元件從狀態(tài)1回到狀態(tài)k， 非完全維修使得元件從狀態(tài)1回到狀態(tài)任一上級(jí)。 視情維修通過(guò)對(duì)出現(xiàn)性能退化的元件進(jìn)行維修， 可以使元件從退化狀態(tài)j恢復(fù)到較好的任一狀態(tài)i（j<i≤k）。 根據(jù)元件的狀態(tài)轉(zhuǎn)移關(guān)系， 分別建立元件在完全維修、 非完全維修和視情維修下的微分方程組：

dpk（t）dt=μ1，kp1（t）-pk（t）∑k-1e=1λk， e

dpi（t）dt=∑ke=i+1λe， ipe（t）-pi（t）∑i-1e=1λi， e，

i=2， 3， …，k-1

dp1（t）dt=-μ1，kp1（t）+∑ke=2λe， 1pe（t） （4）

dpk（t）dt=μ1，kp1（t）-pk（t）∑k-1e=1λk， e

dpi（t）dt=μ1， ip1（t）+∑ke=i+1λe， ipe（t）-pi（t）∑i-1e=1λi， e

dp1（t）dt=-p1（t）∑ke=2μ1， e+∑ke=2λe， 1pe（t） （5）

dpk（t）dt=∑k-1e=1μe，kpe（t）-pk（t）∑k-1e=1λk， e

dpi（t）dt=∑ke=i+1λe， ipe（t）+∑i-1e=1μe， ipe（t）-

pi（t）（∑i-1e=1λi， e+∑ke=i+1μi， e）

dp1（t）dt=∑ke=2λe， 1pe（t）-p1（t）∑ke=2μ1， e ?（6）

式中：

μj， i為元件從狀態(tài)j轉(zhuǎn)移到狀態(tài)i的維修密度函數(shù)。

微分方程的初始條件同式（3）。

以狀態(tài)4元件為例， 根據(jù)狀態(tài)間轉(zhuǎn)移關(guān)系建立完全維修、 非完全維修和視情維修條件下的狀態(tài)轉(zhuǎn)移關(guān)系矩陣， 如表1～3所示。

3 案例分析

某系統(tǒng)由元件A和元件B并聯(lián)構(gòu)成， 元件A為狀態(tài)3元件， 失效率和維修率分別為λA=5-1y， μA=85-1y;元件B為狀態(tài)4元件， 失效率和維修率分別為λB=4.5-1y， μB=80-1y。 統(tǒng)計(jì)歷次故障數(shù)據(jù)與維修信息， 可對(duì)模型作如下假設(shè)：

對(duì)于狀態(tài)3元件A有：

對(duì)于元件A， 考慮元件的劣化與維修過(guò)程， 構(gòu)建如圖3所示的狀態(tài)轉(zhuǎn)移關(guān)系模型。

參照表1～3可建立狀態(tài)轉(zhuǎn)移微分方程， 其中視情維修條件下的微分方程為

dp3（t）dt=-（λ3， 2+λ3， 1）p3（t）+μ1， 3p1（t）+μ2， 3p2（t）

dp2（t）dt=-（λ2， 1+μ2， 3）p2（t）+λ3， 2p3（t）+μ1， 2p1（t）

dp1（t）dt=-（μ1， 2+μ1， 3）p1（t）+λ3， 1p3（t）+λ2， 1p2（t） （7）

經(jīng)Laplace Stieltjes變換與反變換， 確定元件A在3種維修方式下以gA1<w≤gA2為性能水平的可靠度曲線(xiàn)， 如圖4所示。

顯然， 在采取維修措施之后， 元件A能夠保持很高的可靠度水平， 完全維修條件下的可靠度指標(biāo)明顯高于非完全條件下的可靠度指標(biāo)。 由于視情維修充分考慮了元件的性能退化過(guò)程， 對(duì)出現(xiàn)的“潛在故障”進(jìn)行及時(shí)維修， 使得元件保持更高的水平。

對(duì)于元件B， 構(gòu)建如圖5所示的狀態(tài)轉(zhuǎn)移關(guān)系模型， 建立在視情維修條件下的狀態(tài)轉(zhuǎn)移微分方程， 如式（8）所示。 經(jīng)Laplace Stieltjes變換與反變換， 確定元件在視情維修條件下不同性能水平下的可靠度曲線(xiàn)， 如圖6所示。 作為對(duì)比， 以gB1<w≤gB2為性能水平， 確定元件B在3種維修方式下的可靠度曲線(xiàn)， 如圖7所示， 可以得出與元件A類(lèi)似的結(jié)論。

分系統(tǒng)的可靠度可以通過(guò)建立元件A和元件B并聯(lián)后狀態(tài)組合的微分方程組確定， 為了解算方面， 可以利用通用生成函數(shù)求解， 具體方法參見(jiàn)文獻(xiàn)[14-15]， 此處不作闡述。

4 結(jié)論

由于現(xiàn)有研究多從完全維修和非完全維修角度出發(fā)， 進(jìn)行多狀態(tài)元件/系統(tǒng)的可靠性分析， 本文在分析元件狀態(tài)轉(zhuǎn)移關(guān)系的基礎(chǔ)上建立了基于Markov過(guò)程的視情維修模型：

（1） 基于Markov過(guò)程的多狀態(tài)元件視情維修模型充分考慮了元件的漸變劣化、 突變劣化等失效過(guò)程， 以及可能發(fā)生在任一退化狀態(tài)的維修過(guò)程， 這正好反映了視情維修的核心思想， 即對(duì)出現(xiàn)“潛在故障”的元件進(jìn)行及時(shí)維修;

（2） 視情維修條件下， 元件的可靠度相對(duì)于完全維修和非完全維修條件下更高， 這也正是傳統(tǒng)維修方式逐漸向視情維修轉(zhuǎn)變的原因。 對(duì)關(guān)鍵元件視情維修模型的構(gòu)建有利于提高元件的可用度， 避免不必要的故障停機(jī)， 從而保證系統(tǒng)處于可用狀態(tài)。 當(dāng)然， 如何合理協(xié)調(diào)多個(gè)多狀態(tài)元件之間的維修時(shí)機(jī)、 減少不必要的停機(jī)時(shí)間和節(jié)約維修成本是下一步的研究重點(diǎn)。

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Reliability Modeling for Repairable Multi StateElements

Based on Markov Process

Li Zhiqiang1，Xu Tingxue1，Gao Song2，Deng Chunrao3，Zhao Jianzhong1

（1. Navy Aeronautical University， Yantai 264001， China;2. Air Force Logistic Academy， Xuzhou 221000， China;

3.91206 of PLA， Qingdao 266108， China）

Abstract： On the basis ofperfect repair and imperfect repair of existing multi state repairable elements， the reliability analysis model of multi state repairable elements is established by using theMarkov process.

Based on the definition of multi state elements， the state transition relationship of multi state elements under without repair conditions is analyzed， and the state transition differential equation and relation matrix are developed under the condition of perfect repair， imperfect repair and conditional based maintenance. The example of state 3 elements and state 4 elements of a repairable system is given. The simulation results show that compared with to perfect repair and imperfect repair，conditional based maintenance can maintain higher reliability and availability of multi state elements.